高中數(shù)學(xué)人教版（A版）選擇性必修 第一冊(2019)-高二 圓 復(fù)習(xí) 公開課

2021學(xué)年離二教學(xué)期末復(fù)習(xí)學(xué)案第四講圓(1)

數(shù)列專題2021/12/24

班級姓名

知識整理

1.(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

圓心為(a,。)，半徑為7?的圓(x-a)2+(y-b)2=r2：

(2)圓的一般方程：-f+V+m+Ey+FnO；其中要滿足的條件是_。2+62—4尸>0,

圓心為(―2,—△),半徑r=-VZ)2+￡2-4F

222

注意：求圓的方程時(shí)，通常用幾何法或待定系數(shù)法，當(dāng)已知圓心或半徑時(shí)，可用標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)已知圓過某

些點(diǎn)時(shí)可用一般方程

(3)圓的參數(shù)方程：

X=a+rcos8

圓心在①/)，半徑為一的圓的參數(shù)方程為：｛~\(。為參數(shù))

y=b+rsinu

%—尸cose

特別的，圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為：\~'(。為參數(shù))

y=rsin。

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定：

利用圓心與該點(diǎn)的距離為d與圓半徑為r之間的關(guān)系即(4-a)?+(%-6)2與r2的大小關(guān)系

3.直線與圓的位置關(guān)系的判定：

判定方法1：聯(lián)立方程組--=得到關(guān)于x(或y)的方程

Ax+By+C=0

⑴△>()=相交；(2口=00相切；(3心<00相離。

判定方法2：若圓心(a,b)到直線L的距離為d

(l)dvr=相交；(2)d=r=相切；(3)d>r=相離。

注意：1.遇到直線與圓相交，常利用Rt△即弦長/,弦心距d及半徑r間的關(guān)系式：/=2：產(chǎn)—至2

2.當(dāng)直線與圓相離時(shí)，過圓心且垂直已知直線的直線與圓的交點(diǎn)是圓上到直線距離最大或最小的點(diǎn)

4.求圓的切線一般有兩種方法：

(1)設(shè)切線斜率，用圓心到直線距離等于半徑

(2)設(shè)切點(diǎn)用切線公式法

注意：若點(diǎn)P(Xo，%)，在圓(X—。尸+⑶一份2=/上，則過點(diǎn)P的切線為：

(玉)-a)(x_q)+(%-b)(y-b)=r-

2

特別的，若點(diǎn)PCX。,%)，在圓/+上，則過點(diǎn)P的切線為：xox+yQy=r

注意：過點(diǎn)P(x。，為)求已知圓(%-。)2+。-。)2=/的切線，必須先判斷點(diǎn)P在圓上還是在圓外。

7.圓與圓的位置關(guān)系

①.判斷方法：幾何法(d為圓心距)：(1)+外離(2)〃=4+弓。外切

(3)卜一回<d<[+5O相交(4)d=一qO內(nèi)切(5)1<卜一回O內(nèi)含

②圓系問題

(1)過兩圓G：/+^+已無+^,+^二。和。2：尤2+,2+。/+%>+8=0交點(diǎn)的圓系方程為

221

x+y+D]x+Exy+Fx++y+D2x+E2y+F2^-0(2^—1)

說明：(i)上述圓系不包括C2；

(ii)當(dāng)X=-1時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)

(iii)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為

x1+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=Q

二、例題分析

例1.圓C經(jīng)過P(L-1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心C在直線2x-3y+l=0

⑴過(-1,7)引圓C切線，求切線方程，切線長；

⑵過4：3x+4y+6=0上一點(diǎn)M引圓C切線，切點(diǎn)記為E,F

①切線的最小值；②SMEW的最小值；

③四邊形MEC用勺外接圓面積最小值：④G為圓。上一點(diǎn)，求GM的最小值；

⑤圓C上總存在一點(diǎn)G,使得NGA/C=30。，求知范圍；

(3)l2：(2/n+l)x+(m+l)y-7/71-4=0

⑴4交圓。于點(diǎn)A8

①|(zhì)44=3而，癡/的值；②求當(dāng)Aq最小時(shí)的直纜方程；

③求當(dāng)5兇加最大時(shí)，直線4方程；④求A3中點(diǎn)N的軌跡方程；

(2)圓C上恰好存在兩點(diǎn)到乙的距離為3,求加范圍。

例2(1)設(shè)圓C滿足：①截y軸所得弦長為2：②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1；③圓心到直線

/:x—2y=0的距離為，，求該圓的方程。

(2)已知直線ar+y-2=0與的圓C：(x—1)2+。一")2=4相交于A,8兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形,

則圓C方程為：.

