第05講 有理數(shù)的乘除（解析版）新七年級數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第05講有理數(shù)的乘除1.理解有理數(shù)乘法、除法法則；理解倒數(shù)概念2.能利用乘法則進行簡單的有理數(shù)的乘運算；3.能掌握乘法的運算定律和運算技巧，熟練計算；4.通過將除法轉(zhuǎn)化成乘法，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的歸一思想知識點1：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點2：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點3：倒數(shù)（1）定義：的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為.知識點4：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c?？键c1：有理數(shù)乘除法法則辨析例1（2022秋?射洪市期末）如果三個非零有理數(shù)的積為正數(shù)，則下列結(jié)論：①這三個數(shù)同號；②若其中一個數(shù)是正數(shù)，則另外兩個數(shù)同號；③若其中一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則另外兩個數(shù)同號；④若其中一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則另外兩個數(shù)異號．其中必定成立的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵若這三個數(shù)同為負(fù)數(shù)，符號相同，但它們的積為負(fù)數(shù)，∴①的結(jié)論不正確；∵若其中一個數(shù)是正數(shù)，另外兩個數(shù)同號，則它們的積為正數(shù)，∴②的結(jié)論正確；∵若三個數(shù)中，其中一個數(shù)是負(fù)數(shù)，另外兩個數(shù)異號，則它們的積為正數(shù)，∴③的結(jié)論不正確；∵若其中一個數(shù)是負(fù)數(shù)，另外兩個數(shù)異號，則它們的積為正數(shù)，∴④的結(jié)論正確；∴②④，故選：B．【變式1-1】（2022秋?撫遠(yuǎn)市期末）若a+b＞0，且ab＜0，則以下正確的選項為（）A．a(chǎn)，b都是正數(shù) B．a(chǎn)，b異號，正數(shù)的絕對值大 C．a(chǎn)，b都是負(fù)數(shù) D．a(chǎn)，b異號，負(fù)數(shù)的絕對值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b異號，∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對值大，故選：B．【變式1-2】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）下列敘述正確的是（）A．互為相反數(shù)的兩數(shù)的乘積為1 B．所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示 C．絕對值等于本身的數(shù)是0 D．n個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)【答案】B【解答】解：A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，故A錯誤．B、實數(shù)和數(shù)軸一一對應(yīng)，故所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示．故B正確．C、絕對值等于本身的是0和正數(shù)，故C錯誤．D、n個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)，但0除外，故D錯誤、故選：B．【變式1-3】（2022秋?武岡市期中）兩個有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，那么這兩個有理數(shù)（）A．符號相反，且正數(shù)的絕對值較大 B．符號相反，絕對值相等 C．符號相反，且負(fù)數(shù)的絕對值較大 D．符號相同【答案】A【解答】解：∵兩個有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，說明兩數(shù)異號，和為正數(shù)，說明這兩個數(shù)中正數(shù)絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值．∴A選項正確，故選：A．【變式1-4】（2022秋?鹿城區(qū)校級期中）若兩個數(shù)的商是正數(shù)，則下列選項中一定成立的是（）A．這兩數(shù)的和為正數(shù) B．這兩數(shù)的差為正數(shù) C．這兩數(shù)的積為正數(shù) D．這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都不能確定【答案】C【解答】解：A．當(dāng)兩個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩個數(shù)的和為負(fù)數(shù)，故A選項不符合題意；B．當(dāng)兩個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩個數(shù)的差可能為負(fù)數(shù)，故B選項不符合題意；C．若兩個數(shù)的商是正數(shù)，則這個兩數(shù)為同號，這兩個數(shù)的積為正數(shù)，故C選項符合題意；D．若兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都能確定正負(fù)，故D選項不符合題意．