(新教材)高中數(shù)學(xué)A版 選擇性必修第一冊知識點

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何

一、知識要點

1、空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向線段表示洞向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不變性

2、空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖)。

0B—0A+AB=萬+5;BA=0A—OB=a—b;OP=2a(2eR)

運算律：(1)加法交換律：a+b=b+a(2)加法結(jié)合律：①+B)+C=a+(B+C)

(3)數(shù)乘分配律：2(G+5)=Aa+Ab

運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3、共線向量

(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向

量，。平行于記作?！˙。

(2)共線向量定理：空間任意兩個向量五、b(B于0),五//B存在實數(shù)九使萬=丸行。

(3)三點共線：A、B、C三點共線<=>M=4尼

一<=>OC=xOA,+yOB(其中x+y=l)

一

(4)與。共線的單位向量為,

4、共面向量

(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

(2)共面向量定理:如果兩個向量方,5不共線，》與向量濤5共面的條件是存在實數(shù)使力=4+訪。

(3)四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>Q=xQ+y/

<=>加=赤+了麗+2困其中%+)；+2=1)

5、空間向量基本定理：如果三個向量a瓦1不共面，那么對空間任一向量力，存在一個唯一的有序

實數(shù)組x,y,z,^.p^xa+yb+zco

若三向量4,強(qiáng)不共面，我們把｛仇反戲叫做空間的一個基底，萬萬,1叫做基向量，空間任意三個不

共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)。,4民。是不共面的四點，則對空間任一點尸，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)X,?z,

使麗=xOA+yOB+zOC。

6、空間向量的直角坐標(biāo)系：

(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

在空間直角坐標(biāo)系。-盯Z中，對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,yz),使質(zhì)=三+工+羨，

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一■冊-1-

有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫

縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。

注：①點A(x,y,z)關(guān)于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點為(x,y,-z).即點關(guān)于什

么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。②在y軸上的點設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的

點設(shè)為(0,y,z)

(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用｛［，］｝表示。

空間中任一向量a=xi+y/+z%=(x,y,z)

(3)空間向量的直角坐標(biāo)運算律：

?^Ta=(al,a2,a3)石=(4，4，4),

則=+4，%+,,。3+2)，=3一4)，^a=(Aal,Aa2,Aa3)(AeR),a4=a1b、+a力2+砧3，

e

a//b<=>a｝=勸］,%=勸2，。3=勸3(2R)，aJ-Boqb］+ajb2+ajbi=0

②若A(Xi，X，Z］),B(x2,y2,z2),

則AB=(x2-x1,y2-yl,z2-zl)

一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。

③定比分點公式：若4(%,冷馬)，B(x0,y2,z2),AP=APB,則點P坐標(biāo)為(出土組,&±生,幺±&1)。

1+21+Z1+2

推導(dǎo)：設(shè)P(x,y,z)則(A；-玉y-yl，z-Zl)=/a2-即y2-％Z2-z),顯然,當(dāng)P為AB中點時,p盧+々*±21,兔

一一一222

④AA6C中，力&1,y1,z17,S(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三角形重心P坐標(biāo)為p盧+三+三%+%+%馬+馬+z

3，2，2)

⑤AABC的五心：

內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點?？?〃迪+瑟：)(單位向量)

ABAC

外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點?！?品=Sc

垂心P：高的交點：PAPB^PAPC=PBPC(移項，內(nèi)積為0,則垂直)

重心P：中線的交點，三等分點(中位線比)AP^AB+AQ

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模長公式：若“=3,,%,%),5=(4也,白),

則Ia|=/a,a=_++。3-，Ib|=4b,b=小b；+瓦-+b：

(5)夾角公式：c°s&B=j=/她+她+地。

⑷TBIJa：+%2+/2J.2+.2+42

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AA3C中①Q(mào)?芯>0<=>A為銳角②M?尼<0<=>A為鈍角，鈍角A

(6)兩點間的距離公式：若A(X],%,Zi),B(x2,y2,z2),

2-2zz2

則IAB|=dAB=J?-+(乂-%)2+(立2-4)2，或dAB=y/(x2-%])+(y2Ji)+(2~i)

