2022-2023學(xué)年江蘇省南京師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南京師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）復(fù)數(shù)3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）設(shè)集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）?0}，B＝{x|lgx＞0}，則A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）3．（5分）設(shè)某中學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，n），用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?=0.84x﹣86.71．若該中學(xué)女生的平均身高為160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg4．（5分）設(shè)a→與b→均為單位向量，它們的夾角為θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)5．（5分）設(shè)a=3A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）現(xiàn)有5名同學(xué)去3個(gè)養(yǎng)老院參加公益活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)養(yǎng)老院，每個(gè)養(yǎng)老院至少安排1名同學(xué)，則不同安排方案的種數(shù)為（）A．25 B．40 C．150 D．2407．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，則關(guān)于t的不等式f（t）+f（2t+1）?0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）8．（5分）設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，N是l與x軸的交點(diǎn)，M（3，0）．過此拋物線上一點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足記為點(diǎn)Q，PF與MQ相交于點(diǎn)T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）甲、乙兩地四月7日至14日的最高氣溫如圖所示，下列說法中正確的是（）A．乙地在這8日內(nèi)最高氣溫的極差為8°C B．甲、乙兩地12日溫差最大 C．甲地這8日平均氣溫為20°C D．甲地的75百分位數(shù)是21.5°C（多選）10．（5分）已知{an}為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a2=14，a5=2．記Sn是數(shù)列{an}的前nA．?dāng)?shù)列{an}的公比為2 B．S2nC．?dāng)?shù)列{log2an}為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和為n11．（5分）若函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，則f（xA．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有最小值，無最大值 D．有最大值，無最小值（多選）12．（5分）如圖，圓錐VAB內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，球O與母線VA，VB分別切于點(diǎn)C，D．若△VAB是邊長為2的等邊三角形，O1為圓錐底面圓的中心，MN為圓O1的一條直徑（MN與AB不重合），則下列說法正確的是（）A．球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為2：3 B．平面CMN截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線 C．四面體CDMN的體積的取值范圍是(0，3D．若P為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PM+PN最大值為2第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小顧5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，則tanx的值為14．（5分）(x-215．（5分）現(xiàn)有兩個(gè)罐子，1號(hào)罐子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，2號(hào)罐子中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黑球．現(xiàn)先從1號(hào)罐子中隨機(jī)取出一個(gè)球放入2號(hào)罐子，再從2號(hào)罐子中取一個(gè)球，則從2號(hào)罐子中取出的球是紅球的概率為．16．（5分）若存在實(shí)數(shù)a，b使得ea+be?a+lnb+3，則a+b的值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜118．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周長的最大值．19．（12分）“總要來趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多萬，居全省第一．南京的旅游資源十分豐富，既有中山陵、夫子廟、玄武湖、南京博物院等傳統(tǒng)景區(qū)，又有科巷、三七八巷、德基廣場等新晉網(wǎng)紅景點(diǎn)．（1）如果隨機(jī)訪問了50名外地游客，所得結(jié)果如下表所示：首選傳統(tǒng)景區(qū)首選網(wǎng)紅景點(diǎn)總計(jì)男性2030女性1220試判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否首選網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)；（2）根據(jù)互聯(lián)網(wǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，外地游客來南京旅游首選傳統(tǒng)景區(qū)的概率是0.6，首選網(wǎng)紅景點(diǎn)的概率是0.4．如果隨機(jī)訪問3名外地游客，他們中首選網(wǎng)紅景點(diǎn)的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2?k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.82820．（12分）如圖，在四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）證明：BD⊥CC1；（2）點(diǎn)M是棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．21．（12分）已知雙曲線C：x2a（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)P作y軸的垂線，交直線l：x＝1于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)A，B為雙曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，討論f（x）的單調(diào)性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）滿足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求