故選：C．考點2：倒數(shù)的概念及運用例2.（2023?西和縣二模）4的倒數(shù)是（）A．4 B． C． D．﹣4【答案】B【解答】解：4的倒數(shù)是．故選：B．【變式2-1】（2022秋?大豐區(qū)期末）若m，n互為倒數(shù)，則|mn﹣2|＝1．【答案】1．【解答】解：∵m，n互為倒數(shù)，∴mn＝1，∴|mn﹣2|＝|1﹣2|＝|﹣1|＝1，故答案為：1．【變式2-2】（2022秋?江夏區(qū)期中）若a、b互為倒數(shù)，則（﹣ab）2022＝1．【答案】1．【解答】解：∵a和b互為倒數(shù)，∴ab＝1，∴（﹣ab）2022＝（﹣1）2022＝1，故答案為：1．【變式2-3】（2023?九江一模）若m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，則?2023m+?2023n的值是3．【答案】3．【解答】解：∵m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，∴m+n＝0，pq＝1，∴?2023m+?2023n＝﹣2023（m+n）+＝0+3＝3．故答案為：3．考點3：有理數(shù)乘除法簡單運算例3.（2023?龍川縣校級開學(xué)）計算：．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．【變式3-1】（2022秋?松江區(qū)期末）計算：4．【答案】8．【解答】解：原式＝××＝8．【變式3-2】（2022秋?綦江區(qū)校級月考）計算：（1）（﹣8）×（﹣6）×（﹣1.25）×；（2）（﹣81）÷（﹣2）×÷（﹣8）．【答案】（1）﹣20；（2）﹣2．【解答】解：（1）（﹣8）×（﹣6）×（﹣1.25）×＝﹣8×1.25×6×＝﹣10×2＝﹣20；（2）（﹣81）÷（﹣2）×÷（﹣8）＝（﹣81）×（﹣）××（﹣）＝﹣81×××＝﹣2．【變式3-3】（2022秋?市中區(qū)校級月考）計算：（1）﹣56×（﹣）÷（﹣1）．（2）（﹣12）÷（﹣4）×．【答案】（1）﹣15；（2）．【解答】解：（1）﹣56×（﹣）÷（﹣1）＝﹣56×（﹣）×（﹣）＝﹣15；（2）（﹣12）÷（﹣4）×＝3×＝．考點4：有理數(shù)乘法運算定律的運用例4.（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）用簡便方法計算：①；②．【答案】①﹣2；②﹣2398．【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝3+1﹣6＝﹣2．②原式＝（﹣100+）×24＝﹣100×24+×24＝﹣2400+2＝﹣2398．【變式4-1】（2022秋?濟南期中）（﹣+）×（﹣24）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝﹣12+4﹣8＝﹣16．【變式4-2】（2022秋?泰州月考）用簡便方法計算：（1）；（2）（﹣99）×999．【答案】（1）﹣159；（2）﹣98901．【解答】解：（1）原式＝（20﹣）×（﹣8）＝20×（﹣8）﹣×（﹣8）＝﹣160+＝﹣159；（2）原式＝（1﹣100）×999＝999﹣100×999＝999﹣99900＝﹣98901．【變式4-3】（2021春?徐匯區(qū)校級期中）計算：24×（﹣99）．【答案】﹣2399．【解答】解：原式＝﹣24×＝﹣24×（100﹣）＝﹣24×100+24×＝﹣2400+＝﹣2399．考點5：有理數(shù)乘除法與絕對值的綜合例5.（2022秋?乳山市期中）已知|a|＝6，|b|＝4，且ab＜0，求a+b的值．【答案】2或﹣2．【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝4，且ab＜0，∴a＝6，b＝﹣4或a＝﹣6，b＝4，∴a+b的值為2或﹣2．【變式5-1】（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）已知|x|＝5，|y|＝3，若xy＞0，求|x﹣y|的值．【答案】2．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，∴x＝±5，y＝±3，∵xy＞0，∴①x＝5，y＝3，則|x﹣y|＝|5﹣3|＝2，②x＝﹣5，y＝﹣3，則|x﹣y|＝|﹣5﹣（﹣3）|＝2，∴|x﹣y|的值為2．【變式5-2】（2021秋?萬州區(qū)期末）對于有理數(shù)x，y，若＜0，則++的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【解答】解：∵＜0，∴x，y異號．∴xy＜0，∴＝＝﹣1，當(dāng)x＞0時，y＜0，則＝＝﹣1，＝＝1，∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1．當(dāng)x＜0時，y＞0，則則＝＝1，＝＝﹣1．∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1．故選：B．【變式5-3】（2022秋?姜堰區(qū)期中）若|x|＝2，|y|＝3，且＜0，則2x﹣y＝．【答案】±7．【解答】解：因為|x|＝2，|y|＝3，所以x＝±2，y＝±3，又＜0，所以當(dāng)x＝2，y＝﹣3時，2x﹣y＝7；當(dāng)x＝﹣2，y＝3時，2x﹣y＝﹣7．則2x﹣y＝±7，故答案為：±7．考點6：有理數(shù)乘除法中的規(guī)律計算例6.（2022秋?石樓縣期末）請你先認(rèn)真閱讀材料：計算解：原式的倒數(shù)是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根據(jù)你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式的倒數(shù)是：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）＝﹣（7﹣9+28﹣12）＝﹣14，故原式＝﹣．