高中數(shù)學(xué)《分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》復(fù)習(xí)小結(jié)與訓(xùn)練

§6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.會(huì)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方

案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同

的方法，那么完成這件事共有N=mXn種不同的方法.

思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步？

答案區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若

能完成，則是分類，否則，是分步.

【判斷正誤】

1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.（X）

2.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.（V）

3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步

驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成.（V）

4.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題.（V）

【題型探究】

一、分類加法計(jì)數(shù)原理

X2V2

例1設(shè)集合A={1,2,3,4},m,nGA,則方程一+工=1表示焦點(diǎn)位于x軸上

mn

的橢圓有（）

A.6個(gè)B.8個(gè)

C.12個(gè)D.16個(gè)

答案A

解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m>n.當(dāng)m=4時(shí)，n=l,2,3；當(dāng)m=3

時(shí)，n=l,2；當(dāng)m=2時(shí)，n=l,即所求的橢圓共有3+2+1=6(個(gè)).

延伸探究

22

1.條件不變，結(jié)論變?yōu)椤皠t方程X一V+工=1表示焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓”有

mn

()

A.6個(gè)B.8個(gè)

C.12個(gè)D.16個(gè)

答案A

解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以m〈n,當(dāng)m=l時(shí)，n=2,3,4；當(dāng)m=2

時(shí)，n=3,4；當(dāng)m=3時(shí),n=4,即所求的橢圓共有3+2+1=6(個(gè)).

2.條件變?yōu)椤霸O(shè)集合八={1,2,3,4,5},m,n￡A”，其他條件不變，有()

A.8個(gè)B.10個(gè)

C.12個(gè)D.16個(gè)

答案B

解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以m〉n.

當(dāng)m=5時(shí)，n=l,2,3,4.

當(dāng)m=4時(shí)，n=l,2,3.

當(dāng)m=3時(shí)，n=l,2.

當(dāng)m=2時(shí)，n=l.

即所求的橢圓共有4+3+2+1=10(個(gè)).

反思感悟應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問(wèn)題

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，

怎樣才算是完成這件事.

(2)無(wú)論哪類方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的

方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的.

跟蹤訓(xùn)練1某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)

高三⑴班302050

高三(2)班303060

高三(3)班352055

(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？

(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生

活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

解(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案.

第1類，從高三⑴班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；

第2類，從高三⑵班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；

第3類，從高三⑶班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.

根據(jù)分類加法計(jì)算原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有50

+60+55=165(種)不同的選法.

(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生

活部部長(zhǎng)，共有三類不同的方案.

第1類，從高三⑴班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；

第2類，從高三⑵班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；

第3類，從高三⑶班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三⑴班、(2)班男生中或從高三⑶班女生中選

1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有30+30+20=80(種)不同的選法.

二、分步乘法計(jì)數(shù)原理

例2已知集合乂={-3,-2,-1,0,1.2),P(a,b)表示平面上的點(diǎn)(a,

bGM).問(wèn)：

(l)P(a,b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？

(2)P(a,b)可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？

解(1)確定平面上的點(diǎn)P(a,b)可分兩步完成：

第一步，確定a的值，共有6種方法；

第二步，確定b的值，也有6種方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6X6=36.

(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：

第一步，確定a,由于a〈0,所以有3種不同的確定方法；

第二步，確定b,由于b>0,所以有2種不同的確定方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3X2=6.

反思感悟利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

（1）分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步.

⑵計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù).

（3）結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.

跟蹤訓(xùn)練2從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx

+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共一個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共一個(gè).（用

數(shù)字作答）

答案186

解析一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a,b,c（aWO）的一組取值，a的取法有3種，b的

取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的二次函數(shù)

3X3X2=18（個(gè)）.

若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0.a的取法有3種，c的取法有2和J由分步乘法

計(jì)數(shù)原理知，共有不同的偶函數(shù)3X2=6（個(gè)）.

三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用

例3現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà).