7、空間向量的數(shù)量積。

(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量萬萬，在空間任取一點。，作函=%歷=5,則NAOB

叫做向量1與B的夾角，記作<a5>;且規(guī)定04<1萬>4萬，顯然有<1,5>=<反萬>;^<a,b>=—,

2

則稱1與5互相垂直，記作：aLbo

(2)向量的模：設(shè)礪=〃，則有向線段麗的長度叫做向量1的長度或模，記作：\a\o

(3)向量的數(shù)量積:已知向量萬,5,則|萬|TB|?cos<萬,5>叫做日,3的數(shù)量積,記作即萬,5=

\a\-\b\-cos<a,b>

(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

@a-e=|a\cos<a,e>?a-Lb<^>a-b-O?\a\l-a-a

(5)空間向量數(shù)量積運算律：

?(2a)-b=A(ab)-a-(2b)o?a-b=b-a(交換律)。@a-(b+c)-a-b+a-c(分配律)。

④不滿足乘法結(jié)合律：/(H)

二、空間向量與立體幾何

1、線線平行O兩線的方向向量平行

線面平行。線的方向向量與面的法向量垂直

面面平行O兩面的法向量平行

2、線線垂直(共面與異面)o兩線的方向向量垂直

線面垂直o線與面的法向量平行

面面垂直O(jiān)兩面的法向量垂直

3、線線夾角。(共面與異面)[0°,90°]0兩線的方向向量W，7的夾角或夾角的補(bǔ)角，cosO=cos<￡/>

線面夾角。[0°,90。]：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量Q與面的法向量[的夾角，若為銳

角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sine=cos<Ak；>

面面夾角(二面角)^[0°,180°]：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量溫的夾

角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos0=±cos<n1,?2>

4、點面距離力：求點P(%,為)到平面a的距離：在平面a上去一點。得向量而.；計算

平面a的法向量九;.h=-尸我：H

rl

線面距離(線面平行)：轉(zhuǎn)化為點面距離

面面距離(面面平行)：轉(zhuǎn)化為點面距離

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一■冊-3-

第二章直線和圓的方程

一、直線方程

1、直線的傾斜角：一條直線向上的方向與r軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直

線與％軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的范圍是0YeY18（T（（）WaY;r）.

注：①當(dāng)&=90。或叼=占時，直線/垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的

斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.

2、直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點30）,（。*），即直線在x軸，y軸上的截距分別為〃力（g0,30）時，直線方程

是：W.

ab

注：若y=是一直線的方程，則這條直線的方程是股-3-2,但若片_3-2（轉(zhuǎn)0）則不是

這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程〉=息+人當(dāng)左力均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，

如果左力變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)b為定植，上變化時，它們表示過定點（0,b）的直線束.②

當(dāng)人為定值，6變化時，它們表示一組平行直線.

3、（1）兩條直線平行：

/i〃%=3=的兩條直線平行的條件是：①乙和乙是兩條不重合的直線.②在L和4的斜率都存在的前

提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線/"2,它們在y軸上的縱截距是九力2，則A左2,且為動2或//2

的斜率均不存在，即4%=832是平行的必要不充分條件，且GNC2）

<

推論：如果兩條直線/卜Z的傾斜角為夕卜。2則乙〃l2^al=a2-

（2）兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線0和％的斜率分別為和和的，則有/J4。左1七=-1這里的前提是

32的斜率都存在.②/山2=0=。，且%的斜率不存在或左2=。，且0的斜率不存在.（即AIB2+A24=0

是垂直的充要條件）

4、直線的交角：

（1）直線乙到％的角（方向角）；直線0到人的角，是指直線乙繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與%重合

時所轉(zhuǎn)動的角0,它的范圍是（0,萬），當(dāng)"90。時tan。=上』.

1+左1左2

（2）兩條相交直線/］與％的夾角：兩條相交直線/1與％的夾角，是指由/1與%相交所成的四個角中

最小的正角e,又稱為0和％所成的角，它的取值范圍是，,』，當(dāng)"90。，則有tan"V3.

5、過兩直線［尸苫+丫+?=°的交點的直線系方程幻+配+g+〃42X+&y+C，）=0（幾為參數(shù)，

（l2:A2x+B2y+C2=0

A2x+B2y+C2=0不包括在內(nèi)）

6、點到直線的距離：

（1）點到直線的距離公式：設(shè)點尸。0，加，直線/=TU+By+CnO,尸至U/的距離為d,則有限約建”9.

ylA-+B~

注：

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊-4-

①兩點Pl(xi,yi)、P2(X2,y2)的距離公式：18鳥1=/>2-為)2+(為—月)2?

特例：點P(x,y)到原點。的距離：|。尸|=次+/

②定比分點坐標(biāo)分式。若點P(x,y)分有向線段刷f成的比為加甲5=4殖，其中Pi(xi,yi),P2(X2,y2).則

_七+AX2月+4y2

x=?y=

1+21+2

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

③直線的傾斜角(0°<?<180°)>斜率:k=tane

④過兩點〃(尤1，%),外(%2，為)的直線的斜率公式：k=y2~y'.(當(dāng)片々)

.....%2一回

當(dāng)九(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角a=90。，沒有斜率。

(2)兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線/1加+為+(71=0,/2：天+為+。2=。。1工2)，它們之間的

距離為“，則有〃=上幺.

