第08講直角三角形全等的判定（2類題型）

第08講直角三角形全等的判定（2類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.用HL判斷三角形全等；2.全等的性質(zhì)與HL的綜合；3.1.掌握用HL證三角形全等；2.掌握全等的性質(zhì)與HL的綜合；知識點(diǎn)01：HL證明三角形全等定理：在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“HL”）.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【即學(xué)即練1】1．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出CD=DE，則可得出答案．【詳解】解：，，在和中，，，，，cm，cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B=28°，則∠AEC=（）A．28° B．59° C．60° D．62°【答案】B【分析】根據(jù)∠C=90°AD=AC，求證△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度數(shù)，然后即可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，∴∠CAB=90°﹣28°=62°，∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對直角三角形全等的判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證△CAE≌△DAE，此題稍微有點(diǎn)難度，屬于中檔題．題型01用HL證明三角形全等1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，，垂足分別為D、E，且，則與全等的直接理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中的條件可得和是直角三角形，再根據(jù)條件，可根據(jù)定理判定．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等證明，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）在和中，，有如下幾個條件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的條件的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法分別對進(jìn)行逐一分析作答即可【詳解】解：如圖當(dāng)因?yàn)棰?，；在和中，，所以；?dāng)②，；在和中，，所以；當(dāng)因?yàn)棰?，；在和中，，所以；?dāng)因?yàn)棰?，；在和中，，所以；即能判定的條件的個數(shù)為4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為.【答案】【分析】先證明，然后得到求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇南京·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，線段兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)A，點(diǎn)的運(yùn)動速度為每秒鐘，當(dāng)運(yùn)動時間為時，和全等．【答案】4秒或0秒【分析】當(dāng)運(yùn)動時間為4秒或0秒時，和全等，根據(jù)定理推出即可．【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動時間為4秒或0秒時，和全等，理由是：，，當(dāng)運(yùn)動時間為4秒時，的運(yùn)動速度為每秒鐘，，，，，在和中，，當(dāng)運(yùn)動時間為0秒時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，在和中，．故答案為：4秒或0秒．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有，，，，．5．（2023春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，池塘兩端、的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計測量、之間距離的方案．小明設(shè)計的方案如圖①：他先在平地上選取一個可以直接到達(dá)、的點(diǎn)，然后連接和，接著分別延長和并且使，，最后連接，測出的長即可．小紅的方案如圖②：先確定直線，過點(diǎn)作的垂線，在上選取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)的點(diǎn)，連接，在線段的延長線上找一點(diǎn)，使，測的長即可．你認(rèn)為以上兩種方案可以嗎？請說明理由．【答案】都可以，理由見解析【分析】分別證明，，即可解決問題．【詳解】解：以上兩種方案可以，理由如下：甲同學(xué)方案：在和中，，∴，∴；乙同學(xué)方案：在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇淮安·七年級淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、F、C、E存同一直線上，，、相交于點(diǎn)G，，垂足為B，，垂足為E，且，．(1)求證：；(2)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）求出，利用可直接證明；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和全等三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，且和是直角三角形，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握證明三角形全等的方法是解題的關(guān)鍵．題型02全等的性質(zhì)和HL綜合1．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，于，，．則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再證，推出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．2（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，平分于，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，證得，可得；由等角的余角相等，可證得；然后由的度數(shù)不確定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．【詳解】解：①正確，在中，，平分，于，；②正確，在與中，，所以，即；③正確，因?yàn)楹投寂c互余，根據(jù)同角的余角相等，所以；④錯誤，因?yàn)榈亩葦?shù)不確定，故不一定等于；⑤錯誤，因?yàn)?，和的高相等，所以：：．故正確的個數(shù)為個故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，，則度．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由是的角平分線可得，可證出，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴．∵，∴．∵是的角平分線，∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．4．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，于點(diǎn)E，，則的值為．【答案】5【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，由此證明，推出，設(shè)，則，利用勾股定理求出的值．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，∴，∴，即．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖所示，平分，P是上一點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)P分別作，，垂足分別為,先證明和全等，易得，根據(jù)即可求解．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)P分別作，，垂足分別為．平分，∴．在和中，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)．6．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為等腰直角三角形，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在的延長線上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義得到，，再利用證明即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，繼而求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用角的和差計算即可．【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)得到相等的角．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，．則的理由是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形中斜邊直角邊可判定即可求解．【詳解】解：∵，，∴，即是直角三角形，在和中，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中全等三角形的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，，，垂足分別為、，且，則與全等的理由是（

