高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修部分幾何證明選講第1講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)理北師大版選修4-1

第1講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的長．解：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥EM∥DC,AE＝ED))?E為AD的中點，M為BC的中點．又EF∥BC?EF＝MC＝12cm所以BC＝2MC＝24cm2.在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE與AC交于點F，若△AEF的面積為6cm2，求△ABC的面積．解：在平行四邊形ABCD中，AB綊CD.因為AE∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，所以△AEF與△CDF對應(yīng)邊AE與DC上的高的比為1∶3，所以△AEF與△ABC，AE與AB邊上的高的比為1∶4.因為AE∶AB＝1∶3，所以S△AEF∶S△ABC＝1∶12，所以S△ABC＝6×12＝72(cm2)．3.如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，過A作AH∥BE.連接ED并延長，交AB于F，交AH于H.若AB＝4AF，EH＝8，求DF的長．解：因為AH∥BE，所以eq\f(HF,HE)＝eq\f(AF,AB).因為AB＝4AF，所以eq\f(HF,HE)＝eq\f(1,4).因為HE＝8，所以HF＝2.因為AH∥BE，所以eq\f(HD,DE)＝eq\f(AD,DC).因為D是AC的中點，所以eq\f(HD,DE)＝1.因為HE＝HD＋DE＝8，所以HD＝4.所以DF＝HD－HF＝4－2＝2.4.如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為AB上任意一點，CF交AD于點E.求證：AE·BF＝2DE·AF.證明：取AC的中點M，連接DM交CF于點N.在△BCF中，D是BC的中點，DN∥BF，所以DN＝eq\f(1,2)BF.因為DN∥AF，所以△AFE∽△DNE，所以eq\f(AE,AF)＝eq\f(DE,DN).又因為DN＝eq\f(1,2)BF，所以eq\f(AE,AF)＝eq\f(2DE,BF)，即AE·BF＝2DE·AF.5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P為AD上一點，CF∥AB，BP的延長線交AC、CF于E、F兩點，求證：PB2＝PE·PF.證明：如圖，連接PC.易證PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.因為CF∥AB，所以∠F＝∠ABP.從而∠F＝∠ACP.又∠EPC為△CPE與△FPC的公共角，從而△CPE∽△FPC，所以eq\f(CP,FP)＝eq\f(PE,PC).所以PC2＝PE·PF.又PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.6.已知在△ABC中，D是BC邊的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．解：(1)證明：因為DE⊥BC，D是BC的中點，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又因為AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如圖，過點A作AM⊥BC，垂足為點M.因為△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以eq\f(S△ABC,S△FCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,CD)))eq\s\up12(2)＝4.又因為S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因為S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，所以20＝eq\f(1,2)×10×AM，所以AM＝4.因為DE∥AM，所以eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).因為DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(5,