7A2+S2

注：直線系方程

①與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=Q.(meR,C^m).

②與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(meR)

③過定點(xi,州)的直線系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0(A,B不全為0)

④過直線人、/2交點的直線系方程：(Aix+Biy+Ci)+MA“+B2y+C2)=0QeR)注：該直線系不含

h.

7、關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

(1)關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

(2)關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線

距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.

(3)點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方程①)，過兩對稱點的

直線方程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于一直線(y=±x+b)對稱的解法：y換x,x換y例：曲線用:,y)=0關(guān)于直

線y=x-2對稱曲線方程是五y+2^-2)=0.

②曲線C:>j)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是五a-x,2b-y)=0.

二、圓的方程

1、(1)曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個二元方程/(x,y)=0的實數(shù)建立了如

下關(guān)系：

①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

(2)曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標(biāo)與方程/(x,y)=0的一種關(guān)系，曲線上

任一點(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反過來，滿足方程/(x,y)=0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點Po(xo,y)線C上的充要條件是f(xo,yo)=O

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=/2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為『的圓的方程是：,+/=戶.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一■冊-5-

注：特殊圓的方程：①與』軸相切的圓方程(x-a)2+(y±b)2=b2[r=網(wǎng)，圓心(a,b)或(a,-b)]

②與y軸相切的圓方程(x±a)2+(y-b)2=a2[r=時,圓心(a㈤或(-a,加

③與i軸y軸都相切的圓方程(x±a)，(y±a)2=a2[r=同,圓心(±a,±a)]

3、圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心半徑一坦三上.

22)2

當(dāng)爐+產(chǎn)7b二。時，方程表示一個點

當(dāng)O2+E2_477Y0時，方程無圖形(稱虛圓).

注：①圓的參數(shù)方程：Fu+rcos,(夕為參數(shù)).

[y=。+rsm〃

②方程AM+8.。+。2+￡>x+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0JIA=C^OJID2+EMAF^0.

③圓的直徑或方程：已知(用向量可征).

4、點和圓的位置關(guān)系：給定點MOW。)及圓“尤-"+—爐”.

222

①〃在圓C內(nèi)o(x°-a)2+(yo-力2Y12②M在圓C±<=>(x0-a)+(>0-fe)=r

③“在圓C外0。0-。)，(即-力2A戶

5、直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C:(x—“)~+(y-4>)2=戶(廠”0)；直線/:Ax+8y+C=0(A，+B~w0)；

Aa+Bb+C

圓心C(a㈤到直線I的距離dJ\_

7A2+B2

①d=r時，/與C相切；

附：若兩圓相切，則尸產(chǎn)+%+%"%=°n相減為公切線方程.

x+y+。2無+E2y+/2=0

②“Yr時，/與C相交；

22

Cl:x+y+DiX+Exy+Ff=0(Dl-D2)x+(Ex-E2)y+(F^F^)=0

附：公共弦方程：設(shè)c#+y，D/+E2y+&=。有兩個交點，則其公共弦方程為

③dxr時，/與C相離.

附：若兩圓相離，則產(chǎn)+/+%+=+々°=相減為圓心002的連線的中與線方程.

22

[x+y+D2x+E2y+F2=0

由代數(shù)特征判斷：方程組卜一a),(y-32="用代入法，得關(guān)于X(或V)的一元二次方程，其判別式

[Ax+Bx+C=O

為A,貝！J：△=()=/與C相切；AAOO/與C相交；AYOO/與C相離.

注：若兩圓為同心圓則％2+丁2+￡)]%+￡1],+尸]=。，xZ+y+Ax+Ezy+&=。相減，不表示直線.

6、圓的切線方程：圓，+/=戶的斜率為左的切線方程是>=依土用戶,過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上~"點

P(XoJo)的切線方程為：wc+yoy+D/+E號+尸=。.

①一般方程若點(X0，”)在圓上,則(x-a)(xo-a)+(y-b)(yo-b)=7?2.特別地，過圓

x-+y2=r-上一點P(x0,yo)的切線方程為孫尤+>()>=戶.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊-6-

yi-y0=Kxi-x0）

②若點（xo,yo）不在圓上，圓心為（a,b）則＜吟卜-乃-左（＜2-七）］,聯(lián)立求出An切線方程.

