全國(guó)統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第7講函數(shù)與方程1備考試題文含解析

其次章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第七講函數(shù)與方程練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.下列說法正確的是()A.函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)B.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連綿不斷),則f(a)·f(b)<0C.二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac≤0時(shí)沒有零點(diǎn)D.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)根2.[2024全國(guó)卷Ⅲ,5,5分][文]函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.53.[2024天津,9,5分]已知函數(shù)f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函數(shù)g(x)=f(x)-|kxA.(-∞,-12)∪(22,+∞)B.(-∞,-12)∪(0,22C.(-∞,0)∪(0,22) D.(-∞,0)∪(22,+∞)4.[2024河北六校第一次聯(lián)考]函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a5.用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解,(1)驗(yàn)證f(2)·f(4)<0,給定精確度ε=0.01;(2)取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1=2+42=3;(3)計(jì)算得f(2)·f(3)<0,則此時(shí)零點(diǎn)x0∈.拓展變式1.[湖北高考,5分]函數(shù)f(x)=4cos2x2cos(π2-x)-2sinx-|ln(x+2.(1)[2024南昌市高三測(cè)試]若函數(shù)f(x)=x2-acosx+a2+3a-8有唯一零點(diǎn),則a=()A.-2 B.2或-4 C.-4 D.2(2)[2024武漢部分重點(diǎn)學(xué)校3月模擬]已知函數(shù)f(x)=log12(x+1),-1<x<0,-x2+2x,x≥0,若關(guān)于x的方程f(x)=A.(12,1) B.(34,1) C.(34,2)3.[2024貴陽(yáng)4月適應(yīng)性測(cè)試]已知函數(shù)f(x)=ex,x<0,6x3-9x2+1,x≥0,則A.2 B.3 C.4 D.5答案其次章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第七講函數(shù)與方程1.D函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),故A錯(cuò)誤;零點(diǎn)存在性定理的逆命題是假命題,故B錯(cuò)誤;對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)b2-4ac=0時(shí),有兩個(gè)相等的零點(diǎn),故C錯(cuò)誤;D正確.2.Bf(x)=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx),令f(x)=0,則sinx=0或cosx=1,所以x=kπ(k∈Z),又x∈[0,2π],所以x=0或x=π或x=2π.故選B.3.D由題意可知x=0為g(x)的一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)f(x)與h(x)=|kx2-2x|的圖象有4個(gè)交點(diǎn),其中(0,0)為其中一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x>0時(shí),由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|,當(dāng)x<0時(shí),由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|,令φ(x)=x2,x>0,1,x<0,μ(x)=|kx-2|(x≠0),則函數(shù)y=φ(x)與y=μ(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).若k<0,如圖D2-7-1所示,函數(shù)y=φ(x)與y=μ(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),所以k<0符合題意.若k>0,如圖D2-7-2所示,需證當(dāng)x>2k時(shí),函數(shù)y=φ(x)與y=μ(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x>2k時(shí),φ(x)=x2,μ(x)=kx-2,令φ(x)=μ(x),則x2-kx+2=0,因?yàn)閤2-kx+2=0有兩個(gè)不同實(shí)根,所以Δ>0,即k2-8>0,解得k>22.綜上,當(dāng)k<0或k>22時(shí),函數(shù)圖D2-7-1圖D2-7-24.(0,3)由已知知函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,則由f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),知f(1)·f(2)<0,即(21-21-a)×(22-22-a)=(-a)×(3-a)=a5.(2,3)因?yàn)閒(2)·f(4)<0,所以由二分法可知函數(shù)在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn),又f(2)·f(3)<0,故函數(shù)的零點(diǎn)x0∈(2,3).1.2f(x)=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,其中x>-1,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y1=sin2x(x>-1)與y2=|ln(x+1)|(x>-1)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖D2-7-3,可知有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)有2個(gè)零點(diǎn).圖D2-7-32.(1)D依題意知x2-acosx+a2+3a-8=0有唯一解,即x2+a2+3a-8=acosx有唯一解,也即函數(shù)y=x2+a2+3a-8與函數(shù)y=acosx的圖象有唯一公共點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+a2+3a-8是偶函數(shù),其圖象開口向上,且關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=acosx是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以兩個(gè)函數(shù)圖象唯一公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,(題眼)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等,即a2+3a-8=a,解得a=2或a=-4.當(dāng)a=2時(shí),y=x2+2的圖象開口向上,頂點(diǎn)為(0,2),y=2cosx的圖象過點(diǎn)(0,2),且點(diǎn)(0,2)為圖象的最高點(diǎn),所以此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意.當(dāng)a=-4時(shí),f(x)=x2+4cosx-4,f(0)=0+4cos0-4=0,f(π2)=π24-4<0,f(π)=π2-8>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(π2,π)上也存在零點(diǎn),不符合題意.綜上所述,(2)D作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖D2-7-4中實(shí)線所示,不妨設(shè)a<b<c,則b,c為關(guān)于x的方程-x2+2x-m=0的兩根,所以b+c=2.因?yàn)榉匠蘤(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以0<m<1,則0<log12(a+1)<1,解得-12<a<0,所以32<a+b+c<2,即a+b+c的取值范圍是(圖D2-7-43.B由2[f(x)]2-3f(x)-2=0,解得f(x)=-12或f(x)=2.留意到當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ex的值域是(0,1),因此關(guān)于x的方程f(x)=-12與f解法一當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=6x3-9x2+1,則f'(x)=18x2-18x=18x(x-1).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.因此函數(shù)f(x)=6x3-9x2+1在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f(0)=1,f(1)=-2,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,作出函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象,如圖D2-7-5中的實(shí)線所示.結(jié)合圖象可知,直線y=-12與曲線y=6x3-9x2+1(x≥0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-12有兩個(gè)不相等的正根x1,x2,直線y=2與曲線y=6x3-9x2+1(x≥0)有唯一交點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=2有唯一的正根x3.x1,x2,綜上,g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選B.圖D2-7-5解法二當(dāng)x≥0時(shí),①由6x3-9x2+1=-12,得4x3-6x2+1=0.記m(x)=4x3-6x2+1(x≥0),求導(dǎo)得m'(x)=12x2-12x=12x(x-1).由m'(x)<0,得0<x<1;由m'(x)>0,得x>1.可知m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且m(0)=1>0,m(1)=-1<0,當(dāng)x→+∞時(shí),m(x)→+∞,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,m(x)在(0,1),(1,+∞)上各存在一個(gè)零點(diǎn).②由6x3-9x2+1=2,得6x3-9x2-1=0.記h(x)=6x3-9x2-1(x≥0),求導(dǎo)得h'(x)=18x2-18