（全國版）高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

考點回傾考綱解讀考向預測

年份卷型考點題號分值1.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的預計2019年高考主要考查函數(shù)單

單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定調(diào)性的應用，比較大小，函數(shù)最值的求

2017n單調(diào)區(qū)間85

與應用.法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍等問

2016in比較大小75

2.強化對函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸題，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分

2015i單調(diào)區(qū)間85思想、分類討論思想的考查.值5分.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1函數(shù)的單調(diào)性

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)函數(shù)/(/)的定義域為，，如果對于定義域I內(nèi)某個

區(qū)間。上的任意兩個自變量的值以，必

軍當/V>2時，都有了5)當?］〈皿時，都有了(為)

義

</(、)，那么就說函數(shù)〉/(孫)，那么就說函數(shù)

/(I)在區(qū)間D上是增/(/)在區(qū)間。上是減

函數(shù)函數(shù)

2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格

的)單調(diào)性，區(qū)間〃叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點2函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)/(1)的定義域為，，如果存在實數(shù)M滿足

①對于任意的I,都①對于任意的都

有/g&M有

條件

②存在心￡晨使得②存在使得

-M

則M是、=/(］)的最則M是3=/(?)的最

結(jié)論

大值小值

考點3利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

1.任取……；2.作差……；3.化簡；4.判斷；5.結(jié)論.

［必會結(jié)論］

1.對勾函數(shù)尸x+*a>0)的增區(qū)間為(一8,一迎和4/,+8)；減區(qū)間為

0)和(0,且對勾函數(shù)為奇函數(shù).

2.設(shè)V小，,則①石一在>0(<0),F(xi)—F(X2)>0(<0)=f(x)在〃上單調(diào)

遞增；加一心>0(<0),『(如-f(X2)〈0(>0)=/'(x)在〃上單調(diào)遞減；

②/5)―/比)>0(或(為—垣)"(小)-/U)］>0)=f(x)在〃上單調(diào)遞增；

X1—X2

③4小)一G％0(或物—a)f(就］<0)=F(x)在〃上單調(diào)遞減.

小一X2

［考點自測］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

⑴函數(shù)一.的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+8).()

(2)對于函數(shù)/Xx),xQD,若M,及6〃，且(XL及)?［/U)-F(X2)］>O,則函數(shù)F(x)

在。上是增函數(shù).()

(3)函數(shù)尸㈤是R上的增函數(shù).()

(4)函數(shù)y=f(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).()

答案⑴X⑵V(3)X(4)X

2.［課本改編］函數(shù)—6x+10在區(qū)間⑵4)上是()

A.遞減函數(shù)B.遞增函數(shù)

C.先減后增D.先增后減

答案C

解析對稱軸為x=3,函數(shù)在⑵3］上為減函數(shù)，在［3,4)上為增函數(shù).

3.［2018-陜西模擬］下列函數(shù)中，滿足“f(x+y)=F(x)?的單調(diào)遞增函數(shù)是

()

2

A.f(6=xB.Ax)

c.D.f(x)~y

答案D

解析根據(jù)各選項知，選項C,D中的指數(shù)函數(shù)滿足/Xx+y)=f(x)?f(y).又f(x)=

3'是增函數(shù)，所以D正確.

工

2

4.［課本改編］給定函數(shù)①尸x,②y=log［(x+1),③y=|x—1,④尸:2、”.其

2

中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是_______.

答案②③

1

21

解析①y=x在(0,1)上遞增；②???方=才+1在(0,1)上遞增，且0〈$1,故y=logl

z—

2

(x+1)在(0,1)上遞減;③結(jié)合圖象(圖略)可知尸|x—1|在(0,1)上遞減；④???u=x+l在

(0,1)上遞增，且2>1,故y=2'+'在(0,1)上遞增.故在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是

②③.

5.已知函數(shù)f(x)為(0,+8)上的增函數(shù)，若f(a2—a)>f(a+3),則實數(shù)a的取值范

圍為?

答案(一3,-l)u(3,+8)

a2—a>0,

解析由已知可得<a+3>0,解得一3〈水一1或a>3.所以實數(shù)a的取值范圍為

a-a>a+3,

(-3,-1)U(3,+8).

板塊二典例探究?考向突破

考向確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

(1)尸一f+2|x|+l；(2)y=logj_(y-3%+2).

2

—x+2x+l,xNO,

解(1)由于y=

—%—2x+l,KO,

f—(x—1)'+2,

即尸,

〔一(x+l)~2+2,XO.

畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—1］和［0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為［—1,0］

和［1,+°°).

⑵令U=x—3x+2f則原函數(shù)可以看作y=logj_〃與〃=*2—3x+2的復合函數(shù).

2

令u=x-3x+2>0,則XI或x>2.

，函數(shù)y=logj_(f—3x+2)的定義域為(-8,1)u(2,+°°).

2

3

又,.?〃=*—3x+2的對稱軸矛=5，且開口向上，

3x+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

而y=logj_〃在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，

2

：.y=logl(V—3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1).

2

觸類旁通

確定函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)定義法和導數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法或?qū)?shù)法.

