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文檔簡介
2021學(xué)年離二教學(xué)期末復(fù)習(xí)學(xué)案第四講圓(1)
數(shù)列專題2021/12/24
班級姓名
知識整理
1.(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
圓心為(a,。),半徑為7?的圓(x-a)2+(y-b)2=r2:
(2)圓的一般方程:-f+V+m+Ey+FnO;其中要滿足的條件是_。2+62—4尸>0,
圓心為(―2,—△),半徑r=-VZ)2+£2-4F
222
注意:求圓的方程時(shí),通常用幾何法或待定系數(shù)法,當(dāng)已知圓心或半徑時(shí),可用標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)已知圓過某
些點(diǎn)時(shí)可用一般方程
(3)圓的參數(shù)方程:
X=a+rcos8
圓心在①/),半徑為一的圓的參數(shù)方程為:{~\(。為參數(shù))
y=b+rsinu
%—尸cose
特別的,圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程為:\~'(。為參數(shù))
y=rsin。
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定:
利用圓心與該點(diǎn)的距離為d與圓半徑為r之間的關(guān)系即(4-a)?+(%-6)2與r2的大小關(guān)系
3.直線與圓的位置關(guān)系的判定:
判定方法1:聯(lián)立方程組--=得到關(guān)于x(或y)的方程
Ax+By+C=0
⑴△>()=相交;(2口=00相切;(3心<00相離。
判定方法2:若圓心(a,b)到直線L的距離為d
(l)dvr=相交;(2)d=r=相切;(3)d>r=相離。
注意:1.遇到直線與圓相交,常利用Rt△即弦長/,弦心距d及半徑r間的關(guān)系式:/=2:產(chǎn)—至2
2.當(dāng)直線與圓相離時(shí),過圓心且垂直已知直線的直線與圓的交點(diǎn)是圓上到直線距離最大或最小的點(diǎn)
4.求圓的切線一般有兩種方法:
(1)設(shè)切線斜率,用圓心到直線距離等于半徑
(2)設(shè)切點(diǎn)用切線公式法
注意:若點(diǎn)P(Xo,%),在圓(X—。尸+⑶一份2=/上,則過點(diǎn)P的切線為:
(玉)-a)(x_q)+(%-b)(y-b)=r-
2
特別的,若點(diǎn)PCX。,%),在圓/+上,則過點(diǎn)P的切線為:xox+yQy=r
注意:過點(diǎn)P(x。,為)求已知圓(%-。)2+。-。)2=/的切線,必須先判斷點(diǎn)P在圓上還是在圓外。
7.圓與圓的位置關(guān)系
①.判斷方法:幾何法(d為圓心距):(1)+外離(2)〃=4+弓。外切
(3)卜一回<d<[+5O相交(4)d=一qO內(nèi)切(5)1<卜一回O內(nèi)含
②圓系問題
(1)過兩圓G:/+^+已無+^,+^二。和。2:尤2+,2+。/+%>+8=0交點(diǎn)的圓系方程為
221
x+y+D]x+Exy+Fx++y+D2x+E2y+F2^-0(2^—1)
說明:(i)上述圓系不包括C2;
(ii)當(dāng)X=-1時(shí),表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)
(iii)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為
x1+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=Q
二、例題分析
例1.圓C經(jīng)過P(L-1)和坐標(biāo)原點(diǎn),且圓心C在直線2x-3y+l=0
⑴過(-1,7)引圓C切線,求切線方程,切線長;
⑵過4:3x+4y+6=0上一點(diǎn)M引圓C切線,切點(diǎn)記為E,F
①切線的最小值;②SMEW的最小值;
③四邊形MEC用勺外接圓面積最小值:④G為圓。上一點(diǎn),求GM的最小值;
⑤圓C上總存在一點(diǎn)G,使得NGA/C=30。,求知范圍;
(3)l2:(2/n+l)x+(m+l)y-7/71-4=0
⑴4交圓。于點(diǎn)A8
①|(zhì)44=3而,癡/的值;②求當(dāng)Aq最小時(shí)的直纜方程;
③求當(dāng)5兇加最大時(shí),直線4方程;④求A3中點(diǎn)N的軌跡方程;
(2)圓C上恰好存在兩點(diǎn)到乙的距離為3,求加范圍。
例2(1)設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長為2:②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1;③圓心到直線
/:x—2y=0的距離為,,求該圓的方程。
(2)已知直線ar+y-2=0與的圓C:(x—1)2+。一")2=4相交于A,8兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,
則圓C方程為:.
