拓展二 圓錐曲線的軌跡問題 -

拓展二圓錐曲線的軌跡問題知識點1求圓錐曲線軌跡方程的方法解軌跡問題注意：（1）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗證曲線上的點是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點.1、直接法求曲線軌跡方程（1）直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟,但最后的證明可以省略．（2）求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．（3）對方程化簡時,要保證前后方程解集相同,必要時可說明x,y的取值范圍．注：基本步驟：（1）建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）設(shè)點,設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)；（3）列式,列出動點P所滿足的關(guān)系式；（4）代換,依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；（5）證明,證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.2、定義法求曲線軌跡方程如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。注：（1）平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：①若a>c,則集合P為橢圓；②若a＝c,則集合P為線段；③若a<c,則集合P為空集．（2）平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①當(dāng)2a<|F1F2|時,P點的軌跡是雙曲線；②當(dāng)2a＝|F1F2|時,P點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線；③當(dāng)2a>|F1F2|時,P點不存在．（3）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：①定直線l不經(jīng)過定點F.②定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.(4)一般涉及到動圓與兩定圓相切問題(包括內(nèi)切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動圓半徑r。(5)如圖，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點，r為長軸長的橢圓。(6)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線和直線OP交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點，r為實軸長的雙曲線。(7)已知定點F和定直線，F(xiàn)不在直線上，動圓M過F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。3、相關(guān)點法求曲線軌跡方程如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。注：“相關(guān)點法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標(biāo)為(x,y),主動點坐標(biāo)為(x1,y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝f（x，y），,y1＝g（x，y）；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點的軌跡方程．4、參數(shù)法求曲線軌跡方程有時不容易得出動點應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可，在選擇參數(shù)時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點的橫縱坐標(biāo)等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響．注：1、參數(shù)法求動點的軌跡方程一般步驟（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；（3）建立參數(shù)方程；（4）消去參數(shù)得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（）等．要特別注意：消參前后變量的取值范圍不能改變．2、參數(shù)法求動點的軌跡方程應(yīng)用舉例利用參數(shù)求動點軌跡方程，關(guān)鍵是如何合理地選擇參數(shù)，以及使用參數(shù)求動點軌跡方程還應(yīng)注意哪些問題題．（1）如何選擇參數(shù)求動點軌邊方程利用參數(shù)是求動點軌跡的重要方法，而參數(shù)選擇的恰當(dāng)與否，直接影響著解題速度和解題質(zhì)量．若考察軌跡上點的變動因素，通?？扇↑c的坐標(biāo)或角度或有向線段作為參數(shù)；若所求的軌跡上的點可看作經(jīng)過某定點的直線束上的點，常以直線束的斜率為參數(shù)．（2）選擇參數(shù)的幾點注意事項：①點的坐標(biāo)、角、直線斜率等均可選作參數(shù)，且選擇的參數(shù)越少越好；②所選參數(shù)最好能表示所有與動點有關(guān)的點的坐標(biāo)或直線方程；③若選擇了一個參數(shù)，則必須且只需列兩個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點軌跡方程；若選擇了兩個參數(shù)，則必須且只需列三個方程，然后消去參數(shù)，即可得到動點軌跡方程；也就是說，若選擇了個參數(shù)，則必須且只需列個方程，然后消去這個參數(shù)，即可得到動點軌跡方程．5、交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點是兩曲線的交點,可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.注：（1）求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法運用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程，關(guān)鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去．怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？如果動點影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動點為參數(shù)．如果動直線的斜率影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線的斜率為參數(shù)．如果動直線在軸上的截距影響動點的軌跡，起制約作用，那么就選取動直線在軸上的截距為參數(shù)．如果動直線的傾斜角影響動點成跡，起制約作用，那么就選取動直線的傾斜角為參數(shù)類型一直接法求曲線軌跡方程1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知的周長為，頂點、的坐標(biāo)分別為、，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.2．