2019-2020學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)9兩平面垂直含解析蘇教版必修

PAGE課時分層作業(yè)(九)(建議用時：60分鐘)[合格基礎練]一、選擇題1．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的序號是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯誤．]2．設α-l-β是直二面角，直線aα，直線bβ，a，b與l都不垂直，那么說法中正確的是()A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行C[當a，b都與l平行時，則a∥b，所以①④錯．如圖，若a⊥b，過a上一點P在α內(nèi)作a′⊥l，因為α⊥β，所以a′⊥β.又bβ，∴a′⊥b，∴b⊥α，與題干要求矛盾，即a與b不可能垂直．]3．下列四個命題中錯誤的是()A．過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直B．過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行C．如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行D．如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi)B[根據(jù)空間點、線、面間的位置關系，過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直，故A正確；過平面外一點有無數(shù)條直線與該平面平行，故B不正確；根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知C正確；根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)知D正確．]4．如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時∠B′AC＝60°，那么這個二面角大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°D[連結B′C，則△AB′C為等邊三角形，設AD＝a，則B′C＝AC＝eq\r(2)a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.]5．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個四棱錐的五個面中兩兩垂直的對數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2A[因為AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對．]二、填空題6．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為________．90°[∵PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小為90°.]7．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，則平面α與平面β的位置關系是________．垂直[因為PC⊥α，ABα，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.設AB與平面PCD的交點為H，連結CH，DH.因為AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.]8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為________．30°[如圖，取BD中點O，連結OC，OC1.∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6).∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角，∴tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.]三、解答題9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C[證明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1又因為DE平面A1C1F，A1C1平面A所以直線DE∥平面A1C(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1因為A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1又因為A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D又因為B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，因為直線B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C110．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C(1)求證：平面MNF⊥平面NEF；(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值．[解](1)證明：∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連結MG.由(1)得知MN⊥平面NEF，又EF平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角．設該正方體的棱長為2.在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(\r(2)×2,\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2).[等級過關練]1．若平面α⊥平面β，則下列說法正確的是()A．α中的任意一條直線都垂直于βB．α中有且只有一條直線垂直于βC．平行于α的直線垂直于βD．α內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于βD[A中α內(nèi)的直線與β可以平行，也可以相交，也可以在β內(nèi)．B中α內(nèi)有無數(shù)條直線垂直于β.C中平行于α的直線與β可以垂直、平行，也可以在β內(nèi)．]2．如果一個三棱錐的三個側面兩兩垂直，則頂點在底面內(nèi)的射影是底面三角形的()A．垂心 B．重心C．內(nèi)心 D．外心A[三側面兩兩垂直，則三條側棱也兩兩垂直，∴PC⊥平面PAB，∴AB⊥PC.作PO⊥平面ABC于點O，則AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC.同理，OB⊥AC，∴O為△ABC的垂心．]3．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α和β之外的兩條不同直線，下列四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：__________．①③④?②(或②③④?①)[由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.]4．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1∴CF⊥B1D，∴為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．[證明](1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，連結PG.∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG平面PGB