高考數(shù)學 22圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理知能演練 新人教A版選修41

【創(chuàng)新設(shè)計】屆高考數(shù)學2-2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理知能演練新人教A版選修4-1一、選擇題1．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結(jié)論中正確的有()．①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形③∠A的外角與∠C的外角互補④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1個B．2個C．3個D．4個解析由“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”可知：①相等且互補的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補兩內(nèi)角的外角也互補；④兩組對角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯誤．答案B2．如圖所示，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊相交于E和F兩點，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A為()．A．55° B．50°C．45° D．40°解析由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠A＝eq\f(1,2)(180°－∠E－∠F)＝50°.答案B3．圓內(nèi)接平行四邊形一定是()．A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形解析由于圓內(nèi)接四邊形對角互補，平行四邊形的對角相等，所以圓內(nèi)接平行四邊形的各角均為直角，故為矩形．答案D4．如圖所示，已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BA和CD的延長線交于點P，AC和BD相交于點E，則圖中共有相似三角形()．A．5對B．4對C．3對D．2對解析由圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.答案B二、填空題5．若BE和CF是△ABC的邊AC和AB邊上的高，則________四點共圓．解析由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圓．答案B、C、E、F6．若圓內(nèi)接四邊形中3個相鄰的內(nèi)角比為5∶6∶4，則這個四邊形中最大的內(nèi)角為______，最小的內(nèi)角為______．解析四邊形ABCD內(nèi)接于圓且三個相鄰內(nèi)角比為5∶6∶4，故四個角之比一定為5∶6∶4∶3，從而最大角為360°×eq\f(6,5＋6＋4＋3)＝120°，最小角為360°×eq\f(3,5＋6＋4＋3)＝60°.答案120°60°7．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝60°，則∠BAD＝________，∠BCD＝________.解析由∠A＝eq\f(1,2)∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.答案30°150°8．若兩條直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓，則實數(shù)a解析由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a答案1或－1三、解答題9．試說明矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．證明∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，∴OA＝OC＝OB＝OD.則點A、B、C、D到點O的距離相等，∴A、B、C、D這四個點在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上．10．如圖所示，AB、CD都是圓的弦，且AB∥CD，F(xiàn)為圓上一點，延長FD、AB交于點E.求證：AE·AC＝AF·DE.證明連接BD，因為AB∥CD，所以BD＝AC.因為A、B、D、F四點共圓，所以∠EBD＝∠F.因為∠E為△EBD和△EFA的公共角，所以△EBD∽△EFA.所以eq\f(DE,AE)＝eq\f(BD,AF).所以eq\f(DE,AE)＝eq\f(AC,AF)，即AE·AC＝AF·DE.11．(拓展深化)如圖，已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.(1)證明：B、D、H、E四點共圓；(2)證明：CE平分∠DEF.證明(1)在△ABC中，因為∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因為AD，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因為∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四點共圓．(2)連接BH，則BH為∠ABC的平