2022-2023學(xué)年江蘇省南京師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）復(fù)數(shù)3+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：3+ii=1﹣3故選：D．2．（5分）設(shè)集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）?0}，B＝{x|lgx＞0}，則A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞1}，A∪B＝（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）．故選：C．3．（5分）設(shè)某中學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，n），用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?=0.84x﹣86.71．若該中學(xué)女生的平均身高為160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg【解答】解：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y?=0.84令x＝160得，y＝0.84×160﹣86.71＝47.69，所以該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值是47.69kg．故選：A．4．（5分）設(shè)a→與b→均為單位向量，它們的夾角為θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3)【解答】解：a→與b→均為單位向量，其夾角為θ，若|則（a→+b即有a→2+b→2+2a→?即為cosθ＞-1由0≤θ≤π，可得0≤x＜2π故選：B．5．（5分）設(shè)a=3A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵log85=lo∴c＜a＜b．故選：D．6．（5分）現(xiàn)有5名同學(xué)去3個(gè)養(yǎng)老院參加公益活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)養(yǎng)老院，每個(gè)養(yǎng)老院至少安排1名同學(xué)，則不同安排方案的種數(shù)為（）A．25 B．40 C．150 D．240【解答】解：5名同學(xué)去3個(gè)養(yǎng)老院參加公益活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)養(yǎng)老院，每個(gè)養(yǎng)老院至少安排1名同學(xué)，可分為1，1，3和1，2，2兩種情況：若按1，1，3分組，共有C51C41C3若按1，2，2分組，共有C51C42C2因此，不同安排方案的種數(shù)為60+90＝150種．故選：C．7．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，則關(guān)于t的不等式f（t）+f（2t+1）?0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）【解答】解：∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx≥2﹣2cosx≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（﹣x）＝﹣f（x），∴由f（t）+f（2t+1）≥0得，f（t）≥f（﹣2t﹣1），∴t≥﹣2t﹣1，解得t≥-1∴原不等式的解集為[-1故選：D．8．（5分）設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，N是l與x軸的交點(diǎn)，M（3，0）．過此拋物線上一點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足記為點(diǎn)Q，PF與MQ相交于點(diǎn)T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3【解答】解：由題意，作圖如下：由TN→+TP→=又因?yàn)镕（1，0）為M（3，0），N（﹣1，0）的中點(diǎn)，所以TM→+TN→=所以T為PF的三等分點(diǎn)，且TP＝2TF，又因?yàn)镻Q∥MF，所以△TMF與△TQP相似，且MFQP所以QP＝2MF＝4，不妨設(shè)P（x0，y0），且在第一象限，QP=x0+p2=因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在拋物線上，所以y0＝23，所以根據(jù)相似關(guān)系可得yT=1故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）甲、乙兩地四月7日至14日的最高氣溫如圖所示，下列說法中正確的是（）A．乙地在這8日內(nèi)最高氣溫的極差為8°C B．甲、乙兩地12日溫差最大 C．甲地這8日平均氣溫為20°C D．甲地的75百分位數(shù)是21.5°C【解答】解：A：乙地在這8日內(nèi)最高氣溫的極差為23°C﹣16°C＝7°C，故A錯(cuò)誤；B：甲地12日氣溫最高，乙地12日氣溫最低，所以甲乙兩地12日的溫差最大，故B正確；C：甲地這8日平均氣溫為19+17+18+21+22+24+19+208=20°C，故D：甲地這8日的氣溫從小到大排列為：17，18，19，19，20，21，22，24，則8×75%＝6，所以甲地的75百分位數(shù)是21+222=21.5°C，故故選：BCD．（多選）10．（5分）已知{an}為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a2=14，a5=2．記Sn是數(shù)列{an}的前nA．?dāng)?shù)列{an}的公比為2 B．S2nC．?dāng)?shù)列{log2an}為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和為n【解答】解：對于A：已知數(shù)列{an}為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a2所以a5=a2q對于B：由條件得：an=2×2故S2n=18×(22n對于C：由于log2an+1對于D：log2an=log22n-4=n-4故選：ABC．11．（5分）若函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，則f（xA．