高中數(shù)學(xué) 3.1.1 歸納推理同步練習(xí) 北師大版選修1-2

§1歸納與類比1．1歸納推理eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示，則第七個(gè)三角形數(shù)是 ()． A．27 B．28 C．29 D．30 解析第一個(gè)三角形數(shù)是1， 第二個(gè)三角形數(shù)是1＋2＝3， 第三個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＝6， 第四個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＝10. 因此，歸納推理得第n個(gè)三角形點(diǎn)數(shù)是1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(1＋nn,2) (個(gè))． 由此可以得出第七個(gè)三角形點(diǎn)數(shù)是28. 答案B2．根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測(cè)123456×9＋7等于 ()． 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1111； 1234×9＋5＝11111； 12345×9＋6＝111111. A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 答案B3．定義A*B、B*C、C*D、D*B分別對(duì)應(yīng)圖①②③④中的圖形： 則下列圖形中可以表示A*D、A*C的分別是 ()． A．(1)(2) B．(2)(3) C．(2)(4) D．(1)(4) 解析注意觀察、分析、辨別，找到A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)的圖形，A 為豎線，B為大正方形，C為橫線，D為小正方形． 答案C4．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2)) ＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a、 b都成立的條件不等式：________. 解析各不等式右邊相同，左邊兩根號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20. 答案當(dāng)a＋b＝20時(shí)，有eq\r(a)＋eq\r(b)＜2eq\r(10)，a、b∈R＋5．從1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3 ＋4)，…，概括出第n個(gè)式子為________． 答案1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)6．已知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42，… 根據(jù)以上等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，請(qǐng)你歸納一般結(jié)論． 解注意到各等號(hào)左邊為若干項(xiàng)奇數(shù)的和，且最后一項(xiàng)分別為1＝2×1 －1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1，… 又等號(hào)右邊相應(yīng)結(jié)果分別為：12；22；32；42；… 由此總結(jié)出一般結(jié)論：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表： 03→47→811… ↓↑↓↑↓↑ 1→25→69→10 根據(jù)規(guī)律，從2002到2004，箭頭的方向依次為 ()． A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 解析由前幾項(xiàng)可歸納出4n－44n－1→↓↑4n－3→4n－2 則n≥1，n∈N* 2002＝4n－2，n＝501 ∴2003→2004 ↑2002 答案C8．觀察如圖所示的正方形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n≥2，n∈(N*) 個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn. 按此規(guī)律推斷出Sn與n的關(guān)系式為 ()． A．Sn＝2n B．Sn＝4n C．Sn＝2n D．Sn＝4n－4 解析由n＝2，n＝3，n＝4的圖案，推斷第n個(gè)圖案是這樣構(gòu)成的：各 個(gè)圓點(diǎn)排成正方形的四條邊，每條邊上有n個(gè)圓點(diǎn)，則圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Sn＝4n－4. 答案D9．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣如圖： 按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為________． 解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個(gè)，即eq\f(n2－n,2)個(gè)，因此第n 行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個(gè)，即為eq\f(n2－n＋6,2). 答案eq\f(n2－n＋6,2)10．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)， f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，由此可推測(cè)當(dāng)n＞2時(shí)，一般性的結(jié)論為________． 解析上述不等式左邊的變量都是2n，右邊都是eq\f(n＋2,2)，因此一般性的結(jié) 論為f(2n)＞eq\f(n＋2,2). 答案f(2n)＞eq\f(n＋2,2)11．觀察下列等式，并從中歸納出一般結(jié)論：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)， sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，…. 解觀察可得兩個(gè)等式的左邊都是平方項(xiàng)的和，角度依次相差60°，等式 的右邊都是常數(shù)eq\f(3,2)，由此可得出一般結(jié)論： sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).12．(創(chuàng)新拓展)設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到 大排列的數(shù)列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…. 將數(shù)列{an}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如圖所示的三角形 數(shù)表： (1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表中的第4行、第5行各數(shù)； (2)求a100. 解(1)將前三行各數(shù)分別寫成2t＋2s的形式： 第1行：3＝21＋20； 第2行：5＝22＋20,6＝22＋21； 第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22； 由此歸納猜想： 第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23； 第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24. 經(jīng)計(jì)算可得第4行各數(shù)依次是：17,18,20,