4.4.3兩平面垂直（解析版）

4.4.3兩平面垂直同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空間中的垂直關(guān)系和充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設(shè)面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．設(shè)是兩個不同的平面，b是直線且，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理判斷．【詳解】由面面垂直的判定定理知，若，，則，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要條件，故選：A3．已知直線l及兩個不重合的平面，，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，且內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直，則【答案】C【分析】ABD均可舉出反例，C選項，可由面面平行得到證明.【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不滿足，A錯誤；如圖1，滿足，，但不滿足，B錯誤；若，，由面面平行的定義可知，C正確；若內(nèi)這無數(shù)條直線均平行，則不能推出，D錯誤.故選：C4．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是（

）A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PCD【答案】C【分析】由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直.【詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，所以，由四邊形ABCD為矩形得，因為，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD．故選：C5．空間四邊形ABCD中，若，，那么有（

）A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADBC．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC【答案】D【分析】證明線面垂直，從而證明面面垂直.【詳解】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故選：D6．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】AB選項，可以舉出反例，C選項，可以通過面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明；D選項可以證明出.【詳解】如圖，滿足，但不垂直，A錯誤；若，則或異面，或相交，B錯誤；因為，則或，又因為，所以，C正確；因為，所以，又因為，設(shè)，則，所以則，D錯誤.故選：C7．m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：（1）若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；（2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.其中正確的命題為（）A．（1）（2） B．（3）C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】B【分析】（1）（2）可舉出反例，（3）可以用線面垂直，線線垂直證明出面面垂直.【詳解】如圖1，滿足α∩β＝m，n?α，n⊥m，但不滿足n⊥β，（1）錯誤；如圖2，滿足α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，但不滿足n⊥m，（2）錯誤；若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.因為m⊥α，m⊥n，所以或，若，因為n⊥β，所以α⊥β.若，則在內(nèi)存在使得，因為n⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.綜上：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β，（3）正確.故選：B8．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，為的中點．線段的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，作出四棱錐的高，并用求出高，再用體積解出即可.【詳解】由已知，設(shè)，則矩形的面積，取中點，連接，∵是等邊三角形，，∴，且,∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是四棱錐的高，∴四棱錐的體積∴解得，，∴.故選：D.9．設(shè)m，n是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】ABC均可以舉出反例，D選項可證明出正確.【詳解】A選項，若，，則，或m，n相交或m，n異面，A錯誤；B選項，若，，則或，相交，B錯誤；C選項，若，，則或，C錯誤；D選項，若，，則，D正確.故選：D10．如圖所示，在正方體的棱上任取一點，作與點，則與平面的關(guān)系是（）A．平行B．平面C．相交但不垂直D．垂直【答案】D【分析】直接由平面與平面垂直的性質(zhì)得答案．【詳解】解：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面平面，又平面平面，且平面，，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得，平面．故與平面的關(guān)系是相交且垂直．故選：D．二、填空題11．如圖，在直二面角中，和分別在平面和上，它們都垂直于，且，，，則．【答案】【分析】連接，由面面垂直的性質(zhì)可得，再由線面垂直的性質(zhì)有，在△、△中，利用勾股定理求.【詳解】連接，在直二面角中，，，所以，又，則，又，所以，在△、△中.故答案為：12．如圖，平面平面，，，是正三角形，O為的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)為.【答案】6【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，再逐一判斷即可得解.【詳解】解：，O為的中點，.又平面平面，且交線為，平面.平面，，為直角三角形.∴圖中的直角三角形有，，，，，，共6個.故答案為：6.【點睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，重點考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.13．如圖，在三棱錐內(nèi)，側(cè)面底面，且，則．【答案】【分析】由側(cè)面底面及，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而，利用勾股定理計算即可得解.【詳解】∵側(cè)面底面，交線為，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴.【點睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了空間線、面垂直的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.14．如圖，在正方體所有經(jīng)過四個頂點的平面中，垂直于平面的平面有．【答案】平面，平面，平面【分析】作出輔助線，證明線面垂直，從而證明出平面⊥平面，同理可證明平面⊥平面，平面⊥平面.【詳解】連接面對角線，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.故答案為：平面，平面，平面.15．如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的有(寫出全部正確命題的序號).①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【答案】③【分析】由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，，再由線面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面【詳解】因為，且是的中點，所以，同理有，因為，平面.所以平面.因為在平面內(nèi)，所以平面平面.又由于平面，所以平面平面，故答案為：③.三、解答題16．如圖，已知，證明：.

【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造輔助線，利用面面垂直的定義可得面面垂直.【詳解】

如圖，設(shè)，，在平面內(nèi)過作，設(shè)為直線異于的一點，為直線異于的一點因為，，故，由，故為二面角的平面角，由可得，故.17．如圖，在四棱柱中，四個側(cè)面都是矩形.求證：平面平面ABCD.

【答案】證明見解析【分析】由題設(shè)有、，再由線面、面面垂直的判定定理證結(jié)論.【詳解】因為側(cè)面是矩形，所以.因為側(cè)面是矩形，所以.又，面，因此平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD.18．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設(shè),連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè),連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．19．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點.求證：（1）EF平面PAD；（2）面PBD面PAC.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明.（2）利用面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點.則且，又底面ABCD是菱形，，，又平面PAD，平面PAD，EF平面PAD.（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的對角線，，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，，，且平面PAC，平面PAC，又因為平面PBD，所以面PBD面PAC能力進(jìn)階能力進(jìn)階20．如圖，在四棱錐中，平面底面，，，，．證明：【答案】證明見解析【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而即得.【詳解】證明：在四邊形中，因為，，，，由余弦定理得，，解得，所以，即，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以．21．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求