遼寧省葫蘆島市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE18-遼寧省葫蘆島市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）留意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷兩部分，共4頁(yè)。滿分150分；考試時(shí)間：120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂在答題卡上。3．用鉛筆把第Ⅰ卷的答案涂在答題卡上，用鋼筆或圓珠把Ⅱ卷的答案寫在答題紙的相應(yīng)位置上。第Ⅰ卷（選擇題，共44分）一、選擇題（本小題共11小題，共44分，每小題4分，1~8題為單選題；9~11為多選題，多選題全選對(duì)得4分，漏選得2分，錯(cuò)選或不選得0分）1.若集合，集合，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再求A∩B.【詳解】由題得，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題,2.為了了解某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中1000名學(xué)生的成果,從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則每名學(xué)生成果入樣的機(jī)會(huì)是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)殡S機(jī)抽樣是等可能抽樣，每名學(xué)生成果被抽到的機(jī)會(huì)相等,都是.故選A.3.以下現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象的是A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃，必會(huì)沸騰B.長(zhǎng)和寬分別為a，b的矩形，其面積為C.走到十字路口，遇到紅燈D.三角形內(nèi)角和為180°【答案】C【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷得解.【詳解】A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃，必會(huì)沸騰,是必定事務(wù)；B.長(zhǎng)和寬分別為a，b的矩形，其面積為，是必定事務(wù)；C.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事務(wù)；D.三角形內(nèi)角和為180°，是必定事務(wù).故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查必定事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)的定義與推斷，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由題得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的減法運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球” B.“至少有1個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球” D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，列舉每個(gè)事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件，結(jié)合互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義分析即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A、“至少有1個(gè)白球”包括“兩個(gè)白球”和“一白一紅”兩種狀況，與“都是紅球”是對(duì)立事務(wù)，不符合題意；對(duì)于B、“至少有1個(gè)白球”包括“兩個(gè)白球”和“一白一紅”兩種狀況，“至多有1個(gè)紅球”包括“兩個(gè)白球”和“一白一紅”兩種狀況，不是互斥事務(wù)，不符合題意；對(duì)于C、“恰有1個(gè)白球”即“一白一紅”，與“恰有2個(gè)白球”是互斥不對(duì)立事務(wù)，對(duì)于D、“至多有1個(gè)白球”包括“兩個(gè)紅球”和“一白一紅”兩種狀況，和“都是紅球”不是互斥事務(wù)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)，留意理解互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義．6.已知向量，若則的最小值為A.12 B. C.15 D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)椋?a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.【詳解】因?yàn)椋?a+2b=1,所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示和利用基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.7.若樣本的平均數(shù)為10，其方差為2，則對(duì)于樣本的下列結(jié)論正確的是A.平均數(shù)為20，方差為8 B.平均數(shù)為20，方差為10C.平均數(shù)為21，方差為8 D.平均數(shù)為21，方差為10【答案】A【解析】【分析】利用和差積的平均數(shù)和方差公式解答.【詳解】由題得樣本的平均數(shù)為，方差為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.8.二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采納的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則“借一當(dāng)二”。當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)運(yùn)用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制則是一個(gè)特別微小的開關(guān)，用1來(lái)表示“開”，用0來(lái)表示“關(guān)”。如圖所示，把十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù),十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)，把二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)為，隨機(jī)取出1個(gè)不小于，且不超過(guò)的二進(jìn)制數(shù)，其數(shù)碼中恰有4個(gè)1的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】二進(jìn)制的后五位的排列總數(shù)為，二進(jìn)制的后五位恰好有三個(gè)“1”的個(gè)數(shù)為，由古典概型的概率公式得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.9.下面選項(xiàng)正確的有（）A.分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)弧度；B.在中，若，則；C.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；D.函數(shù)是奇函數(shù).【答案】BD【解析】【分析】依次推斷各個(gè)選項(xiàng)，依據(jù)正負(fù)角的概念可知錯(cuò)誤；由正弦定理可推斷出正確；依據(jù)函數(shù)圖象可推斷出錯(cuò)誤；由奇函數(shù)的定義可推斷出正確.【詳解】選項(xiàng)：分針為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每小時(shí)應(yīng)旋轉(zhuǎn)弧度，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：由正弦定理可知，若，則，所以，可知正確；選項(xiàng)：和在同一坐標(biāo)系中圖象如下：通過(guò)圖象可知和有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又為奇函數(shù)，可知正確.本題正確選項(xiàng)：，【點(diǎn)睛】本題考查與函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形有關(guān)的命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)奇偶性、角的概念、初等函數(shù)圖象、正弦定理的駕馭狀況.10.有下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法為A.若，則B.若，，分別表示，面積，則C.兩個(gè)非零向量a，b，若，則a與b共線且反向D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】AD【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷得解.【詳解】A.若，則,假如都是非零向量，，明顯滿意已知條件，但是結(jié)論不肯定成立，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B.如圖，D,E分別是AC,BC的中點(diǎn)，，所以則,所以該選項(xiàng)是正確的；C.兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，所以該選項(xiàng)是正確的；D.若，假如是非零向量，，則不存在實(shí)數(shù)使得，所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選：A,D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的運(yùn)算，考查向量的平行及性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.11.在△ABC中，給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.,則【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理和同角關(guān)系對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)分析推斷得解.【詳解】A.若，則所以，所以該選項(xiàng)是正確的；B.若，則，所以該選項(xiàng)是正確的；C.若，設(shè),所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.,則所以,故該選項(xiàng)正確.故選：A,B,D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，考查同角三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題，共106分）二、填空題（本題共4小題，共16分，每小題4分，其中15題有兩個(gè)空，每空2分）12.已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)。則___________.【答案】【解析】分析】干脆利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【詳解】由題得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.13.若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，則有，所以，解得，所以.考點(diǎn)：平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算.14.已知函數(shù)，的最小正周期是___________.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查和角的正切和正切函數(shù)的周期的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.15.銳角的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則____，邊長(zhǎng)的取值范圍是____.【答案】(1).4(2).【解析】【分析】利用可得，結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合銳角三角形和可得范圍.【詳解】因，所以，由正弦定理得，所以；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，,所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理求解三角形及邊長(zhǎng)的范圍，解三角形常用策略是邊角互化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題（本題共6個(gè)小題，共90分，每題15分，解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)分別選派3，1，2名運(yùn)動(dòng)員參與某次競(jìng)賽，甲協(xié)會(huì)運(yùn)動(dòng)員編號(hào)分別為，，，乙協(xié)會(huì)編號(hào)為，丙協(xié)會(huì)編號(hào)分別為，，若從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競(jìng)賽.（1）用所給編號(hào)列出全部可能抽取的結(jié)果；（2）求丙協(xié)會(huì)至少有一名運(yùn)動(dòng)員參與雙打競(jìng)賽的概率；（3）求參與雙打競(jìng)賽的兩名運(yùn)動(dòng)員來(lái)自同一協(xié)會(huì)的概率.【答案】（1）15種；（2）；（3）【解析】【分析】（1）從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競(jìng)賽，利用列舉法即可得到全部可能的結(jié)果.（2利用列舉法得到“丙協(xié)會(huì)至少有一名運(yùn)動(dòng)員參與雙打競(jìng)賽”的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，利用古典概型，即可求解；（3）由兩名運(yùn)動(dòng)員來(lái)自同一協(xié)會(huì)有，，，，共4種，利用古典概型，即可求解．【詳解】（1）由題意，從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競(jìng)賽，全部可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.（2）因?yàn)楸麉f(xié)會(huì)至少有一名運(yùn)動(dòng)員參與雙打競(jìng)賽，所以編號(hào)為，的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到，其結(jié)果為：設(shè)“丙協(xié)會(huì)至少有一名運(yùn)動(dòng)員參與雙打競(jìng)賽”為事務(wù)，，，，，，，，，，共9種，所以丙協(xié)會(huì)至少有一名運(yùn)動(dòng)員參與雙打競(jìng)賽的概率.（3）兩名運(yùn)動(dòng)員來(lái)自同一協(xié)會(huì)有，，，，共4種，參與雙打競(jìng)賽的兩名運(yùn)動(dòng)員來(lái)自同一協(xié)會(huì)的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中精確利用列舉法的基本領(lǐng)件的總數(shù)，找出所求事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．17.某校200名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成果頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是.（1）求圖中m的值；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這200名學(xué)生的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）和中位數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（3）若這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果中，某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與英語(yǔ)成果相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示，求英語(yǔ)成果在的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1:22:16:51:21:1【答案】（1）（2）平均分為，中位數(shù)為（3）140人【解析】【分析】（1）由題得，解方程即得解；（2）利用頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式估計(jì)這200名學(xué)生的平均分和中位數(shù)；（3）分別計(jì)算每一段的人數(shù)即得解.【詳解】（1）由，解得.（2）頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和即為平均數(shù)，即估計(jì)平均數(shù)為。設(shè)中位數(shù)為,則解得（3）由頻率分布直方圖可求出這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果在，，的分別有60人，40人，10人，依據(jù)表中給的比例，則英語(yǔ)成果在，，的分別有50人，80人，10人，所以英語(yǔ)成果在的有140人?！军c(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期．（2）求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（3）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，，且為銳角，求．【答案】（1）（2）減區(qū)間為，（3）【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式，求得的值．【詳解】函數(shù)，故它的最小正周期為．對(duì)于函數(shù)，令，求得，可得它的減區(qū)間為，．中，若，．若，，為銳角，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．19.已知a，b，c分別為ΔABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求角A的大小；（2）若，且ΔABC的面積為，求a的值；（3）若，求的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)即得A的大小；（2）先求出bc,b+c的值，再利用余弦定理求出a的值；（3）先求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求b+c的范圍.【詳解】（1）由正弦定理得，，即...（2）由可得.∴由余弦定理得：（3）由正弦定理得若，則因?yàn)樗运?所以的范圍【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力，屬于中檔題.20.已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿意，，．（1）若，求角θ的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的θ使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題得，再寫出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等價(jià)于在有兩解，結(jié)合三角函數(shù)分析得解.【詳解】（1）由題得所以角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得，，即，又因?yàn)?，所?即m的范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的模的計(jì)算，考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，，最小值為.