(2)復合函數(shù)法，復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”.

(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.

【變式訓練1】求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

⑴/■(*)=4x+3|；

⑵，3=曷=7

解(1)先作出函數(shù)v=y—4x+3的圖象，由于絕對值的作用，把X軸下方的部分翻折

到上方，可得函數(shù)y=|V—4x+3|的圖象.如圖所示.

由圖可知/?(人)在(一8,1］和［2,3］上為減函數(shù)，在［1,2］和［3,+8)上為增函數(shù)，故

f(x)的增區(qū)間為［1,2］,［3,+8),減區(qū)間為(-8,1］,［2,3］.

(2)V3-2A-x>0,

由二次函數(shù)圖象(圖略)可知f(x)的遞減區(qū)間是(一3,-1］,遞增區(qū)間為［—1,1).

考向2函數(shù)單調(diào)性的應用

?金題角.度.1…利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例2已知函數(shù)/Xx)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，當顯〉兩>1時，［f?—(劉一

拓)<0恒成立，設(shè)a=b=A2),c=f(e),則ab,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

答案D

解析,??F(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

???/?)=圖又由已知可得f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，.?"(2)》佛4;)，即

f(2)>/—1j>Ae).選D.

?備趣角度2…利用函數(shù)的單調(diào)性解丕等式

例3f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足/■(xy)=f(x)+f(y),f(3)=l,

當F(x)+f(x-8)W2時，*的取值范圍是()

A.(8,+8)B.(8,9］

C.［8,9］I).(0,8)

答案B

解析2=l+l=f(3)+F(3)=f(9),由f(x)+F(x—8)W2,可得8)］WF(9),

x>0,

因為/'(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，所以有<x—8>0,

貝才一8戶9.

解得8GW9.

?余題免度-3…利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

例4［2018?日照模擬］若/■(*)=-/+2ax與g(x)=旨在區(qū)間［1,2］上都是減函

數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(0,1］

C.(0,1)D.(0,1］

答案1)

解析?."(矛)=一*2+2公在［1,2］上是減函數(shù)，；.2?1,又,??g(x)=-￡y在［1,2］上是

X.I1

減函數(shù),：.a>0,.,.(KaWL

觸類旁通

函數(shù)單調(diào)性應用問題的解題策略

(1)比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性

解決.

(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“尸符號脫掉，使

其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時，應特別注意函數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為己知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).

提醒若函數(shù)在區(qū)間［a,加上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

考向3函數(shù)的最值問題

例5(1)函數(shù)f(x)=x+2，T二^的最大值為.

答案2

解析設(shè)2(方20),Jx=1—/.

/.y=x+2yj1—x—1—r+21

=—t2+2t+l=—(t—1)2+2.

/.當1=1即x=0時，％驍=2.

2

(2)函數(shù)F(x)=3x+ixW［1,2］的值域為.

x

答案［5,7］

2

3

解析解法一：/(%)=3%+~,

易證f(x)在［遇，+8)上是增函數(shù).

.?"(X)在［1,2］上為增函數(shù)，從而得值域為［5,7］.

9

解法二：f(x)=3--2,當l〈xW2時，f(x)>0,

X

...Ax)在［1,2］上為增函數(shù)，

又/0)=5,/"(2)=7.

2

.?"(x)=3x+：xG［l,2］的值域為［5,7］.

觸類旁通

求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不

等式求出最值.

(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.

(5)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.

【變式訓練2】(1)函數(shù)尸—2x的最大值為.

答案!

解析?.?定義域為(

而y=x—8,-上為單調(diào)增函數(shù).

(2)已知函數(shù)而的最大值為M,最小值為例則飄值為一

答案坐

1—x20,

解析由題意，得

x+320.

所以函數(shù)的定義域為3—3WxWl}.

兩邊平方，得/=4+2肝三叱4布

=4+2^(l-x)(x+3).

所以當x=-l時，y取得最大值,1/=2^2；

當X=-3或1時，y取得最小值m=2,

勿臟

M2,

1G幺師軍記?"I納領(lǐng)悟I

MIN<?MIIRIJIC>^GI)IXAI1NGVU

。核心規(guī)律

1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，研究函數(shù)單調(diào)性的方法有：定義法、圖象法、導數(shù)

法等.要注意掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

2.復合函數(shù)的單調(diào)性可依據(jù)“同增異減”的規(guī)律求解.

3.求函數(shù)的值域常常化歸為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)的單調(diào)性在確定函數(shù)最值中

的應用.

2滿分策略

1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，因此，

討論函數(shù)的單調(diào)性時，應先確定函數(shù)的定義域.

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間要

分開寫，即使在兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

易錯警示系列1——利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍出錯

a,x>l,

[2018?山東泰安模擬]已知函數(shù)/V）=ba\是R上的單調(diào)遞增函

I4--lx+2,xWl

數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（1,+8）B.[4,8）C.（4,8）D.（1,8）

錯因分析解答本題時，易忽視函數(shù)在定義域兩段區(qū)間分界點上的函數(shù)值的大小而致

誤.