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有最小值，無最大值 D．有最大值，無最小值【解答】解：因?yàn)棣兀?，0＜x＜π2，所以0＜ωx又因?yàn)?＜φ＜π所以0＜ωx+φ＜(1+ω)π令t＝ωx+φ，則0＜t＜(1+ω)π因?yàn)閥＝cost在（2kπ，2kπ+π），k∈Z上單調(diào)遞減，所以當(dāng)(1+ω)π2≤π，即0＜y＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上單調(diào)遞減，故B因?yàn)閥＝cost在（0，(1+ω)π2即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π2）上不可能單調(diào)遞增，故A當(dāng)(1+ω)π2＞π時(shí)，函數(shù)有最小值﹣1，故當(dāng)(1+ω)π2＞2π時(shí)，函數(shù)有最大值1，故故選：B．（多選）12．（5分）如圖，圓錐VAB內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，球O與母線VA，VB分別切于點(diǎn)C，D．若△VAB是邊長為2的等邊三角形，O1為圓錐底面圓的中心，MN為圓O1的一條直徑（MN與AB不重合），則下列說法正確的是（）A．球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為2：3 B．平面CMN截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線 C．四面體CDMN的體積的取值范圍是(0，3D．若P為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PM+PN最大值為2【解答】解：依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為E，連接VO1，如圖，正△VAB內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O在線段VO1上，VO1=3則球O的半徑OO1=33，所以球O的表面積S＝4πr2＝4π圓錐的側(cè)面積S′=12×2π×2＝2π由題意可得點(diǎn)C，D是邊AV，BV的中點(diǎn)，∴CO1∥VB，∵CO1?平面CMN，VB?平面CMN，∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線，故B正確；由題意可得四面體CDMN被平面VAB截成體積相等的兩部分，設(shè)M到平面VAB的距離為d（0＜d≤1），即VCDMN＝2VM-CDO1=2×13S△CO1D×由題意可得EP=12O1B=12，EO1=32，∴O1則有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，由均值不等式得：PM+PN2≤PM2+PN當(dāng)且僅當(dāng)PM＝PN時(shí)取“＝”，故D正確．故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小顧5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，則tanx的值為1【解答】解：∵已知tan（x+π4）＝2，∴tanx+11-tanx=故答案為：1314．（5分）(x-2【解答】解：(x-令3-3r2=0故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T3＝（﹣2）2C62＝60故答案為60．15．（5分）現(xiàn)有兩個(gè)罐子，1號(hào)罐子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，2號(hào)罐子中裝有3個(gè)紅球、1個(gè)黑球．現(xiàn)先從1號(hào)罐子中隨機(jī)取出一個(gè)球放入2號(hào)罐子，再從2號(hào)罐子中取一個(gè)球，則從2號(hào)罐子中取出的球是紅球的概率為1115【解答】解：設(shè)事件A表示“從2號(hào)罐子中取出的球是紅球”，事件B1表示“從1號(hào)罐子中取出的是紅球”，事件B2表示“從1號(hào)罐子中取出的是黑球”，則P（B1）=23，P（B2）=13，P（A|B1）=45，P（A所以P（A）＝P（A|B1）?P（B1）+P（A|B2）?，P（B2）=4故答案為：111516．（5分）若存在實(shí)數(shù)a，b使得ea+be?a+lnb+3，則a+b的值為1e【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，則f'（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0得x＝0，由f'（x）＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值，即f（x）≥f（0）＝0，∴ex≥x+1在x∈R上恒成立，∴ea≥a+1①，eln（be）≥ln（be）+1＝lnb+2②，由①+②得ea+be≥a+lnb+3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，ln（be）＝0，即a＝0，b=1又存在實(shí)數(shù)a，b使得ea+be?a+lnb+3，故當(dāng)a＝0，b=1e時(shí)使得ea+be?a+lnb+3成立，此時(shí)a+b故答案為：1e四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜1【解答】解：（1）因?yàn)?an+1an+an+1﹣an＝0，a1＝1，所以an≠0，所以1a所以數(shù)列{1所以1a所以an故a2=1證明：（2）由（1）得：a所以Sn＝a1a2+a2a3+?+an+1an=1所以Sn18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周長的最大值．【解答】解：（1）由cosBcosC結(jié)合正弦定理可得cosBcosC整理得sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosC，所以sin（B+C）＝2sinAcosC，因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinA＝2sinAcosC，因?yàn)锳∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosC=1又因?yàn)镃∈（0，π），所以C=π又bsinB=c（2）由余弦定理，得cosC=a所以a2+b2＝ab+c2＝ab+3，則(a+b)所以a+b?23，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=所以△ABC周長a+b+c的最大值為3319．（12分）“總要來趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多萬，居全省第一．南京的旅游資源十分豐富，既有中山陵、夫子廟、玄武湖、南京博物院等傳統(tǒng)景區(qū)，又有科巷、三七八巷、德基廣場等新晉網(wǎng)紅景點(diǎn)．