2017年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2017年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，則AC的長為（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα2．（4分）下列拋物線中，過原點(diǎn)的拋物線是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣13．（4分）小明身高1.5米，在操場(chǎng)的影長為2米，同時(shí)測(cè)得教學(xué)大樓在操場(chǎng)的影長為60米，則教學(xué)大樓的高度應(yīng)為（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米4．（4分）已知非零向量，，，下列條件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥ B． C．= D．=，=5．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F．下列各式中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，聯(lián)結(jié)EF，那么△AEF和△ABC的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，則的值為．8．（4分）計(jì)算：（﹣3）﹣（+2）=．9．（4分）已知拋物線y=（k﹣1）x2+3x的開口向下，那么k的取值范圍是．10．（4分）把拋物線y=x2向右平移4個(gè)單位，所得拋物線的解析式為．11．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB的長是．12．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．13．（4分）已知點(diǎn)A（2，y1）、B（5，y2）在拋物線y=﹣x2+1上，那么y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）14．（4分）已知拋物線y=ax2+bx+c過（﹣1，1）和（5，1）兩點(diǎn)，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線．15．（4分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足為D，BE是△ABC的中線，AD與BE相交于點(diǎn)G，那么AG的長為．16．（4分）在一個(gè)距離地面5米高的平臺(tái)上測(cè)得一旗桿底部的俯角為30°，旗桿頂部的仰角為45°，則該旗桿的高度為米．（結(jié)果保留根號(hào)）17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為．18．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與AB邊上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，則點(diǎn)A、E之間的距離為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且BD=CD，設(shè)=，=．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）21．（10分）如圖，已知AC∥BD，AB和CD相交于點(diǎn)E，AC=6，BD=4，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的長；（2）如果△BEF的面積為4，求△ABC的面積．22．（10分）某大型購物商場(chǎng)在一樓和二樓之間安裝自動(dòng)扶梯AC，截面如圖所示，一樓和二樓地面平行（即AB所在的直線與CD平行），層高AD為8米，∠ACD=20°，為使得顧客乘坐自動(dòng)扶梯時(shí)不至于碰頭，A、B之間必須達(dá)到一定的距離．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自動(dòng)扶梯時(shí)不碰頭，那么A、B之間的距離至少要多少米？（精確到0.1米）（2）如果自動(dòng)扶梯改為由AE、EF、FC三段組成（如圖中虛線所示），中間段EF為平臺(tái)（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平臺(tái)EF的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）23．（12分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的中點(diǎn)，E是邊BC上的點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，且AC2=CE?CB．（1）求證：AE⊥CD；（2）連接BF，如果點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，求證：∠EBF=∠EAB．24．（12分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△DMB和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．25．（14分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．點(diǎn)E在射線BC上，點(diǎn)F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求線段BD的長；（2）設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；（3）當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，求線段BE的長．

2017年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，則AC的長為（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故選D．2．（4分）（2017?松江區(qū)一模）下列拋物線中，過原點(diǎn)的拋物線是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【解答】解：A、y=x2﹣1中，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1，不過原點(diǎn)；B、y=（x+1）2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，不過原點(diǎn)；C、y=x2+x中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，過原點(diǎn)；D、y=x2﹣x﹣1中，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1，不過原點(diǎn)；故選：C．3．（4分）（2017?松江區(qū)一模）小明身高1.5米，在操場(chǎng)的影長為2米，同時(shí)測(cè)得教學(xué)大樓在操場(chǎng)的影長為60米，則教學(xué)大樓的高度應(yīng)為（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【解答】解：∵在相同時(shí)刻，物高與影長組成的直角三角形相似，∴1.5：2=教學(xué)大樓的高度：60，解得教學(xué)大樓的高度為45米．故選A．4．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知非零向量，，，下列條件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥ B． C．= D．=，=【解答】解：A、∥，∥，則、都與平行，三個(gè)向量都互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、表示兩個(gè)向量的模的數(shù)量關(guān)系，方向不一定相同，故不一定平行，故本選項(xiàng)正確；C、=，說明兩個(gè)向量方向相反，互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=，=，則、都與平行，三個(gè)向量都互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．5．（4分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊BA延長線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F．下列各式中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AD∥BC∴=，故A正確；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴=，故B正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴=，故D正確．∴C錯(cuò)誤．故選C．6．