（1）從中任選一幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？

⑵從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？

（3）從這些畫(huà)中選出兩幅不同種類的畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法？

解（1）分為三類：從國(guó)畫(huà)中選，有5種不同的選法；從油畫(huà)中選，有2種不同

的選法；從水彩畫(huà)中選，有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5

+2+7=14（種）不同的選法.

（2）分為三步：國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分

步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X2X7=70（種）不同的選法.

（3）分為三類：第一類是一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自油畫(huà)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理

知，有5X2=10（種）不同的選法；

第二類是一幅選自國(guó)畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，有5X7=35（種）不同的選法；

第三類是一幅選自油畫(huà)，一幅選自水彩畫(huà)，有2X7=14（種）不同的選法.

所以共有10+35+14=59（種）不同的選法.

反思感悟使用兩個(gè)原理的原則

使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對(duì)

于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原

理；“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時(shí)可

用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可

走，從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同

的走法？

解要從甲地到丙地共有兩類不同的方案：

第1類，從甲地經(jīng)乙地到丙地，共需兩步完成：

第1步，從甲地到乙地，有3條公路可走；

第2步，從乙地到丙地，有2條公路可走.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從甲地經(jīng)乙地到丙地有3X2=6（種）不同的走法.

第2類，從甲地不經(jīng)乙地到丙地，有2條水路可走，即有2種不同的走法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從甲地到丙地共有6+2=8（種）不同的走法.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3

次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)

為（）

A.1+1+1=3B.3+44-2=9

C.3X4X2=24D.以上都不對(duì)

答案B

2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種

數(shù)為（）

A.6B.5C.3D.2

答案B

3.現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上

衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為（)

A.7B.64C.12D.81

答案c

4.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫(xiě)出個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù).

答案2

5.一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩

個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有種不同的取法.

答案48

【課堂小結(jié)】

1.知識(shí)清單：

(1)分類加法計(jì)數(shù)原理.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.方法歸納：分類討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：“分類”與“分步”不清，導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤.

【同步練習(xí)】

g基礎(chǔ)鞏固

1.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂(lè)新聞

雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有()

A.24種B.9種C.3種D.26種

答案B

解析不同的雜志本數(shù)為4+3+2=9,從其中任選一本閱讀，共有9種選法.

2.圖書(shū)館的書(shū)架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第2層有5本不同的語(yǔ)

文書(shū)，第3層有8本不同的英語(yǔ)書(shū)，現(xiàn)從中任取1本書(shū)，則不同的取法共有

()

A.120種B.16種C.64種D.39種

答案B

解析由于書(shū)架上有3+5+8=16(本)書(shū)，則從中任取1本書(shū)，共有16種不同

的取法.

3.已知xe{2,3,7},y￡{-31,-24,4},則(x,y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

()

A.1B.3C.6D.9

答案D

解析這件事可分為兩步完成：第一步，在集合⑵3,7｝中任取一個(gè)值x有3種

方法；第二步，在集合｛—31,—24,4｝中任取一個(gè)值y有3種方法.根據(jù)分步

乘法計(jì)數(shù)原理知，有3X3=9個(gè)不同的點(diǎn).

4.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其

中虛數(shù)有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)

C.36個(gè)D.35個(gè)

答案C

解析要完成這件事可分兩步，第一步確定b（bWO）,有6種方法，第二步確

定a,有6種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6X6=36（個(gè)）虛數(shù).

5.滿足a,be｛-l,0,1,2｝,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序

實(shí)數(shù)對(duì)（a,b）的個(gè)數(shù)為（）

A.14B.13C.12D.10

答案B

解析由已知得ab〈l.

當(dāng)a=-l時(shí)，b=-l,0,1,2,有4種可能；

當(dāng)a=0時(shí),b=—1,0,1,2,有4種可能；

當(dāng)a=l時(shí)，b=—1,0,1,有3種可能；

當(dāng)a=2時(shí)，b=-l,0,有2種可能.

，共有（a,b）的個(gè)數(shù)為4+4+3+2=13.

6.一個(gè)禮堂有4個(gè)門，若從任一個(gè)門進(jìn)，從任一個(gè)門出，共有不同走法

種.