Ca>l,

4-務0,

解析由/Xx）在R上單調(diào)遞增，則有<

(4-3+2-,

解得4Wa<8.

答案B

答題啟示解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時，要高度關(guān)注以下兒點：（1）抓住對變量所在

區(qū)間的討論；（2）保證各段上同增（減）時，要注意上、下段間端點值間的大小關(guān)系；（3）弄清最

終結(jié)果取并還是交.

/跟蹤訓練

(3a—l)x+4a,KI,

已知f(x)=<是（-8,+8）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍

]og“x,H

是（）

A.(0,1)

答案C

[3a—1<0,

解析Hx）在R上單調(diào)遞減，則有

〔（3a-l）+4a20,

解得，W水，.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎(chǔ)達標]

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y=ln(x+2)B.y=-yjx+1

QD.尸土

答案A

解析函數(shù)y=ln(x+2)的增區(qū)間為(-2,+°°),所以在(0,+8)上一定是增函數(shù).

2.[2018?山西模擬]若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且f(x)在(一

8,2)上是增函數(shù)，則()

A.A-1XA3)B.f(0)>f(3)

C.A-l)=/(3)D./(0)=r(3)

答案A

解析依題意得/X3)=f(l),且一于是由函數(shù)f(x)在(一8,2)上是增函數(shù)，

得/■(一l)<f(D=F(3).選A.

3.如果二次函數(shù)f(x)=3x2+2(a—l)x+A在區(qū)間(一8,1)上是減函數(shù)，則()

A.a——2B.a—2

C.aW—2D.a22

答案C

解析二次函數(shù)的對稱軸方程為X=一—，由題意知一早21,即aW—2.

4.[2018?信陽模擬]已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對實數(shù)a,b,若a+於0,則有()

A.f(a)+/-(Z>)>A-a)+A-6)

B.f(a)+f(6)<f(~a)+f(~6)

C.f(a)-/■(/>)>/1(-a)-f(-6)

D.Aa)-f(b)<f(-a)-f(-b)

答案A

解析\'a+b>0,：.a>~b,b>~a.

F(a)>/'(—6),/1(—>/1(一&)..,.選A.

5.若函數(shù)y=F(x)在R上單調(diào)遞增，且/"(如2+1)》/?(-〃+1),則實數(shù)小的取值范圍是

()

A.(—8,—1)B.(0,+°°)

C.(-1,0)D.(-8,-1)u(0,+8)

答案D

解析由題意得尤+1＞一初+1,故病+加0,故水一1或卬＞0.

6.[2018?海南模擬]函數(shù)/'(切=|*-2|*的單調(diào)減區(qū)間是()

A.[1,2]B.[-1,0]

C.[0,2]D.[2,+8)

答案A

解析f(x)=|x-2\x

■y—2xx22

=2二1二結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是［1,2］.

—X+2%,x<2.

7.［2018?深圳模擬］函數(shù)夕=（，2'7』的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

/、（3-

A.（1,+°°）B.1—8,-

C.&+8）心+8）

答案B

解析令u=2f—3x+l=2（x—因為u=2（x—j）—'在（一8,|上單調(diào)遞減，

函數(shù)產(chǎn)=（；）"在R上單調(diào)遞減.所以y=（；）2x2—3x+l在（-8,1上單調(diào)遞增，即該函數(shù)的

單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,1.

8.［2018?蘇州模擬］若函數(shù)f（x）=12x+a1的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+~）,則a=

答案一6

a

—2x—a,X—

解析由-(X)=<可得函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為

a

2x+a,x2—5,

一*+8)，故3=_*a解得a=-6.

2

9.函數(shù)4)=占在區(qū)間［a,8上的最大值是1,最小值尺，則a+Q

答案6

解析易知f(x)在［a,上為減函數(shù),

1

4a)=l,rj

3=2,

?6)=(’即a+b=6.

1__\Z?=4,

6=4=3,

10.［2018?湖南模擬］函數(shù)尸,一x(x20)的最大值為

1

答案

4

_(Lg)+,1,所以，當七=；1,即戶亨1時,

解析令t=y［xf則120,所以尸右一/=

424

%ax4。

［B級知能提升］

1.［2018?安徽合肥模擬］若2'+5W2r+5二貝”有()

A.B.x+y^0

C.D.x—y20

答案B

解析設(shè)函數(shù)rU)=2'-5-A,易知f(x)為增函數(shù)，又A-y)=2-/-5y,由已知得

f(x)WF(—y)，

/.xW—y,x+0.

2.［2018?鄭州質(zhì)檢］函數(shù)￥(才)=#、+X—6的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(—8,—3)B.[2,+8)

C.[0,2)D.[-3,2]

答案B

解析?「V+x—620,或xW—3,又一y=y]?+x—6是由y=j,[0,+

8)和r=/+x—6,x￡(—8,—3]u[2,+8)兩個函數(shù)復合而成，而函數(shù)t=x+x—&

在[2,+8)上是增函數(shù)，尸、〃在[0,+8)上是增函數(shù)，又因為y=d〉+x—6的定義域

為