例3.已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:+以_i2y+24=0,(1)若直線/過P且被圓C截得的線段長為4百,

求直線/的方程；(2)求過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)M的軌跡方程。

例4.已知圓心坐標(biāo)為M(、6,1)的圓M與x軸及直線y=瓜均相切，

切點(diǎn)分別為A、B,另一圓N與圓M、x軸及直線>=后均相切，切

點(diǎn)分別為C、D。(1)求圓M和圓N的方程；(2)過點(diǎn)B做直線MN

的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長度。

三.鞏固練習(xí)班級姓名

1.方程(2加+/〃—1*2+(/〃2一加+2方2+m+2=0表示一個(gè)圓則的加值()

A.1B.-3C.3D.1或-3

2.若圓(％-3)2+。+5)2=/”>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4萬—3丁—2=0距離等于1，則半徑7?取值

范圍是()

A.(4,6)B,[4,6)C.(4,6]D.[4,6]

3.若曲線G：f+y2-2x=()與曲線G：河》7n”加)=o有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

,75百、，百小一小百、r73V3,,也、d、

4.直線/：y=fcc+l與圓。：f+丁=1相交于A,B兩點(diǎn)，則“A=l”是“△OAB的面積為:”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

5.設(shè)加，〃eR,若直線(利+l)x+(〃+l)y—2=0與圓(x-1)?+(y-1)2=1相切，則〃?+〃的取值范圍是()

A.[1-V3,1+V3JB.(-8,1-向U[l+G,+8)

C.[2-272,2+272]D.(-8,2—20]U[2+2后,+oo)

6.若圓/+丁=4與圓/+/+2紗一6=0(a>0)的公共弦長為2百，則折.

7.直線小y=x+〃和'y=x+b將單位圓C：W+y2=i分成長度相等的四段弧，則/+〃=.

8.若直線丫=%+〃2與曲線y=系有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍_____________.

9.已知圓M的方程為W+(y—2尸=1,直線/的方程為X—2y=0,點(diǎn)尸在直線/上，過P點(diǎn)作圓M的切線

PA,PB,切點(diǎn)、為A,B.

(1)若ZAPB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,。兩點(diǎn)，當(dāng)CD=拒時(shí),求直線CD的方程；

⑶經(jīng)過AP,“三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過異于點(diǎn)M的定點(diǎn),若經(jīng)過，請求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.

圓的方程

1.(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

圓心為(凡加，半徑為r的圓(x-a)2+(y-b)2=r2；

(2)圓的一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0；

其中要滿足的條件是少+52-4/>。,

T-\'1_____________

圓心為(―人,—二)，半徑r=7D?+E?-4F

222

注意：求圓的方程時(shí)，通常用幾何法或待定系數(shù)法，當(dāng)已知圓心或半徑時(shí)，可用標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)已知圓過某

些點(diǎn)時(shí)可用一般方程

(3)圓的參數(shù)方程：

圓心在(兄與，半徑為廠的圓的參數(shù)方程為：\~'(。為參數(shù))

y=b+rsinff

JQ—Pcose

特別的，圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為：\~'(。為參數(shù))

y=rsinO

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定：

利用圓心與該點(diǎn)的距離為d與圓半徑為r之間的關(guān)系即(4-a-+(%-與2與r2的大小關(guān)系

3.直線與圓的位置關(guān)系的判定：

判定方法1：聯(lián)立方程組|口一a)2+(y-b)2=r\得到關(guān)于x(或y)的方程

Ax+By+C=0

(1心>00相交；◎)△=()O相切；(3心<0。相離。

判定方法2：若圓心(a,b)到直線L的距離為d

(l)d<rO相交；(2)d=r=相切；(3)d>r=相離。

注意：1.遇到直線與圓相交，常利用Rt△即弦長/,弦心距d及半徑/?間的關(guān)系式：/=2：產(chǎn)—儲

2.當(dāng)直線與圓相離時(shí)，過圓心且垂直已知直線的直線與圓的交點(diǎn)是圓上到直線距離最大或最小的點(diǎn)

4.求圓的切線一般有兩種方法：

(1)設(shè)切線斜率，用圓心到直線距離等于半徑

(2)設(shè)切點(diǎn)用切線公式法

注意：若點(diǎn)在圓(X—。)2+“一加2=/上，則過點(diǎn)p的切線為：

2

U()-a)(x-a)+(y?-b)(y-b)=r

2

特別的，若點(diǎn)POo，%),在圓x2+y2=，上，則過點(diǎn)p的切線為：xox+yay=r

注意：過點(diǎn)求已知圓。一為2+。一加2=/的切線，必須先判斷點(diǎn)p在圓上還是在圓外。

7.圓與圓的位置關(guān)系

①.判斷方法：幾何法(。為圓心距)：(1)4>{+弓o外離(2)d=+外切

(3)k—目<4<4+G<=>相交(4)4=打一百。內(nèi)切(5)4<卜一目O內(nèi)含

②圓系問題

(1)過兩圓G：X?+>2+￡)]%+￡；/+6=0和G：/+),2+。/+￡；2,+8=0交點(diǎn)的圓系方程為

221

x+y++耳++y+D^x+E2y+F^-0(2k—1)