）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【分析】根據(jù)題中的條件可得和是直角三角形，再根據(jù)條件，可根據(jù)定理判定．【詳解】解：，，，在和中，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、，解題的關(guān)鍵是結(jié)合已知條件在圖形上的位置選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ?．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，要用“”判斷和全等的條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法即可得出答案．【詳解】根據(jù)全等三角形的判定方法來解決，可以發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A是“”；選項(xiàng)B是“”；選項(xiàng)C是“”；選項(xiàng)D是“”；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形還有特殊的判定方法“”．4．（2023春·山東濟(jì)南·八年級濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段上一動點(diǎn)．若，當(dāng)最小時，的面積是（）．A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】如圖：過D作,由垂線段最短的性質(zhì)可得當(dāng)時，DE最短，根據(jù)題意可知為的平分線，由角平分線的性質(zhì)得出，再由三角形的面積公式可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：過D作∵點(diǎn)E為線段上的一個動點(diǎn)，最短，∴，由基本尺規(guī)作圖可知，是的角平分線，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面積．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等性質(zhì)，正確作出輔助線和利用角平分線的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖南常德·八年級常德市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，，，，要根據(jù)“”證明，則還需要添加一個條件是．【答案】或【分析】根據(jù)垂直求出，在根據(jù)三角形全等的判定定理即可解答．【詳解】解：∵，，∴，在和中，或，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．6．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知，是的兩條高線，，，則度．【答案】40【分析】由，是的兩條高線，得，證明，得，則，．【詳解】解：∵，是的兩條高線，∴，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·八年級課前預(yù)習(xí)）如圖，已知，邊的垂直平分線交與點(diǎn)D，連接，如果，，那么的周長等于．【答案】【分析】邊的垂直平分線交與點(diǎn)D，連接，由此可知，的周長的是，由此即可求解．【詳解】解：邊的垂直平分線交與點(diǎn)D，連接，如果，，∴，∴，的周長等于，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)求線段的關(guān)系，掌握垂直平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，則∠EDF＝．【答案】45°【分析】根據(jù)HL證明，得，根據(jù)得，則，即可得．【詳解】解：∵，，∴，在和中，∴（HL），∴,∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)．9．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，，，，．求證：．【答案】見解析【分析】利用HL證出即可．【詳解】證明：∵，，∴．在和中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定兩個三角形全等是解決此題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，相交于點(diǎn)，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，，垂足為C，且，若用“”證明，則需添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“”的判定方法進(jìn)行判定即可．【詳解】解：，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)“”判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在中，，是上的一點(diǎn)，且，過作交于，如果，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得到，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用證明是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點(diǎn)P，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：延長，作，，，設(shè)，平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，設(shè)，根據(jù)勾股定理得，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，求出，得出．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，如圖所示：平分，，設(shè)，在中，，，，，，，∴，在中，則有，解得：，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．5．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，若要使與全等，則添加的條件可以是：．（寫出一個條件即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)兩個直角三角形全等的判定添加條件即可得到答案．【詳解】解：在與中，，，要使與全等，只需添加，再由兩個直角三角形全等的判定定理即可判定，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查兩個直角三角形全等的判定，熟記直角三角形全等的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，，則度．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由是的角平分線可得，可證出，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴．∵，∴．∵是的角平分線，∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．7．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，于點(diǎn)E，，則的值為．【答案】5【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，由此證明，推出，設(shè)，則，利用勾股定理求出的值．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，∴，∴，即．