（1）如果隨機(jī)訪問了50名外地游客，所得結(jié)果如下表所示：首選傳統(tǒng)景區(qū)首選網(wǎng)紅景點(diǎn)總計(jì)男性2030女性1220試判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否首選網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)；（2）根據(jù)互聯(lián)網(wǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，外地游客來南京旅游首選傳統(tǒng)景區(qū)的概率是0.6，首選網(wǎng)紅景點(diǎn)的概率是0.4．如果隨機(jī)訪問3名外地游客，他們中首選網(wǎng)紅景點(diǎn)的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+P（χ2?k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828【解答】解：（1）假設(shè)H0：是否選擇網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別沒有關(guān)系．由題意，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：首選傳統(tǒng)景區(qū)首選網(wǎng)紅景區(qū)合計(jì)男性201030女性81220合計(jì)282250根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式可知，χ2因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2?2.706的概率約為0.1，所以有90%的把握認(rèn)為，是否首選網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)．（2）由題意知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（3，0.4）．P(X=k)=CP（X＝0）＝0.216，P（X＝1）＝0.432，P（X＝2）＝0.288，P（X＝3）＝0.064，故X的分布列為：X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的期望值E（X）＝np＝3×0.4＝1.2．20．（12分）如圖，在四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）證明：BD⊥CC1；（2）點(diǎn)M是棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】解：（1）證明：四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，CC1延長后交于一點(diǎn)，故A，C，C1，A1共面，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故AA1⊥BD，連接AC，因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為菱形，故AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，故BD⊥平面ACC1A1，因?yàn)镃C1?平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；（2）過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)N，以AN→方向作為x軸，以AD→，方向?yàn)閥軸，以AA不妨設(shè)A1B1＝1，則AB＝2AA1＝2A1B1＝2，∵∠ABC＝60°，∴BN=1，AN=3∵點(diǎn)M是棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，∴BM=4則A(0，0，0)，D則AD記平面AMD1的法向量為n→=(x，y，z)，則即y+z=03x+13y=0，令y平面ADD1的法向量可取為m→由圖知二面角M﹣AD1﹣D為銳二面角，故二面角M﹣AD1﹣D的余弦值為|cos?n21．（12分）已知雙曲線C：x2a（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)P作y軸的垂線，交直線l：x＝1于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)A，B為雙曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2＝2，求S△MAB【解答】解：（1）∵離心率為2，∴ca=2，即c＝2a，則a2+b2＝c2＝4a即b2＝3a2，則雙曲線方程為x∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（4，6），∴16a2-36∴C的方程為x2（2）由題意，點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，6），點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，6），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．法一：①若直線AB斜率存在，設(shè)直線AB方程為y＝kx+m，x24-y212=1y=kx+m，消去y可得（3﹣k2）則3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，且x1k1整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，即(m-4k+2)?2km化簡得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，因?yàn)橹本€AB不過點(diǎn)P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，所以直線AB的方程為y＝k（x+2）+6，恒過定點(diǎn)Q（﹣2，6）．②若直線AB斜率不存在，則x1＝x2，y1+y2＝0．則k1解得x1＝x2＝﹣2，所以直線AB的方程為x＝﹣2，過定點(diǎn)Q（﹣2，6）．綜上，直線AB恒過定點(diǎn)Q（﹣2，6）．法二：∵直線AB不過點(diǎn)P（4，6），∴可設(shè)直線AB方程為m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．由x24-即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）]?[m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，等式左右兩邊同時(shí)除以（x﹣4）2得(12n+1)(Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，k1+k所以直線AB方程為-16?