說明：(i)上述圓系不包括C2；

(ii)當(dāng)/1=-1時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)

(iii)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為

x2+y2+Dx+Ey+F+A(^Ax+By+C^-Q

例1.圓Ct至過P(L-l)和坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心C在直線2x-3y+l=0

⑴過(-1,7)引圓C切線，求切線方程，切線長；

(2)過4：3x+4y+6=0上一點(diǎn)M引圓C切線，切點(diǎn)記為E,F

①切線拉球勺最小值；②SMEW的最小值；

③四邊形MEC取外接圓面積最小值：④G為圓C上一點(diǎn)，求GM的最小值;

⑤圓C上總存在一點(diǎn)G,使得NGNC=30。，求4范圍；

(3)l2：(2m+l)x+(m+l)y-7m—4=0

⑴《交圓仁于點(diǎn)兒臺

①|(zhì)A@=3"5,癡2的值；②求當(dāng)A目最小時(shí)的直線2方程；

③求當(dāng)凡吹最大時(shí)，直線4方程；④求48中點(diǎn)N的軌跡方程；

⑵圓C上總存在兩點(diǎn)到4的距離為3,求加范圍。

例2.設(shè)圓C滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1；③圓心到直線

/:x—2y=0的距離為正，求該圓的方程。

解：設(shè)所求圓心為P(a,b),半徑為r,則圓心到x軸，y軸的距離分別為|b|、|a|,

因圓P截y軸得弦長為2,由勾股定理得r2=a2+l,又圓被x軸分成兩段圓強(qiáng)的弧長的比為3：1,

二劣弧所對的圓心角為90°,

故r=pb,即r'zb?,

2b2-a2=l①，

又(a,b)到直線x-2y=0的距離為，，

即唳更

35

即a-2b=±l.②

解①②組成的方程組得：1或卜—「I干是即J=2b2=2,

b=1b=-\

二所求的圓的方程為(x+1)2+(y+l)2=2或(X-1)2+(y-1)2=2.

(2)已知直線or+y-2=0與的圓C：(》-1)2+。一")2=4相交于A,8兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形,

則圓C方程為：.

|?+a-2|

I解析］由題意可知圓的圓心為C(l,。)，半徑r=2,則圓心C到直線ax+y-2=0的距離d=

業(yè)2+1

=△ABC為等邊三角形，；.|A8|=r=2.又|AB|=24r2-法,22—=2,即層―8“

+1=0,解得a=4±\/T5

例3.(1)若過點(diǎn)A(4,0)的直線/與圓(x—2)2+V=1沒有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角的范圍____________

(巴當(dāng)

6,6

(2)求過點(diǎn)M(3,l),且與圓(x—1)2+產(chǎn)工相切的直線/的方程.

解法一：若1的斜率存在，可設(shè)直線的方程為y—l=k(x—3),即kx—y—3k+l=O,到因?yàn)閳A心(1,0)

到切線1的距離等于半徑2,

|々一3々十1|

所以=2,解得k=—

“公+(-1)2

所以/的方程為y—1=----—3)，即3N+41y—13

=0,

若I的斜率不存在，則/的方程為1=3,而圓心(1,0》

為直線2=3的距離等于半徑2,故直線工=3也適合題意.

所以所求的百線，的方程為31+4丫-13=0或工=3.

解法二：若直線/垂直于工軸，則直線/為工=3,與圓

相切，滿足條件.

若直線,不垂直于工軸，可設(shè)直線L的方程為y一1

=麥一3>?

由于直線I與圓相切，

所以方程組廿一\二,工廠3)'僅有一組解.

((工一17+y=4?

由方程組消去)，得關(guān)于N的一元二次方程：

Ck2+1)N^+(2麥一6*-2)N+9欠一64—2=0,

所以其判別式△=(一6/+24一2)2—4(1+欠)(9〃

一64一2)=0,解得k=---*,

因此/的方程為y—1=/〈工—3),即3H+4、一13

=0.

所以所求直線Z的方程是工=3或3N+4Y—13=0.

