拓展二 圓錐曲線的軌跡問(wèn)題 -

拓展二圓錐曲線的軌跡問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1求圓錐曲線軌跡方程的方法解軌跡問(wèn)題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說(shuō)明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).1、直接法求曲線軌跡方程（1）直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性．通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這幾個(gè)步驟,但最后的證明可以省略．（2）求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性．（3）對(duì)方程化簡(jiǎn)時(shí),要保證前后方程解集相同,必要時(shí)可說(shuō)明x,y的取值范圍．注：基本步驟：（1）建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；（3）列式,列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；（4）代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)；（5）證明,證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.2、定義法求曲線軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。注：（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：①若a>c,則集合P為橢圓；②若a＝c,則集合P為線段；③若a<c,則集合P為空集．（2）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在．（3）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：①定直線l不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.②定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.(4)一般涉及到動(dòng)圓與兩定圓相切問(wèn)題(包括內(nèi)切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動(dòng)圓半徑r。(5)如圖，圓的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓。(6)如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和直線OP交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線。(7)已知定點(diǎn)F和定直線，F(xiàn)不在直線上，動(dòng)圓M過(guò)F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。3、相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。注：“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝f（x，y），,y1＝g（x，y）；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．4、參數(shù)法求曲線軌跡方程有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，解距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時(shí)，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等，也可以沒(méi)有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響．注：1、參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一般步驟（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時(shí)要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．2、參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)用舉例利用參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，關(guān)鍵是如何合理地選擇參數(shù)，以及使用參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程還應(yīng)注意哪些問(wèn)題題．（1）如何選擇參數(shù)求動(dòng)點(diǎn)軌邊方程利用參數(shù)是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法，而參數(shù)選擇的恰當(dāng)與否，直接影響著解題速度和解題質(zhì)量．若考察軌跡上點(diǎn)的變動(dòng)因素，通常可取點(diǎn)的坐標(biāo)或角度或有向線段作為參數(shù)；若所求的軌跡上的點(diǎn)可看作經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)的直線束上的點(diǎn)，常以直線束的斜率為參數(shù)．（2）選擇參數(shù)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：①點(diǎn)的坐標(biāo)、角、直線斜率等均可選作參數(shù)，且選擇的參數(shù)越少越好；②所選參數(shù)最好能表示所有與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程；③若選擇了一個(gè)參數(shù)，則必須且只需列兩個(gè)方程，然后消去參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；若選擇了兩個(gè)參數(shù)，則必須且只需列三個(gè)方程，然后消去參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；也就是說(shuō)，若選擇了個(gè)參數(shù)，則必須且只需列個(gè)方程，然后消去這個(gè)參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．5、交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來(lái)得到軌跡方程,稱之交軌法.若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過(guò)這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.注：（1）求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問(wèn)題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫(xiě)出兩條動(dòng)曲線方程，關(guān)鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去．怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫(xiě)出兩條動(dòng)曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？如果動(dòng)點(diǎn)影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)點(diǎn)為參數(shù)．如果動(dòng)直線的斜率影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的斜率為參數(shù)．如果動(dòng)直線在軸上的截距影響動(dòng)點(diǎn)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線在軸上的截距為參數(shù)．如果動(dòng)直線的傾斜角影響動(dòng)點(diǎn)成跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的傾斜角為參數(shù)類型一直接法求曲線軌跡方程1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.2．【多選】（2022·湖北黃岡·高二期末）已知：，直線相交于，直線的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的橢圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一條直線D．當(dāng)時(shí)，的軌跡為除去兩點(diǎn)的拋物線【解析】設(shè)點(diǎn)，，.當(dāng)時(shí)，，.故點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的橢圓，A正確；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)的軌跡為除去兩點(diǎn)的雙曲線，B正確；當(dāng)時(shí)，.，即不含點(diǎn)，軌跡是一條直線不含，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則.故的軌跡為除去兩點(diǎn)的拋物線，D正確.故選：ABD.3．（2022·貴州貴陽(yáng)·高二期末（文））平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是___________．【解析】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點(diǎn)的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得．所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為12、的橢圓．故答案為：．4．（2022·河北邯鄲·高二期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，Q點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知，，A，B為曲線C上異于M，N的兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)T，點(diǎn)T在直線上，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)，則，化簡(jiǎn)，得，∴曲線C的方程為.(2)設(shè)，，則，，∴，，，.①當(dāng)直線垂直于y軸時(shí)，由對(duì)稱性可知，直線，交于y軸，不合題意，舍去.②當(dāng)直線不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，得.依題意，，.∴，，∴.又，，∴直線的方程為，直線的方程為.依題意，設(shè).∵點(diǎn)T為直線，的交點(diǎn)，∴，∴，即，，又∵，∴，化簡(jiǎn)，得.又滿足，直線的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn).5．（2022·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過(guò)定點(diǎn)的直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過(guò)定點(diǎn).6．（2022·山東臨沂·高二期末）已知?jiǎng)又本€l垂直于x軸，與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，且滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為定值.【解析】(1)解：設(shè)，則由題知，，即由點(diǎn)在橢圓上，故所以，即所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程為.(2)證明：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，所以聯(lián)立方程整理得，、所以，由韋達(dá)定理得，則所以，所以.