(x-4)+n(y-6)=1設(shè)點(diǎn)M到直線AB的距離為d1，點(diǎn)N到直線AB的距離為d2，S△MAB22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，討論f（x）的單調(diào)性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）滿足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求【解答】解；（1）已知f（x）＝ex+ax2﹣bx+2，函數(shù)定義域?yàn)镽，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝ex﹣bx+2，可得f′（x）＝ex﹣b，當(dāng)b≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)b＞0時(shí)，當(dāng)x＜lnb時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lnb時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無減區(qū)間；當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lnb，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，lnb）；（2）當(dāng)a=12時(shí)，因?yàn)閒（x1）＝f（x2），所以ex又x1+x2＝2，不妨設(shè)x1＜1＜x2，此時(shí)ex不妨設(shè)h（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝ex﹣e2﹣x+（2﹣2b）（x﹣1），函數(shù)定義域?yàn)椋ī仭蓿?），則問題轉(zhuǎn)化為h（x）＝0在（﹣∞，1）上有解，因?yàn)閔′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝ex+e2﹣x﹣2b+2＞2e﹣2b+2，①當(dāng)2e﹣2b+2≥0，即b≤e+1時(shí)，h′（x）≥0恒成立，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）＜h（1）＝0，此時(shí)h（x）＝0在（﹣∞，1）上無解，不符題意，舍去；②當(dāng)2e﹣2b+2＜0，即b＞e+1時(shí)，因?yàn)閔″（x）＝ex﹣e2﹣x在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，所以h″（x）＜h″（1）＝0，則h′（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減．又h′（2﹣ln2b）＝e2﹣ln2b+2＞0，h′（1）＝2e﹣2b+2＜0，所以存在x0∈（2﹣ln2b，1），使得h′（x0）＝0，此時(shí)h（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1）上單調(diào)遞減，不妨令t=(4-2b)-2b不妨設(shè)g（x）＝ex-12可得g′（x）＝ex﹣x，而g″（x）＝ex﹣1≥0恒成立，所以g′（x）≥g′（0）＝1，則g（x）≥g（0）＝1，即ex＞12x2在因?yàn)閠＜1，所以2﹣t＞0，可得e2-t此時(shí)h（t）＝et+12t2-bt﹣e2﹣t-12＝et﹣e2﹣t+（2﹣2b）（t﹣1）＜4﹣e2﹣t+（2﹣2b）（t﹣1）＜4-1因?yàn)閔（t）＜0，h（x0）＞0，h（1）＝0，且h（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1）上單調(diào)遞減，所以必有t＜x0，存在t0∈（t，x0），F(xiàn)（t0）＝0，符合題意，綜上，b＞e+1，故b的取值范圍為（e+1，+∞）．2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N??UM，則（）A．N?M B．M??UN C．?UM＝?UN D．M?N2．（5分）已知a，b∈R，則“l(fā)og2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）曲線y＝e﹣x+1在點(diǎn)（0，2）處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為（）A．13 B．23 C．14．（5分）為全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，某校為數(shù)學(xué)興趣小組購買了一些數(shù)學(xué)特色專著：《數(shù)學(xué)的意義》《現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)問題》，其數(shù)量分別為x，y，z（單位：本）．現(xiàn)了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，則這些數(shù)學(xué)專著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本5．（5分）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）從x到x+Δx的平均變化率為f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）6．（5分）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長．已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模y（單位：千萬元）與年份代碼x的關(guān)系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828?）擬合，設(shè)z＝lny，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回歸方程z?=0.52x+1.44，則A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.47．（5分）已知A，B為某隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，A為事件A的對立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．148．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f'（x）的定義域均為R，則下列結(jié)論正確的有（）A．若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）+2f（﹣x）為偶函數(shù) B．若f（x）+2f（﹣x）為奇函數(shù)，則f（x）為奇函數(shù) C．若f（x）為奇函數(shù)，則f'（x）為偶函數(shù) D．若f（x）為偶函數(shù)，則f'（x）為偶函數(shù)（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．當(dāng)a=12時(shí)，f（x）在x=B．當(dāng)a=12時(shí)，f（xC．若f（x）≤0恒成立，則0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，則a≥1（多選）12．（5分）現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎(jiǎng)券，其中只有2張有獎(jiǎng)，若將抽獎(jiǎng)券隨機(jī)地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（）A．2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率是14B．2張有獎(jiǎng)券分給不同的人的概率是911C．2張有獎(jiǎng)券都沒有分給甲和乙的概率為311D．2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)14．（5分）某新聞媒體舉辦主持人大賽，分為四個(gè)比賽項(xiàng)目：“新聞六十秒”“挑戰(zhàn)會(huì)客廳”“趣味繞口令”“創(chuàng)意百分百”，每個(gè)項(xiàng)目獨(dú)立打分，成績均服從正態(tài)分布，成績的均值及標(biāo)準(zhǔn)差如下表．小星在四個(gè)項(xiàng)目中的成績均為81分，則小星同學(xué)在第個(gè)項(xiàng)目中的成績排名最靠后，在第個(gè)項(xiàng)目中的成績排名最靠前．（填序號(hào)）序號(hào)一二三四項(xiàng)目新聞六十秒挑戰(zhàn)會(huì)客廳趣味繞口令創(chuàng)意百分百μ71758185σ4.92.13.64.315．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，則x2+y16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex對任意x∈R四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的極小值；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．（12分）設(shè)（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）當(dāng)n＝9時(shí)，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展開式中，若存在連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為3：4：5，求n的值．19．（12分）已知某校高一有450名學(xué)生（其中男生250名，女生200名）．為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的校本課程A，B，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)．學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的選課情況，得到如下的2×2列聯(lián)表．選擇課程A選擇課程B總計(jì)男生150女生50總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）從所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，抽出10名男生，再從這10名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程A的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù)f（x）滿足f（2+x）?f（2﹣x）＝4．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范圍．21．（12分）十番棋也稱十局棋，是圍棋比賽的一種形式．對弈雙方下十局棋，先勝六局者獲勝．這種形式的比賽因?qū)州^多，偶然性較小，在中國明清時(shí)期和日本都流行過．在古代比較有名的十番棋有清代黃龍士和徐星友的“血淚十局”以及范西屏和施襄夏的“當(dāng)湖十局”．已知甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每局比賽甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為12（1）若甲、乙兩人進(jìn)行十番棋比賽，求甲至多經(jīng)過七局比賽獲勝的概率；（2）甲、乙兩人約定新賽制如下：對弈雙方需賽滿2n（n∈N*）局，結(jié)束后統(tǒng)計(jì)雙方的獲勝局?jǐn)?shù)，如果一方獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一方獲勝的局?jǐn)?shù)，則該方贏得比賽．研究表明：n越大，某一方贏得比賽的概率越大．請從數(shù)學(xué)角度證明上述觀點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)f(x)=12ax2-lnx-1與函數(shù)g（x（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求不等式ex

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N??UM，則（）A．N?M B．M??UN C．?UM＝?UN D．M?N【解答】解：∵M(jìn)，N是全集U的非空子集，且N??UM，∴M∩N＝?，∴M??UN．故選：B．2．（5分）已知a，b∈R，則“l(fā)og2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若log2a＞log2b，則a＞b＞0，此時(shí)充分性成立，若0＞a＞b，則log2a＞log2b無意義，則必要性不成立，故“l(fā)og2a＞log2b”是“a＞b”成立的充分不必要條件，故選：A．3．（5分）曲線y＝e﹣x+1在點(diǎn)（0，2）處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為（）A．13 B．23 C．1【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′＝﹣e﹣x，∴y′|x＝0＝﹣1，可得曲線y＝e﹣x+1在點(diǎn)（0，2）處的切線方程為y＝﹣x+2．如圖：A（2，0），聯(lián)立y=xy=-x+2，解得B∴曲線y＝e﹣x+1在點(diǎn)（0，2）處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為12故選：C．4．（5分）為全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，某校為數(shù)學(xué)興趣小組購買了一些數(shù)學(xué)特色專著：《數(shù)學(xué)的意義》《現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)問題》，其數(shù)量分別為x，y，z（單位：本）．現(xiàn)了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，則這些數(shù)學(xué)專著至少有（）A．9本 B．10本 C．11本 D．12本【解答】解：因?yàn)閤，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，不妨先令z＝1，則4z＝4＞x+y，此時(shí)由于ymin＝2，xmin＝3，（x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；令z＝2，則4z＝8＞x+y，此時(shí)ymin＝3，xmin＝4，（x+y）min＝7＜8，滿足要求，故這些數(shù)學(xué)專著至少有2+3+4＝9本．故選：A．5．