【多選】（2022·湖北黃岡·高二期末）已知：，直線相交于，直線的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時，點的軌跡為除去兩點的橢圓B．當(dāng)時，點的軌跡為除去兩點的雙曲線C．當(dāng)時，點的軌跡為一條直線D．當(dāng)時，的軌跡為除去兩點的拋物線【解析】設(shè)點，，.當(dāng)時，，.故點的軌跡為除去兩點的橢圓，A正確；當(dāng)時，，故點的軌跡為除去兩點的雙曲線，B正確；當(dāng)時，.，即不含點，軌跡是一條直線不含，C錯誤；當(dāng)時，則.故的軌跡為除去兩點的拋物線，D正確.故選：ABD.3．（2022·貴州貴陽·高二期末（文））平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點M的軌跡是___________．【解析】動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得．所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓．故答案為：．4．（2022·河北邯鄲·高二期末）已知動點Q到點的距離與到直線的距離之比為，Q點的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知，，A，B為曲線C上異于M，N的兩點，直線，相交于點T，點T在直線上，問直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由.【解析】(1)設(shè)，則，化簡，得，∴曲線C的方程為.(2)設(shè)，，則，，∴，，，.①當(dāng)直線垂直于y軸時，由對稱性可知，直線，交于y軸，不合題意，舍去.②當(dāng)直線不垂直于y軸時，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，得.依題意，，.∴，，∴.又，，∴直線的方程為，直線的方程為.依題意，設(shè).∵點T為直線，的交點，∴，∴，即，，又∵，∴，化簡，得.又滿足，直線的方程為，∴直線過定點.5．（2022·吉林·吉化第一高級中學(xué)校高二期末）已知平面內(nèi)兩點，，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡方程；(2)過定點的直線l交動點P的軌跡于不同的兩點M，N，點M關(guān)于y軸對稱點為，求證直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)動點，由已知有，整理得，所以動點的軌跡方程為；（2）由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因為直線過定點，所以三點共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點.6．（2022·山東臨沂·高二期末）已知動直線l垂直于x軸，與橢圓交于兩點，點在直線l上，且滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點作直線交曲線于兩點，若點，求證：直線的斜率之和為定值.【解析】(1)解：設(shè)，則由題知，，即由點在橢圓上，故所以，即所以動點的軌跡C的方程為.(2)證明：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時，與橢圓有且只有一個交點，不合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，所以聯(lián)立方程整理得，、所以，由韋達(dá)定理得，則所以，所以.即直線的斜率之和為定值.7．（2022·江蘇常州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線：，動點P到點F的距離是到直線的距離的，點P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點M是曲線C上異于A、B的任意一點，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設(shè)直線AM與直線交于點N，求證：.【解析】（1）設(shè)，因為動點P到點F的距離是到直線的距離的，故可得，化簡得，即，故曲線的方程為.（2）①設(shè)，則，即故.②設(shè)，且在軸的上方時，若，不妨取，滿足曲線的方程，則方程為，則，此時，又，故；若不垂直于，設(shè)，，則由，得，又直線的方程為：，聯(lián)立可得：，故，則，又，則，又，，故即；當(dāng)點在軸的下方時，根據(jù)對稱性，顯然也滿足；綜上：得證.類型二定義法求曲線軌跡方程8．（2022·四川·高二期末（文））若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A9．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知圓，圓，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點.(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.【解析】（1）解：設(shè)動圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，當(dāng)點坐標(biāo)為橢圓右頂點時，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．（2）解：設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設(shè)原點到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，面積取得最大值，此時直線方程為．10．（2022·福建福州·高二期末）動圓M與圓：，圓：，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【解析】圓：，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.設(shè)，半徑為，因為動圓與圓，都外切，所以，所以的軌跡為以為焦點，的雙曲線左支.所以，，解得，即的軌跡方程為：.故選：D11．（2022·天津河北·高二期末）已知圓：，圓：，動圓C與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程(2)點（）為軌跡E上的點，過點P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點，直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請說明理由.【解析】(1)由題意得，.設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，則，.從而.∴動圓圓心C的軌跡E是焦點為，，長軸長等于4的橢圓，且，.又，得，∴動圓圓心C的軌跡E的方程為.(2)由（1）可得.設(shè)直線PA的方程為則直線PB的方程為.設(shè)，.由消去y，整理得，則，即.（1）同理可得.（2）∴.將（1）（2）代入上式，化簡得.故直線AB的斜率為定值.12．