即直線的斜率之和為定值.7．（2022·江蘇常州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點(diǎn)M是曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設(shè)直線AM與直線交于點(diǎn)N，求證：.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，故可得，化簡(jiǎn)得，即，故曲線的方程為.（2）①設(shè)，則，即故.②設(shè)，且在軸的上方時(shí)，若，不妨取，滿足曲線的方程，則方程為，則，此時(shí)，又，故；若不垂直于，設(shè)，，則由，得，又直線的方程為：，聯(lián)立可得：，故，則，又，則，又，，故即；當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，顯然也滿足；綜上：得證.類型二定義法求曲線軌跡方程8．（2022·四川·高二期末（文））若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A9．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線的方程.【解析】（1）解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．（2）解：設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)直線方程為．10．（2022·福建福州·高二期末）動(dòng)圓M與圓：，圓：，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【解析】圓：，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.設(shè)，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓，都外切，所以，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，的雙曲線左支.所以，，解得，即的軌跡方程為：.故選：D11．（2022·天津河北·高二期末）已知圓：，圓：，動(dòng)圓C與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程(2)點(diǎn)（）為軌跡E上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意得，.設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，則，.從而.∴動(dòng)圓圓心C的軌跡E是焦點(diǎn)為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓，且，.又，得，∴動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程為.(2)由（1）可得.設(shè)直線PA的方程為則直線PB的方程為.設(shè)，.由消去y，整理得，則，即.（1）同理可得.（2）∴.將（1）（2）代入上式，化簡(jiǎn)得.故直線AB的斜率為定值.12．（2022·山東聊城·高二期末）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意得：圓，則圓心，半徑；設(shè)中點(diǎn)為，則為線段的垂直平分線，，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即，，，點(diǎn)軌跡方程為：；(2)①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線，由得：，設(shè)直線與曲線交于，，則，，；，直線，同理可得：，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由得：，，即直線恒過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由得：，則，則直線恒過(guò)點(diǎn)；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過(guò)；綜上所述：直線恒過(guò)點(diǎn)；，在以中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，若，則為定值；存在點(diǎn)，使得為定值.13．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】如圖設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．14．（2021·山東·日照青山學(xué)校高二期末）設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于、兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交曲線于點(diǎn).證明：是直角三角形.【解析】(1)解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)?，則，即，因?yàn)椋?，，故，由題意可知，點(diǎn)不在軸上，故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)且去掉長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的橢圓，且，得，，得，則，故點(diǎn)的軌跡方程為.(2)證明：設(shè)點(diǎn)，其中、，則、，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)、都在曲線上，則，兩式作差得，所以，，則，，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，即，則，故，因此，為直角三角形.類型三相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程15．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期末）已知線段AB的長(zhǎng)度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____．【解析】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.故答案為：16．（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）已知為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為Q，M為線段PQ的中點(diǎn)，M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若不過(guò)原點(diǎn)的直線：與E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形面積的最大值.【解析】(1)設(shè)，，由題意知①，由在圓上，故，將①代入化簡(jiǎn)可得.由M為線段PQ的中點(diǎn)，可知與Q不能重合，∴E的方程為.(2)由題設(shè)，聯(lián)立，得，則，又不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，，，又到直線的距離，∴平行四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時(shí)等號(hào)成立，故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為8.17．（2022·云南普洱·高二期末（理））設(shè)動(dòng)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若點(diǎn)在線段上，且滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.【解析】(1)解：依題意，由知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，又點(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡的方程為：；(2)解：由題意，設(shè)直線的方程為，，，由，得，即，所以，則，所以，所以，而到的距離，所以，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為或，即或.18．（2022·河北唐山·高二期末）已知圓，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上的射影為，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知，過(guò)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，由，得，由點(diǎn)在圓上，所以，整理得，所以曲線的方程是(2)當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)：，則：點(diǎn)到直線的距離，所以，將代入曲線的方程，整理得，設(shè)，則，，則，所以，令，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．綜上所述，的取值范圍是．19．（2022·湖北·高二期中）設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（點(diǎn)、不重合）(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，定點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P為，動(dòng)點(diǎn)M為，則Q點(diǎn)為，，，求得：又，即點(diǎn)M的軌跡方程為：，（2）設(shè)直線AB方程為：，由得，

或，設(shè)A點(diǎn)，B點(diǎn)，則，求得：，的值為定值，定值為．類型四參數(shù)法求曲線軌跡方程20．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線，定點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且有，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)、，則，①，②在拋物線上，，把①②代入得，化簡(jiǎn)得，即，軌跡為拋物線.21．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，．求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線．【解析】設(shè)，的斜率分別為．所以由，得由點(diǎn)在上，得直線方程由，得直線方程設(shè)點(diǎn)，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時(shí)乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因?yàn)槭窃c(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以．所以點(diǎn)M的軌跡方程為，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．22．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為．∵直線OA的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，同理可得．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，消去得∴點(diǎn)的軌跡方程為類型五交軌法求曲線軌跡方程23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，橢圓（，為常數(shù)），動(dòng)圓，，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于四點(diǎn)，求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，，又，，則直線的方程為…①；直線的方程為…②；由①②得：…③；由點(diǎn)在橢圓上可得：，，代入③得：.24．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀．