高三數(shù)學必修5活頁規(guī)范復習訓練6

2.2等差數(shù)列的前n項和(二)雙基達標限時20分鐘1．在等差數(shù)列{an}中，S15＝90，則a8等于進制()．A．3B．4C．6D．12解析∵S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8＝90，∴a8＝6.答案C2．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n(n∈N＋)，則數(shù)列{an}為()．A．首項為1，公差為2的等差數(shù)列B．首項為3，公差為2的等差數(shù)列C．首項為3，公差為4的等差數(shù)列D．首項為5，公差為3的等差數(shù)列解析當n＝1時，a1＝S1＝2×12＋1＝3，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝4×1－1＝3.∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.∴{an}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，故選C.答案C3．含2n＋1項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為()．A.eq\f(2n＋1,n)B.eq\f(n＋1,n)C.eq\f(n－1,n)D.eq\f(n＋1,2n)解析∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝eq\f(na2＋a2n,2).又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).故選B.答案B4．若關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0(a≠0)和x2－x＋b＝0的四個根可組成首項為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則a＋b的值是________．解析由題意知，首項為eq\f(1,4)，則第4項為eq\f(3,4).則另兩根應為：eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)×2＝eq\f(7,12).所以a＝eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16)，b＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).∴a＋b＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).答案eq\f(31,72)5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5<ak<8，則k＝________.解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.答案86．數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝eq\f(na1＋an,2)，則{an}是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論．證明因為an＝Sn－Sn－1＝eq\f(na1＋an,2)－eq\f(n－1a1＋an－1,2)(n≥2)，所以an＋1＝eq\f(n＋1a1＋an＋1,2)－eq\f(na1＋an,2).所以an＋1－an＝eq\f(1,2)[(n＋1)(a1＋an＋1)－2n(a1＋an)＋(n－1)(a1＋an－1)]＝eq\f(1,2)[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1](n≥2)，即(n－1)(an＋1－2an＋an－1)＝0，∴an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．綜合提高（限時25分鐘）7．在等差數(shù)列{an}中，am≠0，若m>1且am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，則m等于()．A．38B．20C．10D．9解析∵2am＝am－1＋am＋1，又am－1＋am＋1－am2＝0，∴2am－am2＝0，即am(2－am)＝0，∵am≠0，∴am＝2.∵S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝eq\f(2m－1×2am,2)＝2(2m－1)＝38，∴m＝10.答案C8．等差數(shù)列{an}的通項an＝2n＋1，則由bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)所確定的數(shù)列{bn}的前n項之和是()．A．n(n＋2)B.eq\f(1,2)n(n＋4)C.eq\f(1,2)n(n＋5)D.eq\f(1,2)n(n＋6)解析由題意a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n3＋2n＋1,2)＝n(n＋2)，∴bn＝eq\f(nn＋2,n)＝n＋2.于是數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(n3＋n＋2,2)＝eq\f(1,2)n(n＋5)．答案C9．某工廠2011年的月產(chǎn)值按等差數(shù)列增長，一季度總產(chǎn)值為20萬元，上半年總產(chǎn)值為60萬元，則2011年全年總產(chǎn)值為________萬元．解析由月產(chǎn)值成等差數(shù)列增長，可知季度總產(chǎn)值也按等差數(shù)列增長．而第二季度總產(chǎn)值為60－20＝40(萬元)，所以公差d＝40－20＝20(萬元)．所以S4＝20×4＋eq\f(4×3,2)×20＝200(萬元)．答案20010．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，則an＝________.解析當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n.此時，當n＝1時，2n＝2≠3.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2nn≥2.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1,2nn≥2))11．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項和．解數(shù)列{an}的公差d＝eq\f(a17－a1,17－1)＝eq\f(－12－－60,16)＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an<0，得3n－63<0，即n<21.∴數(shù)列{an}的前20項是負數(shù)，第20項以后的項都為非負數(shù)．設(shè)Sn，Tn分別表示數(shù)列{an}和{|an|}的前n項之和，當n≤20時，Tn＝－Sn＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－60n＋\f(nn－1,2)×3))＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(123,2)n；當n>20時，Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋eq\f(nn－1,2)×3－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－60×20＋\f(20×19,2)×3))＝eq\f(3,2)n2－eq\f(123,2)n＋1260.∴數(shù)列{|an|}的前n項和Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)n，n≤20，,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1260，n>20.))12．(創(chuàng)新拓展)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，對任意n∈N＋，有2Sn＝2pan2＋pan－p(p∈R)．(1)求常數(shù)p的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解(1)由a1＝1及2Sn＝2pan2＋pan－p，得2＝2p＋p－p，∴p＝1.(2)由2Sn＝2an2＋an－1①得2Sn－1＝2an－12＋an－1－1(n≥2)②①－②得：2an＝2(an2－an－12)＋an－an－1，∴(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，由于數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，∴2an－2an－1－1＝0，即an－an－1＝eq\f(1,2)(n≥2)，∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n＋1,2).沁園春·雪<毛澤東>北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內(nèi)外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。須晴日，看紅裝素裹，分外妖嬈。江山如此多嬌，引無數(shù)英雄競折腰。惜秦皇漢武，略