答案16

解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有4X4=16（種）走法.

7.若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有種不同的

方法；

在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開(kāi)關(guān)可以接通電路，有種不同的方法.

圖1圖2

答案56

解析對(duì)于圖1,按要求接通電路，只要在A中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)或B中的三個(gè)開(kāi)關(guān)

中合上一個(gè)即可，故有2+3=5（種）不同的方法.

對(duì)于圖2,按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：

第一步，合上A中的一個(gè)開(kāi)關(guān)；

第二步，合上B中的一個(gè)開(kāi)關(guān)，

故有2X3=6（種）不同的方法.

8.用1,2,3這3個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有個(gè).

答案15

解析分三類：

第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；

第二類為兩位整數(shù)，有12,13,21,23,31,32,共6個(gè)；

第三類為三位整數(shù)，有123,132,213,231,312,321,共6個(gè).

.?.可寫(xiě)出沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)有3+6+6=15（個(gè)）.

9.有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.

（1）若只需1人參加，則有多少種不同的選法？

（2）若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？

解（1）選1人，可分三類：

第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；

第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；

第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法.

共有3+8+5=16（種）不同的選法.

⑵選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步進(jìn)行：

第1步，選教師，有3種不同的選法；

第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；

第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法.

共有3X8X5=120（種）不同的選法.

10.若直線方程Ax+By=0中的A,B可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)

不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？

解分兩類完成：

第一類：當(dāng)A或B中有一個(gè)為。時(shí)，表示直線為x=0或y=0,共有2條；

第二類：當(dāng)A,B都不取0時(shí)，直線Ax+By=0被確定需分兩步完成：

第一步，確定A的值，從1,2,3,5中選一個(gè)，共有4種不同的方法；

第二步，確定B的值，共有3種不同的方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共確定4X3=12（條）直線.

由分類加法計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線有2+12=14（條）.

土綜合運(yùn)用

11.某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A,B,C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)

其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有（）

A.27種B.36種C.54種D.81種

答案C

解析小張的報(bào)名方法有2種，其他3位同學(xué)各有3種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理

知，共有2X3X3X3=54（種）不同的報(bào)名方法，選C.

X2V2

12.（多選）已知集合A={-1,2,3,4},m,nGA,則對(duì)于方程一十一=1的說(shuō)法

mn

正確的是（）

A.可表示3個(gè)不同的圓

B.可表示6個(gè)不同的橢圓

C.可表示3個(gè)不同的雙曲線

D.表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)

答案ABD

X2V2

解析當(dāng)m=n>0時(shí)，方程一+"-=1表示圓，故有3個(gè)，選項(xiàng)A正確；當(dāng)mWn

mn

.x2v2

且m,n>0時(shí)，方程一十—=1表示橢圓，焦點(diǎn)在x,y軸上的橢圓分別有3個(gè)，

mn

故有3X2=6（個(gè)），選項(xiàng)B正確；若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則m>n>0,當(dāng)m=4

時(shí)，n=2,3；當(dāng)m=3時(shí)，n=2,即所求的橢圓共有2+1=3（個(gè)），選項(xiàng)D正

22

確；當(dāng)mn〈O時(shí)，方程二+±=1表示雙曲線，故有3X1+1X3=6個(gè)，選項(xiàng)C

mn

錯(cuò)誤.

13.如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連,

連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A

向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞

的最大信息量為（）

A.26B.24C.20D.19

答案D

解析因信息可以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞，由分類加法計(jì)數(shù)原理，完成從

A向B傳遞有四種方法：12f5f3,12f6-*4,12-6-7,12f8f6,故單位時(shí)間

內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上傳遞的最大信息量的和：3+4+6+6=

19.

14.從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析分兩類：

第一類，公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,@1,3,5,共4個(gè)等差

數(shù)列；

第二類，公差小于0,也有4個(gè)等差數(shù)列，即①3,2,1,②4,3,2,③5,4,3,

@5,3,1.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4+4=8（個(gè)）不同的等差數(shù)列.