7^+1

7、求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知

0O的方程，+/+m+切+/=0…①又以ABCD為圓為方程為（》-以）（—）+（廣辦）（》-6）=廿…②

欠=5廠“）2：（四的2…③,所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

1、曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程五x,y）=O的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

①曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程五x,y）=O的解（純粹性）；

②方程兀＞）=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程而c,＞）=0為曲線C的方程，曲線C

叫做方程五x,y）=O的曲線。

2、求曲線方程的方法：.

①直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo)，簡化檢驗;②參數(shù)法;③定義法，④待定系數(shù)法.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一■冊-7-

第三章圓錐曲線方程

一、橢圓方程

）

1、橢圓方程的第一定義:平面內(nèi)與兩個定點FI,F2的距離的和等于定長（定長通常等于2a,且2a>FiF2

的點的軌跡叫橢圓。

|尸局+歸叫=2。>歸入|方程為橢圓，

|PFj|+歸局=2。Y怛/21無軌跡,

|PF1|+|PF2|=2a=巴0|以為『2為端點的線段

（1）①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：中心在原點，焦點在x軸上：4==1（〃AZ?A0）?

a2+b2

中心在原點，焦點在y軸上：Z+==13>bA0）?

a2b2

注：以上方程中的大小其中從二/一/；

2222

在5+2=1和為+3=1兩個方程中都有。>匕>0的條件，要分清焦點的位置，只要看V和

（Tba-b-

產(chǎn)的分母的大小。

②一般方程：Ax2+By2=KA>0,B^0）.

③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=+==1的參數(shù)方程為（一象限夕應(yīng)是屬于oyOyG.

a2b-［y=bsmO2

（2）橢圓的性質(zhì)

①頂點:（±a,O）（O,±b）或（O,±a）（±Z?,O）.

②軸：對稱軸：無軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b.

③焦點：（-c,O）（c,O）或（0,-c）（0,c）.

④焦距：［尸］/2I=2c,c=Ja2-2，.

22

⑤準(zhǔn)線：X=±”或y=±j.

CC

⑥離心率:e=￡（OYeYl）.

a

I'.'a>c>Q,0<e<1,且e越接近1,。就越接近a,從而匕就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e

越接近于0,。就越接近于0,從而b越接近于a,這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，c=0,

兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為必+丁2=1。］

⑦焦（點）半徑：

設(shè)P（Xo，y°）為橢圓=+==1（4>"0）上的一點，%,%為左、右焦點，則閥」=。+夕0,|尸尸2|="ex°n

ab

設(shè)P（Xo，y°）為橢圓4+4=1（""0）上的一點，竹,尸2為上、下焦點，則由卜。+佻，|"2|=〃-佻=>

ba

22

由橢圓第二定義可知：加用=￡（/+：）=。+%（彳（r<0）,加q=e（：-%）=%-a&AO）

歸結(jié)起來為“左加右減”.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N（acose,bsin6）->方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通徑.坐標(biāo)：〃=咚（一C,"）和（C,"）

aaa

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊-8-

22

⑨焦點三角形的面積：若P是橢圓：彳+==i上的點.尸1，人為焦點，若々〃2=e,則A/耳F2的面積

ab

為〉tan，（用余弦定理與|尸尸1|+|尸％|=2?？傻茫?。若是雙曲線，則面積為力.8整

22°

22_______

（3）共離心率的橢圓系的方程：橢圓,計1（“…）的離心率是e=/方程

22

*+==（是大于0的參數(shù)，的離心率也是e=￡我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

aba

2、橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L（F不在L上）的距離的比為常數(shù)e

（0<e<l）的點的軌跡叫做橢圓。其中定點F為橢圓的焦點，定直線L為橢圓焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線。

二、雙曲線方程

1、雙曲線的第一定義:平面內(nèi)到到兩個定點FiE的差的絕對值等于定長（定長通常等于2a,且2a<FiF2）

的點的軌跡叫做雙曲線。（||3|-1Pg||=2a）。

忸砥=2。Y|F/2|方程為雙曲線

忸尸1|-怛2||=2。>巴尸2I無軌跡

忸砥|-|PF21=2a=怛島|以F1，&的一個端點的一條射線

222x2

（1）①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：4-'=l（a/xO）,J=1(",Z?A0).

a2b2a2

一般方程：>U2+Cy2=l（AC^0）.

