培優(yōu)沖刺04 幾何最值問(wèn)題綜合（原卷版）

培優(yōu)沖刺04幾何最值問(wèn)題綜合1、將軍飲馬類(lèi)幾何最值2、輔助圓類(lèi)幾何最值3、瓜豆原理類(lèi)幾何最值4、其他類(lèi)幾何最值題型一：將軍飲馬類(lèi)幾何最值1.“兩定一動(dòng)”型將軍飲馬：①異側(cè)型→直接連接，交點(diǎn)即為待求動(dòng)點(diǎn)；后用勾股定理求最值②同側(cè)型→對(duì)稱(chēng)、連接；后續(xù)同上“兩定兩動(dòng)”型：①同側(cè)型→先水平平移（往靠近對(duì)方的方向）、再對(duì)稱(chēng)、最后連接；也可先對(duì)稱(chēng)、再水平平移（往靠近對(duì)方的方向）、最后連接；后續(xù)同上。同側(cè)型異側(cè)型②異側(cè)型→先水平平移（往靠近對(duì)方的方向）、再連接；后續(xù)同上?！局锌颊骖}練】1．（2023?瀘州）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，的值是．2．（2023?德州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E在AB上，且AE＝1．F，G為邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FG＝1．當(dāng)四邊形CGFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，CG的長(zhǎng)為．3．（2023?綏化）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是．【中考模擬練】1．（2024?衡南縣模擬）已知：如圖，直線y＝﹣2x+4分別與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），若在直線AB上取一點(diǎn)M，在y軸上取一點(diǎn)N，連接MN、MP、NP，則MN+MP+NP的最小值是（）A．3 B． C． D．2．（2023?龍馬潭區(qū)二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，則DE+EF的最小值．3．（2024?碑林區(qū)校級(jí)一模）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心，2為半徑在△ABC內(nèi)部畫(huà)弧，若點(diǎn)P是上述弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ+QD的最小值；（2）如圖②，矩形ABCD是某在建的公園示意圖，其中AB＝200米，BC＝400米．根據(jù)實(shí)際情況，需要在邊DC的中點(diǎn)E處開(kāi)一個(gè)東門(mén)，同時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，要在以點(diǎn)A為圓心，在公園內(nèi)以10米為半徑的圓弧上選一處點(diǎn)P開(kāi)一個(gè)西北門(mén)，還要在邊BC上選一處點(diǎn)Q，在以Q為圓心，在公園內(nèi)以10米為半徑的半圓的三等分點(diǎn)的M、N處開(kāi)兩個(gè)南門(mén)．線段PM、NE是要修的兩條道路．為了節(jié)約成本，希望PM+NE最?。嚽驪M+NE最小值及此時(shí)BQ的長(zhǎng)．4．（2023?臥龍區(qū)二模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出（1）如圖①，請(qǐng)你在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A和B的距離之和最小，即PA+PB的和最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫(xiě)作法）；思維轉(zhuǎn)換（2）如圖②，已知點(diǎn)E是直線l外一定點(diǎn)，且到直線l的距離為4，MN是直線l上的動(dòng)線段，MN＝6，連接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：“借助物理學(xué)科的相對(duì)運(yùn)動(dòng)思維，若將線段MN看作靜線段，則點(diǎn)E在平行于直線l的直線上運(yùn)動(dòng)”，請(qǐng)你參考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，連接BD，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝AF，分別過(guò)點(diǎn)E、F作EM⊥BD，F(xiàn)N⊥BD，垂足分別為M、N，連接AM、AN，請(qǐng)直接寫(xiě)出△AMN周長(zhǎng)的最小值．題型二：輔助圓類(lèi)幾何最值動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為輔助圓的三種形式：1、定義法——若一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒等于固定長(zhǎng)，則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓（或圓?。?、定邊對(duì)直角——若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為直角，則直角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓弧）3．定邊對(duì)定角——若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為定角，則該定角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定角為圓周角，該定邊為弦的圓（或圓弧）【中考真題練】1．（2023?黑龍江）如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，點(diǎn)F，連接CF，EF，CE，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△CEF面積的最大值是．【中考模擬練】1．（2023?永壽縣二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長(zhǎng)為．2．（2023?營(yíng)口一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MN的最大值為．3．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．4．（2024?蘭州模擬）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過(guò)程中的幾何問(wèn)題，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)不共線），AE為△ABD的中線．【初步嘗試】（1）如圖1，小林同學(xué)發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M，使得ME＝AE，連接DM．始終存在以下兩個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你在①，②中挑選一個(gè)進(jìn)行證明：①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°；【類(lèi)比探究】（2）如圖2，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接CF．小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你幫他證明；【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（AD＞AB），直線AE與直線CF相交于點(diǎn)G，連接BG，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BG存在最大值．若AB＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出BG的最大值．題型三：瓜豆原理類(lèi)幾何最值大概動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題符合瓜豆原理的模型時(shí)，也可以和幾何最值結(jié)合【中考真題練】1．（2022?沈陽(yáng)）【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是；【類(lèi)比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），那么第（1）問(wèn)的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說(shuō)明理由．【方法運(yùn)用】（3）如圖3，若AB＝8，點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當(dāng)∠CBD＝∠DAB＝30°時(shí)，直接寫(xiě)出AD的值．【中考模擬練】1．（2023?金平區(qū)三模）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為．2．（2023?蒼溪縣一模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為．3．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定圖形W和點(diǎn)P，若圖形W上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N滿足PM＝PN且∠MPN＝90°，則稱(chēng)點(diǎn)P是圖形W的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2）．（1）在點(diǎn)P1（﹣，﹣1），P2（﹣，3），P3（﹣2，﹣2）中，是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（2）⊙T是以點(diǎn)T（t，0）為圓心，r為半徑的圓．①當(dāng)t＝0時(shí)，若線段AB上任一點(diǎn)均為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求r的取值范圍；②記線段AB與線段AO組成折線G，若存在t≥4，使折線G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是⊙T的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出r的最小值．4．（2024?昆山市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．題型四：其他類(lèi)幾何最值除了常見(jiàn)的模型與幾何最值結(jié)合外，還有一些幾何問(wèn)題，應(yīng)用直接的最值原理，比如：點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等【中考真題練】1．（2023?錦州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD，AE，使AD＝AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，則CP+AP的最小值是．2．（2023?德陽(yáng)）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，一只小蟲(chóng)從B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程等于．3．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD＝2．M是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作?CMND．連接AN并取AN的中點(diǎn)P，連接PM，則PM的取值范圍是．．【中考模擬練】1．（2024?濟(jì)南一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在A1處，連接A1