力拓廣探究

15.設(shè)me{1,2,3,4},nG{-12,—8,—4,—2},則函數(shù)f（x）=x'+mx+n

在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn)的概率是.

答案2

16

解析根據(jù)題意，fz(x)=3x2+m,

又因?yàn)閙〉0,所以f'(x)=3x2+m>0,

故f(x)=x3+mx+n在R上單調(diào)遞增，

若函數(shù)f(x)=x3+mx+n在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn),

只需滿足條件f(DWO且f(2)20,

所以m+nW—1且2m+n2—8,

所以一2m—8WnW—m—l,

當(dāng)m=1時(shí)，n取一2,—4,—8；

當(dāng)m=2時(shí)，n取一4,—8,—12；

當(dāng)m=3時(shí)，n取一4,-8,-12；

當(dāng)m=4時(shí)，n取一8,—12.

共11種取法，而m有4種選法，n有4種選法，

則函數(shù)f(x)=x：i+mx+n有4X4=16(種)情況，

故函數(shù)f(x)=x：i+mx+n在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn)的概率是擋.

16

16.“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458),若把四

位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，求第30個(gè)“漸升數(shù)”.

解“漸升數(shù)”由小到大排列，則1在首位，2在百位的“漸升數(shù)”有6+5+4

+3+2+1=21(個(gè))；1在首位，3在百位，4在十位的“漸升數(shù)”有5個(gè)；1在

首位，3在百位，5在十位的“漸升數(shù)”有4個(gè)，此時(shí)“漸升數(shù)”有21+5+4

=30(個(gè)),因此按從小到大的順序排列，第30個(gè)“漸升數(shù)”必為1359.

第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩

個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題

不同點(diǎn)針對(duì)的是“分類”問(wèn)題

各種方法相互獨(dú)立，用其中各個(gè)步驟中的方法互相依存，

不同點(diǎn)任何一種方法都可以做完這只有每一個(gè)步驟都完成才算做

件事完這件事

知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩

占?

八、、?

一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步.

(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加

法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù).

(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分類后再計(jì)

算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相

乘，得到總數(shù).

思考分類“不重不漏”的含義是什么？

答案“不重”即各類之間沒(méi)有交叉點(diǎn)，“不漏”即各類的并集是全集.

【自我檢測(cè)】

1.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)

賽，共有不同的選派方法種，若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加

學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法種.

答案920

解析根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有5+4=

9(種)選派方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參

加學(xué)科競(jìng)賽，共有4X5=20(種)選派方法.

2.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示

窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是.

答案81

解析每個(gè)信號(hào)顯示窗都有3種可能，故有3X3X3X3=3'=81（種）不同信

號(hào).

3.十字路口來(lái)往的車輛，如果不允許回頭，共有種行車路線.

答案12

解析起點(diǎn)為4種可能性，終點(diǎn)為3種可能性，則行車路線共有4X3=

12（種）.

4.多項(xiàng)式（ai+a?+a3）（bi+bz）+（at+as）（K+b。展開(kāi)式共有項(xiàng).

答案10

【題型探究】

一、組數(shù)問(wèn)題

例1用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字.

（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？

⑵可以排成多少個(gè)三位數(shù)？

⑶可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解（1）三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有

5種排法,共有5X5X5=53=125（個(gè)）.

（2）三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外

共有4種方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100（個(gè)）.

（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是末

位數(shù)字是0,則有4X3=12（種）排法；一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種

排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種

排法，因此有2X3X3=18（種）排法.因而有12+18=30（種）排法.即可以排

成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

延伸探究

由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

解完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)

位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去

用過(guò)的一個(gè)，從剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下

的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步

乘法計(jì)數(shù)原理知共有2X3X3X2=36（個(gè)）.

反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問(wèn)題，應(yīng)掌握以下原則

(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般

按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分

步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.

(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.

跟蹤訓(xùn)練1用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位

偶數(shù)？

解完成這件事可分為三類：

第一類是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：

第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；

第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字

可以選擇，有4種選法；

第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為4X4X3=48.

