【解析】江西省南昌市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

NCS20200707項目第三次模擬測試卷文科數(shù)學(xué)一?選擇題（i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)z，寫出，即得對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，在第四象限.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題判斷即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題，，，故選：D【點睛】本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡單題.3.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，得分（10分制）的頻數(shù)分布表如表：得分345678910頻數(shù)231063222設(shè)得分的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由頻率分步表求出眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，比較即可．【詳解】由圖知，眾數(shù)是；中位數(shù)是第15個數(shù)與第16個數(shù)的平均值，由圖知將數(shù)據(jù)從大到小排第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)是；平均數(shù)是；∴．故選：D．【點睛】本題考查了求出一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4.大約在20世紀(jì)30年代，世界上許多國家都流傳著這樣一個題目：任取一個正整數(shù)，則要想算出結(jié)果1，共需要經(jīng)過的運算步數(shù)是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】【分析】由題意：任取一個正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，則除以2；如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1,依次遞推，得到1，即得解.【詳解】由題意：任取一個正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，則除以2；如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1.第一步：為奇數(shù)，則；第二步：偶數(shù)，則；第三步：為偶數(shù)，則；第四步：為偶數(shù)，則；第五步：為奇數(shù)，則；第六步：為偶數(shù)，則；第七步：為偶數(shù)，則；第八步：為偶數(shù)，則；第九步：為偶數(shù)，則.故選：A【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化以及數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用，理解辨析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意還原幾何體，根據(jù)圓錐的體積計算公式，即可容易求得.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是底面半徑為3，高為4的四分之一圓錐.故其體積.故選：A.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓錐體積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.中，D為線段上一點，且，若，則()A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，以為基底，根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】，又，，，故選：B【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，考查了向量的加法、減法，基底的概念，屬于中檔題.的焦點，并與拋物線交于點，(在第一象限)，若的縱坐標(biāo)為6，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出點坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線的方程，并代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式求解即可.【詳解】設(shè)，，直線的方程為將代入中，整理得故選：B【點睛】本題主要考查了求直線與拋物線相交所得弦長，屬于中檔題.（且）的圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.9.對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下形式的“分裂”：,仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個是73，則m的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】由題意可得的“分裂數(shù)”為個連續(xù)奇數(shù)，設(shè)的“分裂數(shù)”中第一個數(shù)為，則由題意可得：，，…，，將以上個式子疊加可得∴∴當(dāng)時，，即73是的“分裂數(shù)”中第一個數(shù)故選B中，角的平分線交邊于點，，，，則（）.A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，用余弦定理表示出和，利用角平分線定理求得后可得，從而得．【詳解】因為是的平分線，設(shè)，則，同理，∴，解得，∴，，∴．故選：A．【點睛】本題考查余弦定理，考查三角形內(nèi)角平分線定理，掌握余弦定理是解題關(guān)鍵．的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與軸交于點，的內(nèi)切圓與邊切于點.若，則的漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)：圓外一點向圓引切線，則切線長相等，結(jié)合雙曲線的定義，可求出漸進(jìn)線方程.【詳解】如圖所示：設(shè)分別為三邊與其內(nèi)切圓的切點，圓心為.已知≌，≌,≌.即由雙曲線的定義有：.則.所以,即.又.所以，又，解得.雙曲線的漸近線方程為：.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的定義、性質(zhì)和漸進(jìn)線方程，考查圓的切線性質(zhì)，屬于中檔題.滿足當(dāng)時，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，如圖所示，當(dāng)時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當(dāng)時，要使函數(shù)關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.二?填空題，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及商數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的化簡求值，屬于中檔題.，，若，則對應(yīng)的實數(shù)對有________對.【答案】2【解析】【分析】計算，根據(jù)討論，，三種情況，計算得到答案.【詳解】，，，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則不成立.故對應(yīng)的實數(shù)對有2對.故答案為：2.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和分類討論能力.，，，，則m，n，p的大小關(guān)系是_________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合自變量的大小，求解即可．【詳解】解：∵，定義域，∴，∴函數(shù)為偶函數(shù)，且易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．中，，，，已知是矩形內(nèi)一動點，，設(shè)點形成的軌跡長度為，則________；當(dāng)?shù)拈L度最短時，三棱錐的體積為________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先確定點的軌跡，然后利用誘導(dǎo)公式即可求解的值；根據(jù)圓外一點到圓上距離的最小值，即可找到所求的點，結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】如圖，在長方體中，連接,則在△中，,所以點的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓弧,故,，在△中，,所以；在△中，,所以的長度最短可轉(zhuǎn)化為的長度最短，連接,則與圓弧的交點即為所求的點，,所以故答案為：；【點睛】本題主要考查圓的定義、兩角和的正切公式及三棱錐的體積，屬于能力提升題.