上海市寶山區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

2024年上海市寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正態(tài)分布曲線的對稱性，結(jié)合，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，因?yàn)椋傻?，所?故選：A.3.已知直線、、與平面、，下列命題正確是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)椋?，故D正確.故選：D.4.數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算，再建立方程并判斷①；求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，再拆分成兩個(gè)等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和建立方程判斷②.【詳解】對于①，由等比數(shù)列，得，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，于是對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.二、填空題：本題共12小題，共54分.5.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用兩角差的正切公式將所求式展開，將代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.7.將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為______.【答案】【解析】【分析】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡求解即可詳解】故答案為：8.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算得解.【詳解】由，，，得，所以.故答案為：29.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足為虛數(shù)單位，則______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等列出方程組求解即得.【詳解】由，得，即，則，解得.故答案為：10.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：11.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.【詳解】由集合，且，得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，且，與集合元素的互異性矛盾，所以實(shí)數(shù)的值為0.故答案為：12.在數(shù)列中，，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用遞推公式累加即可求解.【詳解】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案為：413.某公司為了了解某商品的月銷售量單位：萬件與月銷售單價(jià)單位：元件之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了個(gè)月的銷售量與銷售單價(jià)，并制作了如下對照表：月銷售單價(jià)元件月銷售量萬件由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測當(dāng)月銷售單價(jià)為元件時(shí)，月銷售量為______萬件.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸直線求出參數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】依題意，，，所以樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)月銷售單價(jià)為元件時(shí)，月銷售量約為萬件.故答案為：14.已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________．【答案】【解析】【詳解】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時(shí)，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．15.某區(qū)域的地形大致如圖，某部門負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面米；假設(shè)：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)由此，通過調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時(shí)，光斑的長軸為，米，此時(shí)在探照燈處測得點(diǎn)的俯角為如圖記，經(jīng)測量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過______次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.【答案】【解析】【分析】依題意，，，得到是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出與比較得到答案.【詳解】因?yàn)樵谥校?，，所以，，故，故是以為首?xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，而，，故.所以至少需要次才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.故答案為：.16.空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量、滿足：，，且存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是______.【答案】##【解析】【分析】由不等式有解，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，求得，又且，可得圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為2，母線長為的圓錐，從而根據(jù)錐體體積公式求得結(jié)論.【詳解】由已知得，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因?yàn)榍?，所以在方向上的?shù)量投影是，所以圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為，母線長為的圓錐，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為.故答案為：.三、解答題：本題共5小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.【答案】（1）（2）4，等邊三角形【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求；（2）由三角表面積可求得，根據(jù)均值不等式可求得的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的形狀.【小問1詳解】由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；【小問2詳解】由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.18.如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若，，圓柱的體積為，求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面，即可求解；（2）延長交圓于點(diǎn)，連接、、，易知或其補(bǔ)角即為所求的角，即可求解.【小問1詳解】證明：易知，又由平面，平面，得，而平面，則平面，而平面，故.【小問2詳解】延長交圓于點(diǎn)，連接、、，易知或其補(bǔ)角即為所求的角，由題知，解得，中，由余弦定理得，由，從而，所以異面直線與所成角的大小為.19.在課外活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投次，每投進(jìn)一次得分，否則得分已知甲每次投進(jìn)的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立；乙第一次投籃，投進(jìn)的概率為，從第二次投籃開始，若前一次投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為，若前一次沒投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為.（1）求甲投籃次得分的概率；（2）若乙投籃次得分為，求的分布和期望；（3）比較甲、乙的比賽結(jié)果.【答案】（1）（2）分布列見解析，3（3）答案見解析【解析】【分析】（1）甲3次投籃得2分即3次中1次，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式即可求解；（2）由題意得，X的所有可能取值為0，2，4，6，依次求出每種取值的概率，然后寫出分布列，求出期望；（3）分別求出甲、乙的期望和方差，然后進(jìn)行比較大小，根據(jù)大小進(jìn)行分析即可.【小問1詳解】甲投籃次得分，即只投中次，概率為；【小問2詳解】由題意知的所有可能取值為，，，，則，，隨機(jī)變量的分布為，0246期望；【小問3詳解】設(shè)甲三次投籃的得分，則，，，，可求得隨機(jī)變量的分布為，0246所以，又可算得，因?yàn)?，，所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定.20.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在雙曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線兩條漸近線夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍；（3）橢圓的長軸長為，且短軸的端點(diǎn)恰好是、兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為記、的面積分別為、求的最小值，并寫出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）利用雙曲線的漸近線方程及其方向向量，再利用向量的夾角公式計(jì)算得解.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積及向量模的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線有范圍求解即得.（3）求出橢圓方程，設(shè)出直線方程，與橢圓、雙曲線方程聯(lián)立分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再建立的關(guān)系式，利用基本不等式求解即得.【小問1詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，則它們的方向向量，設(shè)兩條直線夾角為，則，所以雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為.【小問2詳解】設(shè)，，顯然、，，，則，即，又點(diǎn)在雙曲線上，有，即，從而，解得，而點(diǎn)是雙曲線在第一象限的點(diǎn)，則，，所以.【小問3詳解】在橢圓中，，焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，直線的斜率為，，則直線的方程為，由，得，該方程的兩根分別為和，由，得，同理，于是，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，所以的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．21.函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，直線與曲線相切于點(diǎn)，求直線的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點(diǎn)由小到大依次記為，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，對任意，當(dāng)時(shí)，都有且.記，.當(dāng)時(shí)，是否存在，使得成立？若存在，求出符合題意的；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義可得，按分段，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)值的情況即可得證.（3）求出函數(shù)的周期及在上的最大值，結(jié)合的奇偶性確定的最值情況，推理導(dǎo)出矛盾得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，所以直線的方程是.【小問2詳解】由，得，則，令，得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由，知在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，又在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此時(shí)，在時(shí)有最小值，在時(shí)有最大值，因?yàn)?，所以在上沒有交點(diǎn)，即在上沒有零點(diǎn)；于是函數(shù)的零點(diǎn)滿足，因?yàn)樵趪?yán)格減，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列