(3)判斷直線/：(1+機(jī)求+(1-m)丁+2m-1=0與圓0：f+y2=9的位置關(guān)系,并說明理由。

分析：法一：直線L：m(x-y+2)+x+y-l=0恒過點(diǎn)22,

?.?點(diǎn)P在圓0內(nèi)，.?.直線L與圓0相交。

A_|2m-1|_|外-1|

法二：圓心0到直線L的距離為J(l+my+(l_m)2V2m2+2

當(dāng)d<3時(shí)，(2m-l)2<9(2m2+2),A14m2+4m+17>0AmeR

所以直線L與直線0相交。

法三：聯(lián)立方程，消去y得2(l+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

△=56m4-96m3+92m2-l20m+68=4(m-l)2(14m2+4m+17)

當(dāng)mrl時(shí)，△>(),直線與圓相交；

__1_

當(dāng)m=l時(shí)，直線L：2,此時(shí)直線L與圓O相交，綜上得直線L與圓0恒相交。

⑷已知點(diǎn)尸(0,5)及圓C:/+y2+4x-12y+24=0,(1)若直線/過P且被圓C截得的線段長為4百,

求直線/的方程；(2)求過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：(1)1°當(dāng)直線1斜率不存在時(shí)，容易知x=0符合題意；…2

2°當(dāng)直線1斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為丫=1?1+5,交圓干AB兩點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M,連接CM,W1CM1AB,

'?|AB|=4r=4,

A|CM|=2,-4

|-2A：-1|=3…

則由|CM|=|r=2得:k=-,故直線1的方程為3x-4y+5=0,…6

W+14

二直線1的方程為：x=0或3x-4y+5=0；

(2)設(shè)弦中點(diǎn)P(x,y),由題意得：CP1QP,-8

CP*QP=^,而(x+2,y-6)>QP~(x,y-5)10

:,CP.QP=x(x+2)+(y-6)(y-5)=0?化簡整理得：x2+y2+2x-lly+30=0?,,,11

二點(diǎn)P的軌跡方程為：：x2+y2+2x-1ly+30=Q,((x+2)?+(y-6)iQ)...13

二點(diǎn)P的軌跡是以為(-1，?)為圓心，坐為半徑的圓，在圓(x+2)2+(y-6)2=16的內(nèi)部的一段弧”

(5)已知圓心坐標(biāo)為M(、6,1)的圓M與x軸及直線y=百x均相切，

切點(diǎn)分別為A、B,另一圓N與圓M、x軸及直線y=百%均相切，切

點(diǎn)分別為C、D。(1)求圓M和圓N的方程；(2)過點(diǎn)B做直線MN

的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長度。

(1)圓M：(x-V3)2+(y-l)2=1圓N：

(x-3V3)2+(y-3)2=9

(2)V33

2.方程(2機(jī)2+加-1)/+(/〃2一加+2)y2+加+2=0表示一個(gè)圓，則的加值(B)

A.1B,-3C.3D.1或-3

1.若圓*一3)2+3+5)2=/(r>0)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4萬—3丁—2=0距離等于1，則半徑7?取值

范圍是(A)

A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]

2.若曲線G：f+y2-2x=0與曲線G：y(y-儂-加)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(B)

A.(---)B.(---,0)U(0,—)C.f---]D.(-00,---)U(—,+00)

33333333

4.直線/：y=fcc+l與圓0：f+y=l相交于A,B兩點(diǎn)，則'“=1"是“△OAB的面積為寺”的(A)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件I).既不充分又不必要條件

5.設(shè)加,nGR,若直線(m+l)x+(〃+l)y-2=0與圓(x-1)?+(y-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是(D)

A.[1-73,1+^]B.(-OO,1-V3]U[1+V3,+OO)

C.[2-2夜,2+2夜]D.(-oo,2-2&]U[2+2夜,+oo)

【答案】D【命題意圖】本試題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式，重要不等式，一元二

次不等式的解法,并借助于直線與圓相切的幾何性質(zhì)求解的能力.

【解析】???直線(機(jī)+l)x+(〃+l)y-2=0與圓(x-+(y-1>=1相切,.?.圓心(1,1)到直線的距離為

|(/〃+1)+(〃+1)2|

d==1,所以/%〃=機(jī)+〃+1K(-----了，設(shè)t=m+n,

7(m+l)*2+*4(n+l)22

則-t2>什1,解得te(-00,2-2x/2]U[2+2后,+8).

4

5.若圓=4與圓X2+/+24〉—6=03>0)的公共弦長為2行，則a=

【解析】由己知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為y

a

利用圓心(0,0)到直線的距離d=U為標(biāo)=f7=1,解得“=1.

VT

【答案】1

8.直線人)，=》+.和by=x+6將單位圓C：f+y2=i分成長度相等的四段弧，則/+"=

12.2［解析］依題意得，圓心。到兩直線/i：y=x+m/2：y=x+6的距離相等，且每段弧長等于

圓周的;，即;，=5=lxsin45。，得間=|6|=1.故。2+從=2.

9.若直線y=x+〃z與曲線)==7有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：?.?曲線y=j4-Y表示半圓外+［=4(.之0),利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是

—24機(jī)<2或m=2及.

10.直線/1和/2是圓f+V=2的兩條切線,若/】與6的交點(diǎn)為(1,3),則/］與6的夾角的正切值等于.

[解析]如圖所示，根據(jù)