第二類是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：

第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選

法；

第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉己經(jīng)確定的首尾2個(gè)數(shù)字之后，還有4個(gè)

數(shù)字可以選擇，有4種選法；

第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為3X4X3=36.

第三類是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類.

對(duì)以上三類用分類加法計(jì)數(shù)原理，得所求無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)

有48+36+36=120(個(gè)).

二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇

例2(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種

報(bào)名方法？

(2)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一

項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？

（3）4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？

解（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊?/p>

人必報(bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在

三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3X3X3X3=81（種）報(bào)名方法.

⑵每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此跑步項(xiàng)目有4種選法，跳高項(xiàng)目有

3種選法，跳遠(yuǎn)項(xiàng)目只有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名

方法有4X3X2=24（種）.

（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲

得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為

線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4X4X4=

64（種）可能的結(jié)果.

反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一

性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次.解題

時(shí)一般選擇具有“唯一性”的對(duì)象進(jìn)行分解.

跟蹤訓(xùn)練2某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能

從字母B,C,D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0?9這10個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可

以重復(fù)）.若某車主第1個(gè)號(hào)碼（從左到右）只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他

號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有（）

A.180種B.360種C.720種D.960種

答案D

解析按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種

選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有5X3X4X4X4=960（種）情況.

三、涂色問(wèn)題

例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格

內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有

多少種不同的涂色方法？

解第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.

①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4X3=12（種）不同的涂法，第4

個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5X12X3=180（種）

不同的涂法.

②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同

色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有

5X4X4=80（種）不同的涂法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260（種）不同的涂法.

延伸探究

本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？

解依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色.

第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分

成4步來(lái)完成.

第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；

第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；

第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法.

于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5X4X3X2=120（種）.

第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成.

第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種

涂法.

于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5X4X3=60（種）.

綜上可知，所求的涂色方法共有120+60=180（種）.

反思感悟解決涂色問(wèn)題的一般思路

（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.

（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問(wèn)題，用分類加法計(jì)數(shù)

原理分析.

⑶將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S—ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使

同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法.

s

解由題意知，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同，它們共

有5X4X3=60（種）染色方法.

當(dāng)S,A,B染色確定時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,剩余2種顏色分別為4

和5.

若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法；

若C染4,則D可染3或5,有2種染法；

若C染5,則D可染3或4,有2種染法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，當(dāng)S,A,B染法確定時(shí)，C,D有7種染法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的染色方法有60X7=420（種）.

四、種植問(wèn)題

例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，

且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有種.

答案42

解析分別用a,b,c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)

放入a,再安排第二塊田，有2種方法b或c,不妨設(shè)放入b,第三塊也有2種

方法a或c.

（1）若第三塊田放c：

abc

第四、五塊田分別有2種方法，共有2X2=4（種）方法.

（2）若第三塊田放a：

aba

第四塊有b或c2種方法,

①若第四塊放c：

abac

第五塊有2種方法;

②若第四塊放b：

abab

第五塊只能種作物c,共1種方法.

綜上，共有3X2X（2X2+2+l）=42（種）方法.

反思感悟種植問(wèn)題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種

植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在

不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.

解方法一（直接法）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3X2=6（種）不同的種

植方法.

同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3X2=6（種）不同的種植方法.

故不同的種植方法共有6X3=18（種）.

方法二（間接法）從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4X3X2=

24（種），其中不種黃瓜有3X2X1=6（種），故共有不同的種植方法24—6=

18（種）.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中

的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是（）

A.56B.65

5X6X5X4X3X2

D.6X5X4X3X2

答案A

解析每位同學(xué)都有5種選擇，共有5X5X5X5X5X5=51種）.

2.如果x,yCN,且1WXW3,x+y<7,則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)

（X,y）的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.12C.15D.4

答案C

解析當(dāng)x=l時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4,5,有6種情況；當(dāng)x=2時(shí)，y

的取值可能為0,1,2,3,4,有5種情況；當(dāng)x=3時(shí)，y的取值可能為

0,1,2,3,有4種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的（x,y）的個(gè)數(shù)

為6+5+4=15.