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，AD平分交BC于點(diǎn)D，E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，且．若，，則AE的長為．【答案】4【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)得出，證明，得出，求出，由證明，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)F，如圖所示：∵，AD平分交BC于點(diǎn)D，，∴，在和中，，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)證明直角三角形的全等解答．9．（2023春·山東濟(jì)南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在的延長線上，且，求的度數(shù)．【答案】【分析】由題意可求出，從而可得．又易證，即得出，從而可求出．【詳解】解：∵，∴，∴．∵點(diǎn)F在的延長線上，∴．又∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．10．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谥校┤鐖D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若平分，．(1)求證：；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“”證明即可；（2）由全等三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若平分，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，垂足為，，，則可得到，理由是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分析即可?！驹斀狻拷猓骸?，∴.在RT和RT中，,∴(HL)。故選.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定兩個三角形全等是解決此題的關(guān)鍵。2．（2023春·河南平頂山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④．四個結(jié)論中成立的是（

）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③【答案】A【分析】過E作于F，可得，運(yùn)用全等三角形的判定可得，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可得，；運(yùn)用點(diǎn)E是的中點(diǎn)即可判斷③是否正確；運(yùn)用全等三角形的判定可得，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可判斷②④是否正確；運(yùn)用即可判斷①是否正確【詳解】解：過E作于F，如圖，∵，平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，而，，故③錯誤；在和中，，∴，∴，，，故②正確；∴，故④正確；∴，故①正確．因此正確的有①②④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．側(cè)重考查知識點(diǎn)的理解、應(yīng)用能力．學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)從以下3個方向（【邏輯推理】【直觀想象】【數(shù)學(xué)運(yùn)算】）培養(yǎng)對知識點(diǎn)的理解、應(yīng)用能力．3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為和，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作于點(diǎn)，由平分，于點(diǎn)，得，可證明，得，再證明，得，由，得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，，，在和中，，，，在和中，，∴，，，且，，，；故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明及是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川成都·八年級校考期末）如圖，在中，平分，交于D，點(diǎn)E、G分別在邊、上，連接，．過D作于F．已知，，，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，，得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，，，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造全等三角形．5．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）和中，，，，、分別為、邊的高，且，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分、都在三角形內(nèi)部，、有一個在三角形外部兩種情況，再證明即可解答．【詳解】解：若、都在三角形內(nèi)部，如圖1所示，∵、分別為、邊的高，∴，都為直角三角形，在和中，，∴，∴；若、有一個在三角形外部，如圖2所示，∵、分別為、邊的高，∴，都為直角三角形，在和中，，∴，∴，∴，綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想畫出圖形并熟練掌握三角形的判定定理與性質(zhì)定理．6．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，交的延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，則的長為．【答案】8【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可，利用勾股定理求出，再證明，可得，即可求出的長．【詳解】解：∵平分，，，∴；∴；∵，∴；在和中，，∴，∴，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在中，，按以下步驟作圖：以點(diǎn)為圓心，以小于的長為半徑作?。謩e交、于點(diǎn)、；再分別以點(diǎn)、為圓心．以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)．若，，則的長為．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由作圖知平分，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由作圖可知平分，，，，，，，，設(shè)，在中，由勾股定理可得，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知長方形中，，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后馬上折返，向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)在線段上以的速度由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)F、G同時出發(fā)，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．若以E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形全等，則t=秒．【答案】2或6/6或2【分析】依題意可知需要分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動時，①當(dāng)，時，求出，則可得到的值；②當(dāng)時，時，由于，因此這種情況不存在；（2）當(dāng)點(diǎn)折返時，又有以下兩種情況：①時，時，不存在這種情況，②當(dāng)，時，求出，則可得到的值．【詳解】解：點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后馬上折返，有以下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動時，四邊形為矩形，，，，，，以，，為頂點(diǎn)的三角形和以，，為頂點(diǎn)的三角形全等，，有以下兩種情況：①當(dāng)，時，此時和全等，，，，點(diǎn)運(yùn)動的時間（秒；②當(dāng)時，時，此時和全等，，，，又，，，即點(diǎn)在的延長線上，故不存在此種情況；（2）當(dāng)點(diǎn)折返時，又有以下兩種情況：①時，時，此時和全等，由（1）②可知：這種情況不存在；②當(dāng)，時，此時和全等，由（1）①可知：，點(diǎn)運(yùn)動的路程為：點(diǎn)運(yùn)動的時間（秒．綜上所述：若以，，為頂點(diǎn)的三角形和以，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則為2秒或6秒．