例3.已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:+以_i2y+24=0,(1)若直線/過P且被圓C截得的線段長為4百,
求直線/的方程;(2)求過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)M的軌跡方程。
例4.已知圓心坐標(biāo)為M(、6,1)的圓M與x軸及直線y=瓜均相切,
切點(diǎn)分別為A、B,另一圓N與圓M、x軸及直線>=后均相切,切
點(diǎn)分別為C、D。(1)求圓M和圓N的方程;(2)過點(diǎn)B做直線MN
的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長度。
三.鞏固練習(xí)班級姓名
1.方程(2加+/〃—1*2+(/〃2一加+2方2+m+2=0表示一個(gè)圓則的加值()
A.1B.-3C.3D.1或-3
2.若圓(%-3)2+。+5)2=/”>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4萬—3丁—2=0距離等于1,則半徑7?取值
范圍是()
A.(4,6)B,[4,6)C.(4,6]D.[4,6]
3.若曲線G:f+y2-2x=()與曲線G:河》7n”加)=o有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
,75百、,百小一小百、r73V3,,也、d、
4.直線/:y=fcc+l與圓。:f+丁=1相交于A,B兩點(diǎn),則“A=l”是“△OAB的面積為:”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
5.設(shè)加,〃eR,若直線(利+l)x+(〃+l)y—2=0與圓(x-1)?+(y-1)2=1相切,則〃?+〃的取值范圍是()
A.[1-V3,1+V3JB.(-8,1-向U[l+G,+8)
C.[2-272,2+272]D.(-8,2—20]U[2+2后,+oo)
6.若圓/+丁=4與圓/+/+2紗一6=0(a>0)的公共弦長為2百,則折.
7.直線小y=x+〃和'y=x+b將單位圓C:W+y2=i分成長度相等的四段弧,則/+〃=.
8.若直線丫=%+〃2與曲線y=系有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍_____________.
9.已知圓M的方程為W+(y—2尸=1,直線/的方程為X—2y=0,點(diǎn)尸在直線/上,過P點(diǎn)作圓M的切線
PA,PB,切點(diǎn)、為A,B.
(1)若ZAPB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,。兩點(diǎn),當(dāng)CD=拒時(shí),求直線CD的方程;
⑶經(jīng)過AP,“三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過異于點(diǎn)M的定點(diǎn),若經(jīng)過,請求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.
圓的方程
1.(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
圓心為(凡加,半徑為r的圓(x-a)2+(y-b)2=r2;
(2)圓的一般方程:X2+y2+Dx+Ey+F=0;
其中要滿足的條件是少+52-4/>。,
T-\'1_____________
圓心為(―人,—二),半徑r=7D?+E?-4F
222
注意:求圓的方程時(shí),通常用幾何法或待定系數(shù)法,當(dāng)已知圓心或半徑時(shí),可用標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)已知圓過某
些點(diǎn)時(shí)可用一般方程
(3)圓的參數(shù)方程:
圓心在(兄與,半徑為廠的圓的參數(shù)方程為:\~'(。為參數(shù))
y=b+rsinff
JQ—Pcose
特別的,圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程為:\~'(。為參數(shù))
y=rsinO
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定:
利用圓心與該點(diǎn)的距離為d與圓半徑為r之間的關(guān)系即(4-a-+(%-與2與r2的大小關(guān)系
3.直線與圓的位置關(guān)系的判定:
判定方法1:聯(lián)立方程組|口一a)2+(y-b)2=r\得到關(guān)于x(或y)的方程
Ax+By+C=0
(1心>00相交;◎)△=()O相切;(3心<0。相離。
判定方法2:若圓心(a,b)到直線L的距離為d
(l)d<rO相交;(2)d=r=相切;(3)d>r=相離。
注意:1.遇到直線與圓相交,常利用Rt△即弦長/,弦心距d及半徑/?間的關(guān)系式:/=2:產(chǎn)—儲
2.當(dāng)直線與圓相離時(shí),過圓心且垂直已知直線的直線與圓的交點(diǎn)是圓上到直線距離最大或最小的點(diǎn)
4.求圓的切線一般有兩種方法:
(1)設(shè)切線斜率,用圓心到直線距離等于半徑
(2)設(shè)切點(diǎn)用切線公式法
注意:若點(diǎn)在圓(X—。)2+“一加2=/上,則過點(diǎn)p的切線為:
2
U()-a)(x-a)+(y?-b)(y-b)=r
2
特別的,若點(diǎn)POo,%),在圓x2+y2=,上,則過點(diǎn)p的切線為:xox+yay=r
注意:過點(diǎn)求已知圓。一為2+。一加2=/的切線,必須先判斷點(diǎn)p在圓上還是在圓外。
7.圓與圓的位置關(guān)系
①.判斷方法:幾何法(。為圓心距):(1)4>{+弓o外離(2)d=+外切
(3)k—目<4<4+G<=>相交(4)4=打一百。內(nèi)切(5)4<卜一目O內(nèi)含
②圓系問題
(1)過兩圓G:X?+>2+£)]%+£;/+6=0和G:/+),2+。/+£;2,+8=0交點(diǎn)的圓系方程為
221
x+y++耳++y+D^x+E2y+F^-0(2k—1)
說明:(i)上述圓系不包括C2;
(ii)當(dāng)/1=-1時(shí),表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)
(iii)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為
x2+y2+Dx+Ey+F+A(^Ax+By+C^-Q
例1.圓Ct至過P(L-l)和坐標(biāo)原點(diǎn),且圓心C在直線2x-3y+l=0
⑴過(-1,7)引圓C切線,求切線方程,切線長;
(2)過4:3x+4y+6=0上一點(diǎn)M引圓C切線,切點(diǎn)記為E,F
①切線拉球勺最小值;②SMEW的最小值;
③四邊形MEC取外接圓面積最小值:④G為圓C上一點(diǎn),求GM的最小值;
⑤圓C上總存在一點(diǎn)G,使得NGNC=30。,求4范圍;
(3)l2:(2m+l)x+(m+l)y-7m—4=0
⑴《交圓仁于點(diǎn)兒臺
①|(zhì)A@=3"5,癡2的值;②求當(dāng)A目最小時(shí)的直線2方程;
③求當(dāng)凡吹最大時(shí),直線4方程;④求48中點(diǎn)N的軌跡方程;
⑵圓C上總存在兩點(diǎn)到4的距離為3,求加范圍。
例2.設(shè)圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1;③圓心到直線
/:x—2y=0的距離為正,求該圓的方程。
解:設(shè)所求圓心為P(a,b),半徑為r,則圓心到x軸,y軸的距離分別為|b|、|a|,
因圓P截y軸得弦長為2,由勾股定理得r2=a2+l,又圓被x軸分成兩段圓強(qiáng)的弧長的比為3:1,
二劣弧所對的圓心角為90°,
故r=pb,即r'zb?,
2b2-a2=l①,
又(a,b)到直線x-2y=0的距離為,,
即唳更
35
即a-2b=±l.②
解①②組成的方程組得:1或卜—「I干是即J=2b2=2,
b=1b=-\
二所求的圓的方程為(x+1)2+(y+l)2=2或(X-1)2+(y-1)2=2.
