專題4.3三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習寶典（新高考專用）

第四章三角函數(shù)、解三角形專題4.3三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上，正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質(zhì)．考點一三角函數(shù)的定義域和值域考點二三角函數(shù)的周期性與對稱性考點三三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性知識梳理1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用結(jié)論1．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．第一部分核心典例題型一三角函數(shù)的定義域和值域1．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，∵，∴當時，函數(shù)取得最小值為，當時，函數(shù)取得最大值為2，故函數(shù)的值域為，故選：A．2．函數(shù)在上的最小值為（

）A．－1 B． C． D．【答案】B【詳解】當時，，則當時，，故選：B.3．已知函數(shù)在時有最大值，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在時取得最大值，即，可得，所以，因為要求的最大值，所以這里可只考慮的情況，又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，當時，，所以的最大值為，故選：C.4．已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，可得，因為函數(shù)的值域為，所以，解得.故選：C.5．函數(shù)的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，，即，當，即時，，所以當時，.故選：D題型二三角函數(shù)的周期性與對稱性6．下列函數(shù)以為周期的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D錯誤.故選：B.7．函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和3 B．和2 C．和3 D．和2【答案】D【詳解】因為函數(shù)，所以最小正周期為：，當時，有最大值為2.故選：D.8．曲線的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得．故選：B.9．函數(shù)圖象的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，由，得，，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故B錯誤；對于C，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D，，得，，則是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故D正確.故選：D.10．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．為偶函數(shù) D．的最小正周期為【答案】C【詳解】，的圖象關(guān)于點不對稱，故A選項不正確.，的圖象關(guān)于直線不對稱，故B選項不正確.因為，又，即，故為偶函數(shù)，故C選項正確.的最小正周期為，故D選項不正確.故選：C.題型三三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性11．已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當時，，所以當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增．故選：B.12．函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)【答案】A【詳解】由可知是奇函數(shù)．故選:A13．已知，，的一個極值點是，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【詳解】因為，，的一個極值點是，所以，所以，，即.因為，所以，.，，解得，.當時，得到在上單調(diào)遞增，故C正確，D錯誤.，解得，.當時，得到在上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤.故選：C14．下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A，定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為的圖象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成（如下圖所示），又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，，即為偶函數(shù)，又，所以為的周期，故C錯誤；對于D：為最小正周期為的偶函數(shù)，故D錯誤；故選：A15．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.第二部分課堂達標一、單選題1．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【詳解】的最小正周期為.故選：C.2．函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】畫出的圖象，如下，可以看出的一個單調(diào)減區(qū)間為，其他選項不合要求.故選：C3．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由二倍角公式和輔助角公式化簡可得，其中，由三角函數(shù)的周期公式可得最小正周期.故選：C4．已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，故，則，則向右平移個單位長度后得到.故選：A5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A．B．C．的圖象向右平移個單位長度后的圖象關(guān)于原點對稱．D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】C【詳解】A選項，根據(jù)圖象可得：，，因為，所以，即，A正確；B選項，的圖象過點，則，又∵，則，∴，即，B正確；C選項，的圖象向右平移個單位長度得到，顯然不是奇函數(shù)，不關(guān)于原點對稱，C錯誤；D選項，，則為最大值，∴的圖象關(guān)于直線對稱，D正確；故選：C6．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】A【詳解】.因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，不關(guān)于直線對稱，因此A正確，C不正確；因為，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，也不關(guān)于直線對稱，因此BD都不正確，故選：A7．已知函數(shù)在上恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令得，因為，所以．因為在上恰有兩個零點，所以，解得．故選：C8．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以當時，則有，因為在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，結(jié)合函數(shù)圖象，得，解得，故選：A二、多選題9．若函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上有極小值D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【詳解】由正弦函數(shù)的周期公式得：，故A錯誤.易知，，故B、D正確.當時，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：時，即時，單調(diào)遞減；時，即時，單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)取得極小值，故C正確.故選：BCD.10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．是曲線的一個對稱中心C．是曲線的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【詳解】A選項，，故的最小正周期為，A正確；B選項，當時，，故不是曲線的一個對稱中心，B錯誤；C選項，當時，，故是的一條對稱軸，也是的一條對稱軸，C正確；D選項，時，，由于在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．C．的圖象關(guān)于直線對稱D．將的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱【答案】AC【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，因為，所以，即，可得，即，因為，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得，此時函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，不關(guān)于軸對稱，所以D錯誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數(shù)D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【詳解】A：因為，所以本選項正確；B：由正切型函數(shù)的最小正周期公式可得，所以本選項不正確；C：把向左平移可以得到函數(shù)，所以本選項不正確；D：當時，，顯然是的子集，因此本選項正確，故選：AD三、填空題13．當函數(shù)取得最大值時的的集合為．【答案】【詳解】依題意令，，解得，，所以函數(shù)取得最大值時的的集合為.故答案為：14．若函數(shù)在上有且僅有3個零點，則的最小值為.【答案】【詳解】令，得，由得，依題意，在上有且僅有3個零點，則，解得，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題15．已知函數(shù)圖象的兩相鄰對稱中心之間的距離為