3.已知集合$=匕”a2},T={b,,b2},則從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有

（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案D

解析可分兩步，第一步，集合S中為對(duì)應(yīng)到集合T中的元素有2個(gè)不同的對(duì)

應(yīng)關(guān)系；第二步，集合S中a,對(duì)應(yīng)到集合T中的元素，有2個(gè)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)

系，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有2X2=4（個(gè)），故

選D.

4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏

色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種.（用數(shù)

字作答）

答案750

解析首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選

擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理得，共有6X5X5X5=750（種）涂色方法.

5.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊

答案40

解析滿足條件的有兩類：

第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個(gè)；

第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有8X4=32（個(gè)），

所以滿足條件的三角形共有8+32=40（個(gè)）.

【課堂小結(jié)】

1.知識(shí)清單：

（1）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問(wèn)題、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇、涂色問(wèn)題及種植

問(wèn)題.

2.方法歸納：分類討論、正難則反.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問(wèn)題.

【同步練習(xí)】

g基礎(chǔ)鞏固

1.把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有（）

A.24種B.4種C.A種D.3'種

答案C

解析第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；

第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就完成了這件事

情.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有4,種方法，故選C.

2.由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.15B.12C.10D.5

答案D

解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其

中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理

知共有偶數(shù)5個(gè).

3.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參

觀路線共有（）

A.6種B.8利?

C.36種D.48種

答案D

解析如圖所示，由題意知在A點(diǎn)可先參觀區(qū)域1,也可先參觀區(qū)域2或3,選

定一個(gè)區(qū)域后可以按逆時(shí)針參觀，也可以按順時(shí)針參觀，所以第一步可以從6

個(gè)路口任選一個(gè)，有6種結(jié)果，參觀完第一個(gè)區(qū)域后，選擇下一步走法，有4

種結(jié)果，參觀完第二個(gè)區(qū)域，只剩下最后一個(gè)區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理，共有6X4X2=48（種）不同的參觀路線.

4.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物

（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生

肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)

吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三

位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）

A.360種B.50種C.60種D.90種

答案B

解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1X2X10=

20（種），②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1X3X10

=30（種）,所以共有20+30=50（種）選法.故選B.

5.有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同

的涂色方法共有（）

A.4320種B.2880種

C.1440種D.720種

答案A

解析第1個(gè)區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個(gè)區(qū)域有5種不同的涂色方

法，第3個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，

第5個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6X5X4X3X4X3=4320（種）不同的涂色方法.

6.如圖所示，在A,B間有4個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致線路不通,

現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A,B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有種.

答案13

解析4個(gè)焊接點(diǎn)共有2‘種情況，其中使A,B之間線路通的情況是1,4都通，

2和3至少有一個(gè)通，此時(shí)共有3種可能，故焊接點(diǎn)脫落的情況有24—3=

13（種）.

7.有10本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，9本不同的語(yǔ)文書(shū)，8本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任取兩

本不同類的書(shū)，共有種不同的取法.

答案242

解析分三類：第一類，取數(shù)學(xué)書(shū)和語(yǔ)文書(shū)，有10X9=90（種）；第二類，取

數(shù)學(xué)書(shū)和英語(yǔ)書(shū)，有10X8=80（種）；第三類，取語(yǔ)文書(shū)和英語(yǔ)書(shū)，有9X8=

72（種）.故共有90+80+72=242（種）.

8.某運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在

1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式

共有種.

答案2880

解析分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.

第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以共有

4X3義2=24（種）方法;

第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排，共有

5X4X3X2X1=120（種）方法.

所以安排這8人的方式共有24X120=2880（種）.

9.（1）有8本不同的書(shū)，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人1本，有多少種不同的

分法？

（2）4位旅客到3個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

解（1）分三步：每位同學(xué)取1本書(shū)，第1,2,3位同學(xué)分別有8,7,6種取法，因

而由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的分法共有8X7X6=336（種）.

（2）每位旅客都有3種不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有3X3X3X3

=81（種）.

10.用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A,B,C,D四個(gè)區(qū)域

中相鄰（有公共邊的）區(qū)域不用同一種顏色，求共