(2)已知直線or+y-2=0與的圓C:(》-1)2+。一")2=4相交于A,8兩點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,
則圓C方程為:.
|?+a-2|
I解析]由題意可知圓的圓心為C(l,。),半徑r=2,則圓心C到直線ax+y-2=0的距離d=
業(yè)2+1
=△ABC為等邊三角形,;.|A8|=r=2.又|AB|=24r2-法,22—=2,即層―8“
+1=0,解得a=4±\/T5
例3.(1)若過點(diǎn)A(4,0)的直線/與圓(x—2)2+V=1沒有公共點(diǎn),則直線/的傾斜角的范圍____________
(巴當(dāng)
6,6
(2)求過點(diǎn)M(3,l),且與圓(x—1)2+產(chǎn)工相切的直線/的方程.
解法一:若1的斜率存在,可設(shè)直線的方程為y—l=k(x—3),即kx—y—3k+l=O,到因?yàn)閳A心(1,0)
到切線1的距離等于半徑2,
|々一3々十1|
所以=2,解得k=—
“公+(-1)2
所以/的方程為y—1=----—3),即3N+41y—13
=0,
若I的斜率不存在,則/的方程為1=3,而圓心(1,0》
為直線2=3的距離等于半徑2,故直線工=3也適合題意.
所以所求的百線,的方程為31+4丫-13=0或工=3.
解法二:若直線/垂直于工軸,則直線/為工=3,與圓
相切,滿足條件.
若直線,不垂直于工軸,可設(shè)直線L的方程為y一1
=麥一3>?
由于直線I與圓相切,
所以方程組廿一\二,工廠3)'僅有一組解.
((工一17+y=4?
由方程組消去),得關(guān)于N的一元二次方程:
Ck2+1)N^+(2麥一6*-2)N+9欠一64—2=0,
所以其判別式△=(一6/+24一2)2—4(1+欠)(9〃
一64一2)=0,解得k=---*,
因此/的方程為y—1=/〈工—3),即3H+4、一13
=0.
所以所求直線Z的方程是工=3或3N+4Y—13=0.
(3)判斷直線/:(1+機(jī)求+(1-m)丁+2m-1=0與圓0:f+y2=9的位置關(guān)系,并說明理由。
分析:法一:直線L:m(x-y+2)+x+y-l=0恒過點(diǎn)22,
?.?點(diǎn)P在圓0內(nèi),.?.直線L與圓0相交。
A_|2m-1|_|外-1|
法二:圓心0到直線L的距離為J(l+my+(l_m)2V2m2+2
當(dāng)d<3時(shí),(2m-l)2<9(2m2+2),A14m2+4m+17>0AmeR
所以直線L與直線0相交。
法三:聯(lián)立方程,消去y得2(l+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0
△=56m4-96m3+92m2-l20m+68=4(m-l)2(14m2+4m+17)
當(dāng)mrl時(shí),△>(),直線與圓相交;
__1_
當(dāng)m=l時(shí),直線L:2,此時(shí)直線L與圓O相交,綜上得直線L與圓0恒相交。
⑷已知點(diǎn)尸(0,5)及圓C:/+y2+4x-12y+24=0,(1)若直線/過P且被圓C截得的線段長為4百,
求直線/的方程;(2)求過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)M的軌跡方程。
解:(1)1°當(dāng)直線1斜率不存在時(shí),容易知x=0符合題意;…2
2°當(dāng)直線1斜率存在時(shí),設(shè)直線1的方程為丫=1?1+5,交圓干AB兩點(diǎn),取AB中點(diǎn)M,連接CM,W1CM1AB,
'?|AB|=4r=4,
A|CM|=2,-4
|-2A:-1|=3…
則由|CM|=|r=2得:k=-,故直線1的方程為3x-4y+5=0,…6
W+14
二直線1的方程為:x=0或3x-4y+5=0;
(2)設(shè)弦中點(diǎn)P(x,y),由題意得:CP1QP,-8
CP*QP=^,而(x+2,y-6)>QP~(x,y-5)10
:,CP.QP=x(x+2)+(y-6)(y-5)=0?化簡整理得:x2+y2+2x-lly+30=0?,,,11
二點(diǎn)P的軌跡方程為::x2+y2+2x-1ly+30=Q,((x+2)?+(y-6)iQ)...13