（2022·山東聊城·高二期末）已知為圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)點的軌跡為曲線，過點作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點，過點作直線的垂線，垂足為點，是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意得：圓，則圓心，半徑；設(shè)中點為，則為線段的垂直平分線，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，，點軌跡方程為：；(2)①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線，由得：，設(shè)直線與曲線交于，，則，，；，直線，同理可得：，，設(shè)直線與軸交于點，則當(dāng)直線斜率存在時，由得：，，即直線恒過點；當(dāng)直線斜率不存在時，由得：，則，則直線恒過點；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過；綜上所述：直線恒過點；，在以中點為圓心，為直徑的圓上，若，則為定值；存在點，使得為定值.13．（2022·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】如圖設(shè)與圓的切點分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．14．（2021·山東·日照青山學(xué)校高二期末）設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于、兩點，過作的平行線交于點，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過坐標(biāo)原點的直線交曲線于、兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連接并延長交曲線于點.證明：是直角三角形.【解析】(1)解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為，則，即，因為，所以，，故，由題意可知，點不在軸上，故點的軌跡是以點、為焦點且去掉長軸頂點的橢圓，且，得，，得，則，故點的軌跡方程為.(2)證明：設(shè)點，其中、，則、，設(shè)點，因為點、都在曲線上，則，兩式作差得，所以，，則，，，因為、、三點共線，則，即，則，故，因此，為直角三角形.類型三相關(guān)點法求曲線軌跡方程15．（2022·遼寧沈陽·高二期末）已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______．【解析】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：16．（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）已知為圓上的一個動點，過作軸的垂線，垂足為Q，M為線段PQ的中點，M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若不過原點的直線：與E交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，求這個平行四邊形面積的最大值.【解析】(1)設(shè)，，由題意知①，由在圓上，故，將①代入化簡可得.由M為線段PQ的中點，可知與Q不能重合，∴E的方程為.(2)由題設(shè)，聯(lián)立，得，則，又不經(jīng)過原點，∴.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，則，，，又到直線的距離，∴平行四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時等號成立，故這個平行四邊形面積的最大值為8.17．（2022·云南普洱·高二期末（理））設(shè)動點是圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，若點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.【解析】(1)解：依題意，由知，點是線段的中點，設(shè)，則，，又點在圓上，所以，即，所以點的軌跡的方程為：；(2)解：由題意，設(shè)直線的方程為，，，由，得，即，所以，則，所以，所以，而到的距離，所以，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為1，此時直線的方程為或，即或.18．（2022·河北唐山·高二期末）已知圓，點是圓上任意一點，在軸上的射影為，點滿足，記點的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知，過的直線與曲線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求的取值范圍．【解析】(1)設(shè)點，由，得，由點在圓上，所以，整理得，所以曲線的方程是(2)當(dāng)直線的斜率為時，，，，當(dāng)直線的斜率不存在時，，，，當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)：，則：點到直線的距離，所以，將代入曲線的方程，整理得，設(shè)，則，，則，所以，令，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．綜上所述，的取值范圍是．19．（2022·湖北·高二期中）設(shè)點為圓上的動點，過點作軸垂線，垂足為點，動點滿足（點、不重合）(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的動直線與軌跡交于、兩點，定點為，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)點P為，動點M為，則Q點為，，，求得：又，即點M的軌跡方程為：，（2）設(shè)直線AB方程為：，由得，

或，設(shè)A點，B點，則，求得：，的值為定值，定值為．類型四參數(shù)法求曲線軌跡方程20．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，定點為拋物線上任意一點，點在線段上，且有，當(dāng)點在拋物線上變動時，求點的軌跡方程．【解析】設(shè)、，則，①，②在拋物線上，，把①②代入得，化簡得，即，軌跡為拋物線.21．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，設(shè)點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．【解析】設(shè)，的斜率分別為．所以由，得由點在上，得直線方程由，得直線方程設(shè)點，則滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘，并利用③式整理得由③、④兩式得由①式知，∴因為是原點以外的兩點，所以．所以點M的軌跡方程為，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．22．（2022·全國·高二專題練習(xí)）過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程．【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為．∵直線OA的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，同理可得．由中點坐標(biāo)公式得，即，消去得∴點的軌跡方程為類型五交軌法求曲線軌跡方程23．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，橢圓（，為常數(shù)），動圓，，點分別為的左，右頂點，與相交于四點，求直線與直線交點的軌跡方程.【解析】設(shè)，，又，，則直線的方程為…①；直線的方程為…②；由①②得：…③；由點在橢圓上可得：，，代入③得：.24．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，為雙曲線的左、右頂點，求直線與的交點的軌跡方程，并指出軌跡的形狀．