（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.1條件概率（七大題型）（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.1條件概率（七大題型）（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.1條件概率（七大題型）（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.1條件概率（七大題型）（原卷版）8.1條件概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(2)能利用條件概率和獨(dú)立性等概念分析復(fù)雜問題,尋找解決復(fù)雜問題的方法,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(1)結(jié)合古典概型,了解條件概率的定義.(2)掌握條件概率的計(jì)算方法.(3)了解事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系,掌握概率的乘法公式.(4)會(huì)求互斥事件的條件概率,理解條件概率的性質(zhì)．(5)結(jié)合古典概型,理解并掌握全概率公式,會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率并了解貝葉斯公式知識(shí)點(diǎn)01條件概率1、條件概率的概念條件概率揭示了三者之間"知二求一”的關(guān)系一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且,我們稱為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱條件概率．2、概率的乘法公式由條件概率的定義,對(duì)任意兩個(gè)事件與,若,則．我們稱上式為概率的乘法公式．【即學(xué)即練1】(2024·高二·陜西渭南·期末)已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率,則(

)A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)02條件概率的性質(zhì)設(shè),則(1)(2)如果與是兩個(gè)互布事件,則;(3)設(shè)和互為對(duì)立事件,則．【即學(xué)即練2】(2024·遼寧丹東·一模)已知,,,那么．知識(shí)點(diǎn)03全概率公式與貝葉斯公式全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算,這時(shí),我們可以用"化整為零”的思想將它門悶分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地,設(shè)是一組兩兩互F的事件,,且,則對(duì)任意的事件,有我們稱上面的公式為全概率公式,全概率公式是概率論中最基本的公式之一．貝葉斯公式設(shè)是一組兩兩互壓的事件,,且,則對(duì)任意事件,有在貝葉斯公式中,和分別稱為先儉概率和后驗(yàn)概率．【即學(xué)即練3】(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))設(shè)某廠有甲,乙,丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的,,,并且各車間的次品率依次為,,.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)若取到的是次品,則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少?題型一：條件概率的理解【典例1-1】(2024·高二·河北邢臺(tái)·階段練習(xí))下面幾種概率是條件概率的是(

)A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7,各投籃一次都投中的概率B．有10件產(chǎn)品,其中3件次品,抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),恰好抽到一件次品的概率C．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率D．小明上學(xué)路上要過四個(gè)路口,每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是,小明在一次上學(xué)途中遇到紅燈的概率【典例1-2】(多選題)(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))下面幾種概率不是條件概率的是(

)A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7,各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7,在甲投中的條件下乙投籃次命中的概率C．有10件產(chǎn)品,其中3件次品,抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),恰好抽到一件次品的概率D．小明上學(xué)路上要過四個(gè)路口,每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是,小明在一次上學(xué)路上遇到紅燈的概率【變式1-1】(2024·高二·江蘇·專題練習(xí))判斷下列哪些是條件概率?(1)某校高中三個(gè)年級(jí)各派一名男生和一名女生參加市里的中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì),每人參加一個(gè)不同的項(xiàng)目,已知一名女生獲得冠軍,求高一的女生獲得冠軍的概率;(2)擲一個(gè)骰子,求擲出的點(diǎn)數(shù)為3的概率;(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張,已知抽到梅花的條件下,再抽到的是梅花5的概率．【方法技巧與總結(jié)】判斷是不是條件概率主要看一個(gè)事件的發(fā)生是否是在另一個(gè)事件發(fā)生的條件下進(jìn)行的．題型二：利用定義求條件概率【典例2-1】(2024·高二·廣東肇慶·期中)從1,2,3,4,5中不放回地抽取2個(gè)數(shù),則在第1次抽到奇數(shù)的條件下,第2次又抽到奇數(shù)的概率是(

)A． B． C． D．【典例2-2】(2024·高二·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí))拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù),兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8,則(

)A． B． C． D．【變式2-1】(2024·高二·四川綿陽(yáng)·期末)科技博覽會(huì)需從5個(gè)女生(分別記為,,,,)中選2人參加志愿者服務(wù),已知這5個(gè)人被選中的機(jī)會(huì)相等,則被選中的概率為(