【變式6】（2022秋?越城區(qū)期中）閱讀下題解答：計算：．分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，則原式＝．【變式6-2】（2021秋?平羅縣期末）計算：．【答案】﹣18．【解答】解：＝＝﹣×36﹣×36+×36＝﹣27﹣6+15＝﹣18．1．（2022?張家界）﹣2022的倒數(shù)是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．【答案】B【解答】解：﹣2022的倒數(shù)是：﹣．故選：B．2．（2022?包頭）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b﹣4c的值為（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16【答案】C【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，∴a+b＝0，c＝，∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝0﹣4×＝﹣1．故選：C．3．（2022?臺州）計算﹣2×（﹣3）的結(jié)果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【答案】A【解答】解：﹣2×（﹣3）＝+（2×3）＝6．故選：A．4．（2020?臺灣）已知a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345），判斷下列敘述何者正確？（）A．a(chǎn)，b皆為正數(shù) B．a(chǎn)，b皆為負(fù)數(shù) C．a(chǎn)為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)為負(fù)數(shù)，b為正數(shù)【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4個負(fù)數(shù)相乘，∴a為正數(shù)，∵b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345）中共有3個負(fù)數(shù)相乘，∴b為負(fù)數(shù)，∴a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，故選：C．5．（2020?山西）計算（﹣6）÷（﹣）的結(jié)果是（）A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2【答案】C【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．故選：C．1.（2023?荊門一模）下列說法中，正確的是（）A．2與﹣2互為倒數(shù) B．2與互為相反數(shù) C．0的相反數(shù)是0 D．2的絕對值是﹣2【答案】C【解答】解：A．2與﹣2互為相反數(shù)，故選項A不正確B．2與互為倒數(shù)，故選項B不正確；C．0的相反數(shù)是0，故選項C正確；D．2的絕對值是2，故選項D不正確．故選：C．2．（2022秋?撫遠(yuǎn)市期末）若a+b＞0，且ab＜0，則以下正確的選項為（）A．a(chǎn)，b都是正數(shù) B．a(chǎn)，b異號，正數(shù)的絕對值大 C．a(chǎn)，b都是負(fù)數(shù) D．a(chǎn)，b異號，負(fù)數(shù)的絕對值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b異號，∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對值大，故選：B．3．（2022秋?路北區(qū)期末）若a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜﹣b B．﹣a＜b C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)b＞0【答案】A【解答】解：由題意可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，A、a＜﹣b，正確，故此選項符合題意；B、﹣a＞b，原結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；C、a+b＜0，原結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；D、ab＜0，原結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．4．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）下列敘述正確的是（）A．互為相反數(shù)的兩數(shù)的乘積為1 B．所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示 C．絕對值等于本身的數(shù)是0 D．n個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)【答案】B【解答】解：A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，故A錯誤．B、實數(shù)和數(shù)軸一一對應(yīng)，故所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示．故B正確．C、絕對值等于本身的是0和正數(shù)，故C錯誤．D、n個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)，但0除外，故D錯誤、故選：B．5．（2022?小店區(qū)校級模擬）（﹣9）×（﹣）的結(jié)果是（）A．﹣3 B．3 C．27 D．﹣27【答案】B【解答】解：（﹣9）×（﹣）＝3．