（4分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，聯(lián)結(jié)EF，那么△AEF和△ABC的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【解答】解：∵BE、CF分別是AC、AB邊上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF與△ABC的周長比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF與△ABC的周長比=AE：AB=1：3，故選B．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知，則的值為．【解答】解：∵=，∴b=a，∴==．故答案為：．8．（4分）（2017?松江區(qū)一模）計(jì)算：（﹣3）﹣（+2）=．【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．9．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知拋物線y=（k﹣1）x2+3x的開口向下，那么k的取值范圍是k＜1．【解答】解：∵y=（k﹣1）x2+3x的開口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案為：k＜1．10．（4分）（2017?松江區(qū)一模）把拋物線y=x2向右平移4個(gè)單位，所得拋物線的解析式為y=（x﹣4）2．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將y=x2向右平移4個(gè)單位，所得函數(shù)解析式為：y=（x﹣4）2．故答案為：y=（x﹣4）2．11．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB的長是8．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8，故答案為：812．（4分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【解答】解：∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，故答案為：．13．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知點(diǎn)A（2，y1）、B（5，y2）在拋物線y=﹣x2+1上，那么y1＞y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【解答】解：當(dāng)x=2時(shí)，y1=﹣x2+1=﹣3；當(dāng)x=5時(shí)，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．故答案為：＞14．（4分）（2017?松江區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+bx+c過（﹣1，1）和（5，1）兩點(diǎn)，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c過（﹣1，1）和（5，1）兩點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為x==2，故答案為：x=2．15．（4分）（2017?松江區(qū)一模）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足為D，BE是△ABC的中線，AD與BE相交于點(diǎn)G，那么AG的長為2．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中線BE與高AD相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AG=3×=2，故答案為：216．（4分）（2017?松江區(qū)一模）在一個(gè)距離地面5米高的平臺(tái)上測(cè)得一旗桿底部的俯角為30°，旗桿頂部的仰角為45°，則該旗桿的高度為5+5米．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：作CF⊥AB于點(diǎn)F．根據(jù)題意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．則AB=AF+BF=5+5米故答案為：5+5．17．（4分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為．【解答】解：設(shè)CE=x，連接AE，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．故答案為：．18．（4分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與AB邊上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，則點(diǎn)A、E之間的距離為4．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB?cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與AB邊上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC?cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．故答案為4．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2017?松江區(qū)一模）計(jì)算：．【解答】解：原式====．20．（10分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且BD=CD，設(shè)=，=．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）【解答】解：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如圖，所以，向量、即為所求的分向量．21．（10分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，已知AC∥BD，AB和CD相交于點(diǎn)E，AC=6，BD=4，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的長；（2）如果△BEF的面積為4，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．22．（10分）（2017?松江區(qū)一模）某大型購物商場(chǎng)在一樓和二樓之間安裝自動(dòng)扶梯AC，截面如圖所示，一樓和二樓地面平行（即AB所在的直線與CD平行），層高AD為8米，∠ACD=20°，為使得顧客乘坐自動(dòng)扶梯時(shí)不至于碰頭，A、B之間必須達(dá)到一定的距離．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自動(dòng)扶梯時(shí)不碰頭，那么A、B之間的距離至少要多少米？（精確到0.1米）（2）如果自動(dòng)扶梯改為由AE、EF、FC三段組成（如圖中虛線所示），中間段EF為平臺(tái)（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平臺(tái)EF的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【解答】解：（1）連接AB，作BG⊥AB交AC于點(diǎn)G，則∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之間的距離至少要6.3米．（2）設(shè)直線EF交AD于點(diǎn)P，作CQ⊥EF于點(diǎn)Q，∵AE和FC的坡度為1：2，∴，設(shè)AP=x，則PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平臺(tái)EF的長度約為6.2米．23．（12分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的中點(diǎn)，E是邊BC上的點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，且AC2=CE?CB．（1）求證：AE⊥CD；（2）連接BF，如果點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，求證：∠EBF=∠EAB．【解答】證明：（1）∵AC2=CE?CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．24．（12分）（2017?松江區(qū)一模）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△DMB和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，3）∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），（2）由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)E與點(diǎn)C（0，3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴點(diǎn)E（2，3），過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)設(shè)M（1，m），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，則P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均為銳角，∴∠CBE=∠BDP，∵