二點(diǎn)P的軌跡是以為(-1,?)為圓心,坐為半徑的圓,在圓(x+2)2+(y-6)2=16的內(nèi)部的一段弧”
(5)已知圓心坐標(biāo)為M(、6,1)的圓M與x軸及直線y=百x均相切,
切點(diǎn)分別為A、B,另一圓N與圓M、x軸及直線y=百%均相切,切
點(diǎn)分別為C、D。(1)求圓M和圓N的方程;(2)過點(diǎn)B做直線MN
的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長度。
(1)圓M:(x-V3)2+(y-l)2=1圓N:
(x-3V3)2+(y-3)2=9
(2)V33
2.方程(2機(jī)2+加-1)/+(/〃2一加+2)y2+加+2=0表示一個(gè)圓,則的加值(B)
A.1B,-3C.3D.1或-3
1.若圓*一3)2+3+5)2=/(r>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4萬—3丁—2=0距離等于1,則半徑7?取值
范圍是(A)
A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]
2.若曲線G:f+y2-2x=0與曲線G:y(y-儂-加)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(B)
A.(---)B.(---,0)U(0,—)C.f---]D.(-00,---)U(—,+00)
33333333
4.直線/:y=fcc+l與圓0:f+y=l相交于A,B兩點(diǎn),則'“=1"是“△OAB的面積為寺”的(A)
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件I).既不充分又不必要條件
5.設(shè)加,nGR,若直線(m+l)x+(〃+l)y-2=0與圓(x-1)?+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是(D)
A.[1-73,1+^]B.(-OO,1-V3]U[1+V3,+OO)
C.[2-2夜,2+2夜]D.(-oo,2-2&]U[2+2夜,+oo)
【答案】D【命題意圖】本試題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,重要不等式,一元二
次不等式的解法,并借助于直線與圓相切的幾何性質(zhì)求解的能力.
【解析】???直線(機(jī)+l)x+(〃+l)y-2=0與圓(x-+(y-1>=1相切,.?.圓心(1,1)到直線的距離為
|(/〃+1)+(〃+1)2|
d==1,所以/%〃=機(jī)+〃+1K(-----了,設(shè)t=m+n,
7(m+l)*2+*4(n+l)22
則-t2>什1,解得te(-00,2-2x/2]U[2+2后,+8).
4
5.若圓=4與圓X2+/+24〉—6=03>0)的公共弦長為2行,則a=
【解析】由己知,兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為y
a
利用圓心(0,0)到直線的距離d=U為標(biāo)=f7=1,解得“=1.
VT
【答案】1
8.直線人),=》+.和by=x+6將單位圓C:f+y2=i分成長度相等的四段弧,則/+"=
12.2[解析]依題意得,圓心。到兩直線/i:y=x+m/2:y=x+6的距離相等,且每段弧長等于
圓周的;,即;,=5=lxsin45。,得間=|6|=1.故。2+從=2.
9.若直線y=x+〃z與曲線)==7有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
解:?.?曲線y=j4-Y表示半圓外+[=4(.之0),利用數(shù)形結(jié)合法,可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是
—24機(jī)<2或m=2及.
10.直線/1和/2是圓f+V=2的兩條切線,若/】與6的交點(diǎn)為(1,3),則/]與6的夾角的正切值等于.
[解析]如圖所示,根據(jù)
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