三?解答題中，，(為常數(shù)).（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）若為等比數(shù)列，求的值及的前項和.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式得出值，再結(jié)合等差中項的性質(zhì)，即可得出的值；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得出，最后由求和公式計算即可.【詳解】（1）令，令，令，而，，成等差數(shù)列，則，即解得（舍），，即（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得設(shè)其公比為，則所以，數(shù)列前項和.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用以及求等比數(shù)列的前項和，屬于中檔題.18.全國文明城市是中國所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個，是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，是目前國內(nèi)城市綜合類評比中的最高榮譽，也是最具價值的城市品牌，作為普通市民，既是城市文明的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，皖北某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取400份試卷作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）求樣本的平均數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從該樣本成績在與兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的市民中按分層抽樣選取6人，求從這6人中隨機選取2人，且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.【答案】（Ⅰ）74（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)小矩形的面積之和等于可求出，再根據(jù)平均數(shù)小矩形的面積小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和，即可求解.（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣算出在內(nèi)選取2人，在內(nèi)選取4人，利用列舉法求出從這6人中選取2人的所有選取方法，再求出2人成績之差的絕對值大于20的選取方法，利用古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）因為所以，從而樣本平均數(shù)為（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣，在內(nèi)選取2人，記為，在內(nèi)選取4人，記為.從這6人中選取2人的所有選取方法：，共15種.2人成績之差的絕對值大于20的選取方法：共8種.所以所求概率為.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法、古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.中，，，，四邊形為菱形，且，.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，由面面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，，，，菱形中故三角形是等邊三角形，則，，又，所以又，，平面，故平面因為平面，所以在中，所以故，又，，平面所以平面，又平面所以平面平面（2）由（1）知：在中，，設(shè)點到平面的距離為因為，所以，則【點睛】本題主要考查了證明面面垂直以及求點到平面的距離，屬于中檔題..（1）若，求函數(shù)的所有零點；（2）若，證明函數(shù)不存在的極值.【答案】(1)(2)見證明【解析】【分析】（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，得到（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），從而得到函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點，因為，是函數(shù)唯一的零點，從而求得結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍，得到在上單調(diào)遞增，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，且．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．即當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個零點.因為，是函數(shù)唯一的零點.所以若，則函數(shù)的所有零點只有．（2）證法1：因為，函數(shù)的定義域為，且．當(dāng)時，，由（1）知．即當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增．所以不存在極值．證法2：因為，函數(shù)的定義域為，且．設(shè)，則．設(shè)，則與同號．當(dāng)時，由，解得，．可知當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由（1）知．則．所以，即在定義域上單調(diào)遞增．所以不存在極值．【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識點有求函數(shù)的零點，函數(shù)的極值存在的條件，屬于中檔題目.xOy上取兩個定點A1（，0），A2（，0），再取兩個動點N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.（1）求直線A1N1與A2N2交點M的軌跡C的方程；（2）過R（3，0）的直線與軌跡C交于P，Q，過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點，若（λ＞1），求證：.【答案】（1）1（x≠±）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先寫出兩直線的方程，再根據(jù)條件化簡即可求得答案；（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)l：x＝ty+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得y1+y2且y1y2，根據(jù)題意得x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：依題意知直線A1N1的方程為：y（x）…①；直線A2N2的方程為：y（x）…②設(shè)Q（x，y）是直線A1N1與A2N2交點，①、②相乘，得y2（x2﹣6）由mn＝2整理得：1∵N1、N2不與原點重合，可得點A1，A2不在軌跡M上，∴軌跡C的方程為1（x≠±）；（2）證明：設(shè)l：x＝ty+3，代入橢圓方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，證明，只要證明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），只要證明，只要證明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴．【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力與推理能力，屬于難題．22.在極坐標(biāo)系中，曲線，以極點O為旋轉(zhuǎn)中心，將曲線C逆時針旋轉(zhuǎn)得到曲線.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C與曲線的公共部分面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)點是曲線上任意一點，用點的極坐標(biāo)表示出點旋轉(zhuǎn)之后對應(yīng)的點，而點在曲線上，代入即可求出曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）根據(jù)幾何知識可知，四邊形為菱形，即可求出，再根據(jù)曲線C與曲線的公共部分等于兩個弓形面積，即可求出．【詳解】（Ⅰ）設(shè)點是曲線上任意一點，旋轉(zhuǎn)之后點，滿足，即代入曲線，得曲線，即曲線．（Ⅱ）如圖，兩圓相交于點O，A，連接，，，，，顯然四邊形為菱形，故．由曲線知，圓的半徑為，所以曲線C與曲線的公共部分的面積為兩個弓形的面積，即.【點睛】本題主要考查相關(guān)