故選：B．6．（2022秋?防城區(qū)期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且a?b＜0，則a+b的值為（）A．5或﹣5 B．1或﹣1 C．3或﹣2 D．5或1【答案】B【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，且ab＜0，∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1或a+b＝﹣2+3＝1．故選：B．7．（2022秋?武岡市期中）兩個有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，那么這兩個有理數(shù)（）A．符號相反，且正數(shù)的絕對值較大 B．符號相反，絕對值相等 C．符號相反，且負(fù)數(shù)的絕對值較大 D．符號相同【答案】A【解答】解：∵兩個有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，說明兩數(shù)異號，和為正數(shù)，說明這兩個數(shù)中正數(shù)絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值．∴A選項正確，故選：A8．（2022春?南崗區(qū)校級月考）計算﹣6××|﹣|×1的值為（）A．1 B．36 C．﹣1 D．0【答案】C【解答】解：原式＝﹣6×××＝﹣6×××＝﹣1故選：C．9．（2021秋?青龍縣期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的式子是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜0 C．a(chǎn)b＞0 D．a(chǎn)b＜0【答案】D【解答】解：由數(shù)軸可知，a＜0，b＞0，ab＜0，∴只有D選項正確，故選：D．10．（2022秋?隆安縣期中）下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（）A．0×（﹣5） B．4×（﹣0.2）×（﹣10） C．（﹣1.5）×（﹣2） D．（﹣3）×（﹣）×（﹣）【答案】D【解答】解：A：0×（﹣5）＝0，故A錯；B：4×（﹣0.2）×（﹣10）＝8，故B錯；C：（﹣1.5）×（﹣2）＝3，故C錯；D：（﹣3）×（﹣）×（﹣）＝﹣．故D正確．故選：D．11．（2022秋?天河區(qū)校級期中）若|a|＝3，|b|＝4，a＜b，且ab＜0，則a與b的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣4 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝4 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣4【答案】C【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，∵ab＜0，a＜b，∴a＝﹣3，b＝4，故選：C．12．（2022秋?江津區(qū)期中）若a、b互為倒數(shù)，則（ab﹣2）2022＝1．【答案】1．【解答】解：∵a，b互為倒數(shù)，∴ab＝1，則原式＝（1﹣2）2022＝1．故答案為：1．13．（2022?寬城縣一模）若a、b互為相反數(shù)，則a+（b﹣2）的值為﹣2；若a、b互為倒數(shù)，則﹣2022ab＝﹣2022．【答案】﹣2；﹣2022．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∴a+（b﹣2）＝a+b﹣2＝0﹣2＝﹣2；∵a、b互為倒數(shù)，∴ab＝1，∴﹣2022ab＝﹣2022．故答案為：﹣2；﹣2022．14．（2022春?龍鳳區(qū)期中）a、b、c為有理數(shù)，且abc＜0，則++＝1或﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵abc＜0，∴a、b、c有1個或3個數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)有1個是負(fù)數(shù)，兩個是正數(shù)時，++＝1+1+（﹣1）＝1，當(dāng)3個負(fù)數(shù)時，++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，綜上所述，++＝1或﹣3．故答案為：1或﹣3．15．（2021秋?常熟市校級月考）已知|x|＝4，|y|＝7，且＜0，則x+y＝﹣3或3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝7，且＜0，∴x＝4，y＝﹣7；x＝﹣4，y＝7，則x+y＝﹣3或3．故答案為：﹣3或3．16．（2022秋?寧遠(yuǎn)縣校級月考）求值：（1）×（﹣16）×（﹣）×（﹣1）；（2）（﹣）×（﹣）×（﹣2）×（﹣）．【答案】（1）﹣4；（2）．【解答】解：（1）×（﹣16）×（﹣）×（﹣1）＝﹣＝﹣4；（2）（﹣）×（﹣）×（﹣2）×（﹣）＝＝．17．（2021春?虹口區(qū)校級期中）計算：．【答案】1．【解答】解：原式＝＝＝＝1．18．（2021秋?洪澤區(qū)校級月考）計算：（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；（3）（﹣）×（﹣）÷0.25；（4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）；（4）﹣．【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）＝﹣；（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）＝﹣；（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4＝；（4）原式＝（﹣）×（﹣）