（2）①焦點在X軸上：

222

頂點：（a,0）,（-a,0）焦點：（c,0）,（-c,0）準(zhǔn)線方程x=±<漸近線方程：±±上=0或?-==0

cabab

焦點在y軸上:

2212

頂點：（0,-。）,（0,。）.焦點：（0,c）,（0,-c）.準(zhǔn)線方程：y=±—?漸近線方程：9/或十a(chǎn)。，參

c

x=asec3x=btan。

數(shù)方程:或

y=asec0

②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2。，焦距2c.

③離心率e=￡④準(zhǔn)線距空（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑五.

aCa

2

⑤參數(shù)關(guān)系c2=a，/,e=￡⑥焦（點）半徑公式：對于雙曲線方程彳_Z-i

aa廬

（外,尸2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）

\MF,\=ex(}+a,,八、“=-ex0-a

構(gòu)成炳足阿卜跖,|=2。

A/F=ex—a|M??|=—ex+a

12020

吠1|=ey°—a

72I=eyo+a

f+a

\MFx\=—eyo

\M'F2\=

（3）等軸雙曲線：雙曲線，-/=±力稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為'=±工，離心率e=后.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一■冊-9-

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b；

等軸雙曲線的性質(zhì)：①漸近線方程為：y=±x；②漸近線互相垂直。

注意到等軸雙曲線的特征a="則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-/=2(2^0),當(dāng)2>0時交點

在尤軸，當(dāng)2<0時焦點在y軸上。

(4)共輾雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共輾雙曲

222222

線.彳-3/與=互為共輾雙曲線，它們具有共同的漸近線：W--=0.

222

47b-ab-ab

2222

(5)共漸近線的雙曲線系方程：W0)的漸近線方程為二-==0如果雙曲線的漸近線為

a2b2a2b2

22

二土；=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為

aba2b2

例如：若雙曲線一條漸近線為y=gx且過0(3,-g),求雙曲線的方程？

2122

解：令雙曲線的方程為：二r_丁="六0),代入(3,」)得二一匕=1.

4282

2、雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L(F不在L上)的距離的比為常

數(shù)e(e>l)的點的軌跡叫做雙曲線。其中定點F為雙曲線的焦點，定直線L為雙曲線焦點F相應(yīng)的

準(zhǔn)線。

三、拋物線方程

(1)拋物線的概念：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不

在定直線/上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線。

方程/=2小8〉0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F(R,0),它的準(zhǔn)線方程是％=-￡；

22

(2)拋物線的性質(zhì)

設(shè)P”0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

圖形*X.

7T\

隹占

八、、八、、%,0)F(-1,0)F(0,1)F(0,-1)

準(zhǔn)線方程x=-EX二一pyTp

22y=2

范圍x>0,yeRx<0,yGx^R,y>0xG7?,37<0

對稱軸x軸y軸

頂點(0,0)

離心率e-\

焦半徑%

a-lll阿=8網(wǎng)

通徑2p2p2p2p

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊-10-

焦點弦X1+X2+PX1+X2+Pyi+y2+pyi+y2+p

注：①通徑（過焦點且垂直于坐標(biāo)和3的線段）為2p,這是過焦點的所有弦中最短的.

a'=2px（或-=2py）的參數(shù)方程為卜=2"（或F=2pf。為參數(shù)）.

四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義

1、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線/的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.

當(dāng)OYeYl時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=l時，軌跡為拋物線；當(dāng)”1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=0時，軌跡為

圓（e=￡,當(dāng)c=O,a=b時）.【弦長公式|AB|=J1+左2k=1（1+左2）［@+%2）2-缶/］】

2、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線

1、到兩定點F1,F2的距離之和1、到兩定點FI,F2的距離之差的

為定值2a（2a>|FiF2|）的點的軌絕對值為定值2a（0<2a<|FiF2|）的

與定點和直線的距離

定義跡點的軌跡

相等的點的軌跡.

2、與定點和直線的距離之比為2、與定點和直線的距離之比為

定值e的點的軌跡.（0<e<l）定值e的點的軌跡.（e>l）

軌跡條點集：({MIIMFi+1MF21點集：{Ml1MFiI-IMF21.點集｛M11MF1=

件=2a,1F1F21<2a}.=±2a,F2F21>2a}.點M到直線1的距離｝.

y，/

B,M

A

圖形J)

KZ7r

標(biāo)準(zhǔn)2222

—萬+=1(a>b>0)—7-7-7=1(a>0,b>0)y2=2px

方方程a2b2ab

參數(shù)\x-acos3fx=asecO｛:10為參數(shù)）

程\y=bsinO[y=btanS

方程(參數(shù)以離心角)(參數(shù)以離心角)

范圍-a<x<a,—b<y<b|x|>a,yeRx>0

中心原點0(0