（5分）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）從x到x+Δx的平均變化率為f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+A．（0，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得：f′（x）=Δx→0limf(x+Δx)-f(x)Δx=令f′（x）＞0，解得x＞1，故f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞）．故選：C．6．（5分）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長．已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模y（單位：千萬元）與年份代碼x的關(guān)系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828?）擬合，設(shè)z＝lny，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64已知回歸方程z?=0.52x+1.44，則A．1.96 B．2 C．6.9 D．7.4【解答】解：由題意可得，x=將x=3代入z?=0.52x+1.44可得z所以n＝2，又因?yàn)閦＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4．故選：D．7．（5分）已知A，B為某隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，A為事件A的對立事件．若P(A)=23，P(B)=58，A．38 B．58 C．14【解答】解：由概率性質(zhì)可知，P（AB）+P（AB）＝P（B即12+P(AB)=58，∴由P（A）=23，可得P（A）所以P（B|A）=P(故選：A．8．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：設(shè)f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）min＝f（1）＝0，則f（x）≥0，即ex≥ex，因?yàn)閏﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，由5b因?yàn)閒(x)=(35)而a＝1.110＝（1+0.1）10＞C100（0.1）所以f（a）＜f（2）＝（35）2+（45）即5b5a＜1，∴5b＜5a，∴綜上可得：b＜a＜c．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(8，1A．E（X）＝4 B．D（X）＝3 C．P(X=2)=732 D．P（X＝3）＝P（【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(8，1所以E（X）=8×12=4，D（X）=8×12P（X＝2）=C82P（X＝3）=C83（12）8=C8故選：AD．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f'（x）的定義域均為R，則下列結(jié)論正確的有（）A．若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）+2f（﹣x）為偶函數(shù) B．若f（x）+2f（﹣x）為奇函數(shù)，則f（x）為奇函數(shù) C．若f（x）為奇函數(shù)，則f'（x）為偶函數(shù) D．若f（x）為偶函數(shù)，則f'（x）為偶函數(shù)【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，設(shè)g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若f（x）為奇函數(shù)，則g（x）＝f（x）+2f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若g（x）為奇函數(shù)，即f（﹣x）+2f（x）+f（x）+2f（﹣x）＝3[f（x）+f（﹣x）]＝0，則有f（﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，B正確；對于C，若f（x）為奇函數(shù)，即f（﹣x）＝﹣f（x），兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f（x），則函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，C正確；對于D，若f（x）為偶函數(shù)，即f（﹣x）＝f（x），兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f′（x）為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：BC．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，πA．當(dāng)a=12時(shí)，f（x）在x=B．當(dāng)a=12時(shí)，f（xC．若f（x）≤0恒成立，則0＜a≤2D．若f（x）≥0恒成立，則a≥1【解答】解：a=12時(shí)，f（x）=12x﹣sinx，x則f′（x）=12-令f′（x）＞0，解得：π3＜x令f′（x）＜0，解得：0≤x＜π故f（x）在[0，π3）遞減，在（π3，故f（x）在x=π3處取得極小值，故f（x）min＝f（π3）=16（π而f（0）＝0，f（π2）＝π故f（x）有且只有2個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若f（x）≤0恒成立，則ax≤sinx，x＝0時(shí)，成立，x∈（0，π2]時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為a≤令g（x）=sinxx，x∈（0，則g′（x）=xcosx-sinx令h（x）＝xcosx﹣sinx，x∈（0，π2則h′（x）＝﹣xsinx＜0，故h（x）在（0，π2故h（x）＜h（0）＝0，故g′（x）＜0，g（x）遞減，x→0時(shí)，x→0limx=π2時(shí)，g（π2∴2π≤g（x）＜1，故a≤2若f（x）≥0恒成立，則a≥[g（x）]max，而g（x）＜1，故a≥1，故D正確．故選：AD．（多選）12．（5分）現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎(jiǎng)券，其中只有2張有獎(jiǎng)，若將抽獎(jiǎng)券隨機(jī)地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（）A．2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率是14B．2張有獎(jiǎng)券分給不同的人的概率是911C．2張有獎(jiǎng)券都沒有分給甲和乙的概率為311D．2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率為3【解答】解：選項(xiàng)A，2張有獎(jiǎng)券分給同一個(gè)人的概率P=C41選項(xiàng)B，2張有獎(jiǎng)券分給不同的人與2張有獎(jiǎng)券分給同一人是互斥事件，因此概率P＝1-C41選項(xiàng)C，分兩種情況討論：（1）2張都分給丙或?。