)A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75【變式2-2】(2024·高二·河南·期中)某單位開展主題為"學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó),我學(xué)習(xí)我成長(zhǎng)”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),甲選手答對(duì)第一道題的概率為,連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示"甲選手答對(duì)第一道題”,事件B表示"甲選手答對(duì)第二道題”,則＝(

)A． B． C． D．【變式2-3】(2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))質(zhì)數(shù)(primenumber)又稱素?cái)?shù),一個(gè)大于1的自然數(shù),除了1和它本身外,不能被其他自然數(shù)整除,則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù),數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做"孿生素?cái)?shù)”.如：3和5,5和7……,在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上,著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問題,其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》,破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題,證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么,如果我們?cè)诓怀^的自然數(shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),記事件,這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù);事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù),則(

)A． B． C． D．【變式2-4】(2024·湖南邵陽(yáng)·一模)在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中,若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是和,且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立,則測(cè)試結(jié)束后,在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下,乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為(

)A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率和．(2)將它們相除得到條件概率,這個(gè)公式適用于一般情形,其中AB表示A,B同時(shí)發(fā)生．題型三：概率的乘法公式【典例3-1】(2024·高二·湖北宜昌·階段練習(xí))一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次．求：(1)第一、第二次都取得白球的概率;(2)已知第一次取得黑球,求第二次取得白球的概率;(3)求第二次取得白球的概率．【典例3-2】(2024·高二·江蘇·專題練習(xí))10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,2人參加抽簽(不放回),甲先,乙后,求：(1)甲抽到難簽的概率;(2)甲、乙都抽到難簽的概率;(3)甲沒有抽到難簽,而乙抽到難簽的概率．【變式3-1】(2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí))10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次之,丙最后．求：(1)甲抽到難簽的概率;(2)甲、乙都抽到難簽的概率;(3)甲沒有抽到難簽,而乙抽到難簽的概率;(4)甲、乙、丙都抽到難簽的概率．【方法技巧與總結(jié)】概率的乘法公式公式反映了知二求一的方程思想．題型四：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例4-1】(2024·高二·河南南陽(yáng)·期末)已知,,則.【典例4-2】(2024·高二·安徽安慶·期末)已知,且若,,則．【變式4-1】(2024·高二·河北張家口·期末)已知離散型隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率,,若,事件,,分別表示A,B不發(fā)生和至少有一個(gè)發(fā)生,則,.【變式4-2】(2024·高二·江西·期中)已知隨機(jī)事件,,若,,,則.【變式4-3】(2024·高二·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí))已知,,,則.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)所求事件的概率相對(duì)較復(fù)雜時(shí),往往把該事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,再利用便可求得較復(fù)雜事件的概率．題型五：全概率公式【典例5-1】(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))"布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng),在如圖所示的試驗(yàn)容器中,容器由三個(gè)倉(cāng)組成,某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)或者容器外,一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲,此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉(cāng),則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為．【典例5-2】(2024·高二·河南駐馬店·期末)為銘記歷史,緬懷先烈,增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷,某學(xué)校開展了共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中,甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題,每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為,甲、丙兩人都回答正確的概率是,乙、丙兩人都回答正確的概率是．(1)若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題,求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率;(2)若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題,已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為,求這個(gè)問題回答正確的概率．【變式5-1】(2024·高二·廣東廣州·期末)現(xiàn)有10個(gè)球,其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn),3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn),2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是,,．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球,設(shè)事件為"取得的球是合格品”,事件分別表示"取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．(1)求;(2)求．【變式5-2】(2024·高二·遼寧朝陽(yáng)·期末)新高考模式下,"3+1+2”中"3”是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)必選的主科,"1”是物理、歷史二選一,"2”是在地理、生物、化學(xué)、政治中選兩科.已知某校高二學(xué)生中有的學(xué)生選擇物理,剩余的選擇歷史,選擇物理和歷史的學(xué)生中選擇地理的概率分別是和,則從該校高二學(xué)生中任選一人,這名學(xué)生選擇地理的概率為.【變式5-3】(2024·高二·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí))有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品,甲廠生產(chǎn)的次品率為,乙廠生產(chǎn)的次品率為,丙廠生產(chǎn)的次品率為,生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的,從中任取一件產(chǎn)品,則取得的產(chǎn)品為次品的概率為．【方法技巧與總結(jié)】全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用．題型六：貝葉斯公式【典例6-1】(2024·高二·全國(guó)·隨堂練習(xí))某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005,患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95,正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人,試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性,則此人是癌癥患者的概率有多大?【典例6-2】(2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí))某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005,患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95,正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人,試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性,問此人是患者的概率有多大?(保留小數(shù)點(diǎn)后四位)【變式6-1】(2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期末)有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng),它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息,判斷郵件是不是垃圾郵件,并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為,被標(biāo)記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件,被標(biāo)記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件,則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾(即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件)的概率為.【變式6-2】(2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí))某生產(chǎn)線的管理人員通過對(duì)以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn),每天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí),初始狀態(tài)良好的概率為80%,當(dāng)生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時(shí),第一件產(chǎn)品合格的概率為95%;否則,第一件產(chǎn)品合格的概率為60%,某天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí),生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品,則當(dāng)天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為(精確到0.1%).【變式6-3】(2024·高二·福建龍巖·期末)英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著,根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論,隨機(jī)事件A,B有如下關(guān)系：．某地有A,B兩個(gè)游泳館,甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳,周六選擇A,B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館,那么周日還去A館的概率為0.4;如果周六去B館,那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳,則他周六去A館游泳的概率為．【方法技巧與總結(jié)】此類問題在實(shí)際中更為常見,它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,求各原因發(fā)生的可能性大?。}型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【典例7-1】(2024·高二·廣東肇慶·期中)三部機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件,其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占,機(jī)器乙生產(chǎn)的占,機(jī)器丙生產(chǎn)的占.已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格.三部機(jī)器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起,現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件.(1)求取到的是不合格品的概率;(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品,它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大?請(qǐng)說明理由.【典例7-2】(2024·高二·福建泉州·期末)在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感,這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感,假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人(1)求這個(gè)人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人選自A地區(qū)的概率.【變式7-1】(2024·高二·山東濰坊·期中)第三次人工智能浪潮滾滾而來,以ChatGPT發(fā)布為里程碑,開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí),開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論,條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同的甲,乙兩個(gè)箱子(如圖),其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球,乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子,再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率;(2)若已知摸出的球是黑球,請(qǐng)用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【變式7-2】(2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí))(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件,若,,證明：;(2)貝葉斯公式是由英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的,它用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè),,…,是一組兩兩互斥的事件,,且,,2,…,,則對(duì)任意的事件,,有,,2,…,.(i)已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%,先用低劑量進(jìn)行肺癌篩查,醫(yī)學(xué)研究表明,化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的.已知患有肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性(有病),而沒有患肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陰性(無病),現(xiàn)某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,請(qǐng)問他真的患肺癌的概率是多少?(ii)為了確保診斷無誤,一般對(duì)第一次檢查呈陽(yáng)性的煙民進(jìn)行復(fù)診.復(fù)診時(shí),此人患肺癌的概率就不再是1%,這是因?yàn)榈谝淮螜z查呈陽(yáng)性,所以對(duì)其患肺癌的概率進(jìn)行修正,因此將用貝葉斯公式求出來的概率作為修正概率,請(qǐng)問如果該煙民第二次檢查還是呈陽(yáng)性,則他真的患肺癌的概率是多少?【方法技巧與總結(jié)】是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí),當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生),人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì),貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化．一、單選題1．(2024·黑龍江齊齊哈爾·一模)某飲料廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的飲料,已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為,且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為,若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶,則選到非碳酸飲料的概率約為(

)A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.322．(2024·高二·全國(guó)·開學(xué)考試)某校有7名同學(xué)獲省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng),其中男生4名,女生3名．現(xiàn)隨機(jī)選取2名學(xué)生作"我愛數(shù)學(xué)”主題演講．假設(shè)事件為"選取的兩名學(xué)生性別相同”,事件為"選取的兩名學(xué)生為男生”,則(

)A． B． C． D．3．(2024·高二·山東濟(jì)寧·階段練習(xí))甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,在前三局比賽中,甲勝2局,乙勝1局,規(guī)定先勝3局者取得最終勝利,已知甲在每局比賽中獲勝的概率為,乙在每局比賽中獲勝的概率為,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲取得最終勝利的概率為(

)A． B． C． D．4．(2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè))甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),可以從,,,四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū),設(shè)事件為"甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”,事件為"甲和乙選擇的社區(qū)不相同”,則(

)A． B． C． D．5．(2024·高二·湖南邵陽(yáng)·期中)一玩具制造廠的某一配件由A,B,C三家配件制造廠提供,根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A,B,C的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供配件的份額分別為,,,設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉(cāng)庫(kù)均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記,從中隨機(jī)抽取一件配件,若抽到的是次品,則該次品來自制造廠C概率為(

)A． B． C． D．6．(2024·河南信陽(yáng)·二模)隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重,上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種,某天早上他選擇自駕,坐公交車,騎共享單車的概率分別為,,,而他自駕,坐公交車,騎共享單車遲到的概率分別為,,,結(jié)果這一天他遲到了,在此條件下,他自駕去上班的概率是(

)A． B． C． D．7．(2024·高二·江西萍鄉(xiāng)·期末)某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05,患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.9,正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個(gè)人,試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性,則此人是癌癥患者的概率為(

)A． B． C． D．8．(2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試)甲罐中有5個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球,乙罐中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球和3個(gè)黑球(球除顏色外,大小質(zhì)地均相同).先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以,和表示由甲罐中取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球,以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)①事件與相互獨(dú)立

②③

④A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題9．(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知,分別為隨機(jī)事件A,B的對(duì)立事件,,,則(

)A． B．C．若A,B獨(dú)立,則 D．若A,B互斥,則10．(2024·高三·全國(guó)·期末)已知隨機(jī)事件滿足,,,則下列說法正確的是(

)A．不可能事件與事件互斥B．必然事件與事件相互獨(dú)立C．D．若,則11．(2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí))國(guó)慶節(jié)期間,某商場(chǎng)搞促銷活動(dòng),商場(chǎng)準(zhǔn)備了兩個(gè)裝有卡片的盒子,甲盒子中有4張紅色卡片、2張綠色卡片,乙盒子中有5張紅色卡片、3張綠色卡片(這14張卡片球除顏色外,大小、形狀完全相同).顧客購(gòu)物滿500元即可參加抽獎(jiǎng),其規(guī)則如下：顧客先從甲盒子中隨機(jī)取出1張卡片放入乙盒子,再?gòu)囊液凶又须S機(jī)取出1張卡片,記"在甲盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件,"在甲盒子中取出的卡片是綠色卡片”為事件,"從乙盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件M,若事件M發(fā)生,則該顧客中獎(jiǎng),否則不中獎(jiǎng).則有(

)A．與是互斥事件 B．C． D．與相互獨(dú)立三、填空題12．(2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí))設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,若,,,則.13．(2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試)設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品,由三家工廠生產(chǎn),其中甲廠生產(chǎn)了1000件,乙、丙兩廠各生產(chǎn)500件,而且各廠的次品率依次為,現(xiàn)從中任取一件,則取到次品的概率為．14．(2024·山西晉城·一模)某羽毛球超市銷售4種品牌(品牌,,,)的羽毛球,該超市品牌,,,的羽毛球的個(gè)數(shù)的比例為,品牌,,,的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8,0.9,0.7,0.6．若甲不買這4個(gè)品牌中的1個(gè)品牌的羽毛球,他從其他3個(gè)品牌的羽毛球中隨機(jī)選取1個(gè)購(gòu)買,已知他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8,則可推測(cè)他不買的羽毛球的品牌為(填入,,,中的1個(gè))．四、解答題15．(2024·高二·上海黃浦·期末)擲質(zhì)地均勻的一黑、一白兩顆骰子,觀察朝上的點(diǎn)數(shù),A表示事件"兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”,B表