北師大版八下數(shù)學(xué)體驗(yàn)課-第02講特殊三角形和平行四邊形-教案

第02講—特殊三角形和平行四邊形趣味問答 新年過后，食品紛紛漲價(jià)，下面是三個(gè)人的對(duì)話：甲說：如果大米漲價(jià)的話，油也會(huì)漲乙說：如果油漲的話，雞蛋也會(huì)漲丙說：如果雞蛋漲的話，牛奶也會(huì)漲。從三個(gè)人的對(duì)話看，說法都正確，但四種商品只有兩種漲了價(jià)，請(qǐng)問是哪兩種？考點(diǎn)梳理 例題剖析考點(diǎn)1：垂直平分線、角平分線的性質(zhì)例1、如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周長(zhǎng)是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【解析】D．例2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分線，則BC+CD的長(zhǎng)（）．A．3 B．4 C．5 D．6【解析】B．考點(diǎn)2：等腰三角形和特殊角的直角三角形例3、如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的長(zhǎng)（）A．4 B．6 C．8 D．10【解析】C．例4、如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，則∠EDC=（）A．α B．α C．α D．α【解析】A．考點(diǎn)3：圖形的平移和旋轉(zhuǎn)例5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長(zhǎng)是2+2．【解析】解：連結(jié)CE，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，如下圖所示，∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°∴∠BCA=∠BAC=45°∵Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與Rt△ADE重合，∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE又∵旋轉(zhuǎn)角為60°∴∠BAD=∠CAE=60°，∴△ACE是等邊三角形∴AC=CE=AE=4在△ABE與△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SSS）∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AFB=∠AFE=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF==2又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°FE=AF=2∴BE=BF+FE=2+2故，本題的答案是：2+2例6、如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，將△ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2．（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）計(jì)算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）【解析】解：（1）如圖所示：（2）∵圖中是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格，∴AC==2，∴線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積=4×2+3×2+﹣=14+π．考點(diǎn)4：全等三角形與平行四邊形的判定與性質(zhì)例6、如圖，△ABC和△BEF都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，且∠EAD=60°，連接ED、CF．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．【解析】證明：（1）∵△ABC和△BEF都是等邊三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等邊三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形．例7、如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等邊三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面積比為：1：4；（易知AF=BF，延長(zhǎng)EF交AD于H，△AEF的面積=?EF?AH=?CB?AD=??BC?AD，由此即可證明）（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=DC．【變式訓(xùn)練】1．如圖Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；（2）求四邊形ADFE的周長(zhǎng)．【解析】（1）證明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形；（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，∴AB=AE=4，∵AF=BF=AB=2，則EF=AD=2，故四邊形ADFE的周長(zhǎng)為：2（4+2）=8+4．2．如圖，在?ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于點(diǎn)G．（1）求?ABCD的面積；（2）求證：△AEG是等邊三角形．【解析】（1）解：∵在Rt△AEB中，∠1=30°，BE=2，∴∠B=60°，AB=2BE=4，∴AE==2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，∵CF=1，∴DF=3，∴在Rt△ADF中，∠DAF=90°﹣60°=30°，則AD=2DF=6，∴BC=6，∴S平行四邊形ABCD=BC×AE=6×2=12；（2）證明：由（1）知：∠DA