焊怕蔖=C（2）丙丁各一張：概率P=C因此，2張都沒有分給甲和乙的概率為111+3選項(xiàng)D，2張有獎(jiǎng)券分給甲和乙各一張的概率P=C21故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知(x-2x)【解答】解：由于已(x-2x)n(n∈N*)故n-3r2=0有解，故n＝3r，且故答案為：6（答案不唯一）．14．（5分）某新聞媒體舉辦主持人大賽，分為四個(gè)比賽項(xiàng)目：“新聞六十秒”“挑戰(zhàn)會(huì)客廳”“趣味繞口令”“創(chuàng)意百分百”，每個(gè)項(xiàng)目獨(dú)立打分，成績均服從正態(tài)分布，成績的均值及標(biāo)準(zhǔn)差如下表．小星在四個(gè)項(xiàng)目中的成績均為81分，則小星同學(xué)在第四個(gè)項(xiàng)目中的成績排名最靠后，在第二個(gè)項(xiàng)目中的成績排名最靠前．（填序號(hào)）序號(hào)一二三四項(xiàng)目新聞六十秒挑戰(zhàn)會(huì)客廳趣味繞口令創(chuàng)意百分百μ71758185σ4.92.13.64.3【解答】解：因?yàn)橹挥械谒膫€(gè)項(xiàng)目的成績小于均值，所以第四個(gè)項(xiàng)目的成績排名最靠后；第一、二兩個(gè)項(xiàng)目的成績大于均值，第三個(gè)項(xiàng)目成績等于均值，所以排名靠前的為第一或第二個(gè)項(xiàng)目，因?yàn)榈诙€(gè)項(xiàng)目的標(biāo)準(zhǔn)差小于項(xiàng)目一的標(biāo)準(zhǔn)差，所以項(xiàng)目二的數(shù)據(jù)更集中，小星在項(xiàng)目二的排名更靠前．故答案為：四；二．15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，則x2+y2+x【解答】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，2x+y＝1，則x2+y當(dāng)且僅當(dāng)3xy=yx且2x+y＝1，即x＝2-3故答案為：23+16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex對任意x∈R【解答】解：要求a+b的最大值，即求當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝ax+b的最大值，已知不等式-14x2≤ax+b≤可得當(dāng)直線y＝ax+b為函數(shù)f（x）=-14x2和g（x）＝e所以ax+b+14x此時(shí)Δ＝a2﹣b＝0，解得b＝a2，此時(shí)直線y＝ax+a2與函數(shù)g（x）＝ex相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為（x0，ex因?yàn)間′（x）＝ex，所以g′（x0）=e又g（x0）=e所以函數(shù)g（x）在點(diǎn)（x0，exy-ex0=ex即y=ex0x﹣x此時(shí)ex解得a=1x所以公切線方程為y＝x+1，則a+b的最大值為2．故答案為：2．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2+6．（1）求f（x）的極小值；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+6，∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，故f（x）極小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）遞增，在（0，1]遞減，故f（x）最大值＝f（x）極大值＝f（0）＝6，而f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故f（x）最小值＝2．18．（12分）設(shè)（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．（1）當(dāng)n＝9時(shí)，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展開式中，若存在連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為3：4：5，求n的值．【解答】解：（1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．當(dāng)n＝9時(shí)，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，∴a1+a2+…+a9＝29＝511．（2）在展開式中，若存在連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為3：4：5，不妨假設(shè)Cnr-1：Cnr：Cn則有CnrCnr-1=n!Cnr+1Cnr=n!聯(lián)立①②，解得n＝62，r＝27．即當(dāng)n＝62時(shí)，存在連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為C6226：C6219．（12分）已知某校高一有450名學(xué)生（其中男生250名，女生200名）．為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的校本課程A，B，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)．學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的選課情況，得到如下的2×2列聯(lián)表．選擇課程A選擇課程B總計(jì)男生150女生50總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）從所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，抽出10名男生，再從這10名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程A的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.828【解答】解：（1）由題意，2×2列聯(lián)表為：選擇課程A選擇課程B總計(jì)男生100150250女生50150200總計(jì)150300450提出零假設(shè)H0：即選擇課程與性別無關(guān)，則由x2=450×(100×150-150×50)2150×300×250×200即有99.9%的把握認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān)．（2）從250名男生中用分層抽樣抽10名男生，抽取比例為125，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，這10人中有4人選擇課程A，有6人選擇課程B從這10人中再抽取3人，則抽到選擇課程A的人數(shù)X可能為0，1，2，3，設(shè)事件X發(fā)生的概率為P（X），則P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=C所以X的分布列為：X0123P1612310130E（X）=0