7.1　圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與位似

第頁第七章圖形變換7.1圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與位似學(xué)用P77[過關(guān)演練](30分鐘80分)1.下列圖形中,是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形的是(A)【解析】A是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形;B是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形;C和D既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.2.小瑩和小博士下棋,小瑩執(zhí)圓子,小博士執(zhí)方子.如圖,棋盤中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小瑩將第4枚圓子放入棋盤后,所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形.她放的位置是(B)A.(-2,1) B.(-1,1)C.(1,-2) D.(-1,-2)【解析】因?yàn)槠灞P中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示,故可知最右邊的圓子為坐標(biāo)原點(diǎn),分別畫出四個(gè)選項(xiàng)的圖形,可知B項(xiàng)正確.3.(2019·四川內(nèi)江)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直線AB交y軸于點(diǎn)P,若△ABC與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱,則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(A)A.(-4,-5) B.(-5,-4)C.(-3,-4) D.(-4,-3)【解析】∵點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴A(4,3),設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,則3=4k+b,1=2k+b,解得k=1,b=-1,∴直線AB解析式為y=x-1,令x=0,則y=-1,∴P(0,-1),又∵點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱,∴點(diǎn)P為AA'的中點(diǎn),設(shè)A'(m,n),則m+42=0,3+4.(2019·山西)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C',此時(shí)點(diǎn)A'恰好在AB邊上,則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為(D)A.12 B.6 C.62 D.63【解析】連接B'B,∵將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C',∴AC=A'C,AB=A'B',∠A=∠CA'B'=60°,∴△AA'C是等邊三角形,∴∠AA'C=60°,∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°,∵∠ACA'=∠BCB'=60°,BC=B'C,∴△BCB'是等邊三角形,∴∠CB'B=60°,∵∠CB'A'=30°,∴∠A'B'B=30°,∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°,∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴AB=12,∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6,∴B'B=63.5.(2019·遼寧阜新)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019C2019,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),那么點(diǎn)B2019的坐標(biāo)為(D)A.(1,1) B.(0,2)C.(-2,0) D.(-1,1)【解析】∵四邊形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),連接OB,由勾股定理得OB=2,由旋轉(zhuǎn)得OB=OB1=OB2=OB3=…=2,∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1,相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,∴B1(0,2),B2(-1,1),B3(-2,0),…,發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán),所以2019÷8=252……2,∴點(diǎn)B2019的坐標(biāo)為(-1,1).6.如圖,若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB,則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).三角形的布洛卡點(diǎn)(Brocardpoint)由法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle,1780—1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn),但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意.1875年,布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布洛卡(Brocard,1845—1922)重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名.問題:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°.若點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn),DQ=1,則EQ+FQ的值為(D)A.5 B.4C.3+2 D.2+2【解析】把點(diǎn)Q繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)M,連接ME,MQ,MD,則△MED≌△QFD,∴ME=QF,MD=QD,∠MED=∠QFD,∠MDE=∠QDF,設(shè)∠QED=∠QFE=∠QDF=∠MDE=α,在Rt△DMQ中,由勾股定理得MQ=2,∵∠QED=∠QDF,∠EDF=90°,∴∠EQD=90°,∵∠QFD+α=45°,∴∠MED+α=45°,∵∠MQD=45°,∴∠EQM=90°-45°=45°,∴△MQE是等腰直角三角形,由勾股定理得QE=2,又ME=MQ=2,則FQ=2,∴QE+QF=2+2.7.如圖,把△ABC沿著BC的方向平移到△DEF的位置,它們重疊部分的面積是△ABC面積的一半,若BC=3,則△ABC移動(dòng)的距離是

3-62【解析】由平移的性質(zhì)得AB∥EH,∴△CHE∽△CAB,∴ECBC2=S△EHCS△BAC=12S△BACS△8.(2019·湖北隨州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形OABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在x軸正半軸上,∠AOC=60°,若將菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,得到四邊形OA'B'C',則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(6,-6).

【解析】作B'H⊥x軸于H點(diǎn),連接OB,OB',如圖,∵四邊形OABC為菱形,∴∠AOC=180°-∠C=60°,OB平分∠AOC,∴∠AOB=30°,∵菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至第四象限OA'B'C'的位置,∴∠BOB'=75°,OB'=OB=23,∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°,∴△OBH為等腰直角三角形,∴OH=B'H=22OB'=6,∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(6,-6)9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,1),B(0,-2),C(1,0).點(diǎn)P(0,2)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P1,點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P2,點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P3,點(diǎn)P3繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P4,…,按此作法進(jìn)行下去,則點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為(2,-4).

【解析】由題意依次作出各點(diǎn),如圖,得P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P6與點(diǎn)P重合,即6次一個(gè)循環(huán),∵2019÷6=336……2,∴點(diǎn)P2019與點(diǎn)P2重合,即點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為(2,-4).10.(9分)如圖,在小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,根據(jù)圖形解答下列問題:(1)將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,畫出平移后的△A1B1C1;(2)將△DEF繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△DE1F1.解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求.(2)如圖所示,△DE1F1即為所求.11.(10分)△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示.(1)作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱的△A1B1C;(2)將△A1B1C向右平移4個(gè)單位,作出平移后的△A2B2C2;(3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使PA1+PC2的值最小,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).(不寫解答過程,直接寫出結(jié)果)解:(1)如圖,△A1B1C為所作.(2)如圖,△A2B2C2為所作.(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為8312.(12分)如圖,將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C',使點(diǎn)A'落在∠ACB的外角平分線CD上,連接AA'.(1)判斷四邊形ACC'A'的形狀,并說明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos∠BAC=45,求CB'的長(zhǎng)解:(1)四邊形ACC'A'是菱形,理由:由平移的性質(zhì)可得AA'=CC',且AA'∥CC',∴四邊形ACC'A'是平行四邊形,由AA'∥CC'得∠AA'C=∠A'CB',由題意得CD平分∠ACB',∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,∴AA'=AC,∴平行四邊形ACC'A'是菱形.(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,∴cos∠BAC=ABAC=45∴BC=AC2由平移的性質(zhì)可得BC=B'C'=6,由(1)得四邊形ACC'A'是菱形,∴AC=CC'=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.13.(10分)(2019·山東萊蕪)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α(0°<α<90°)得到△AD'E',連接BD',CE',如圖1.(1)求證:BD'=CE';(2)如圖2,當(dāng)α=60°時(shí),設(shè)AB與D'E'交于點(diǎn)F,求BFFA的值解:(1)∵AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴AD=BD=AE=EC.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠DAD'=∠EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴AD'=AE',∴△BD'A≌△CE'A,∴BD'=CE'.(2)連接DD'.∵∠DAD'=60°,AD=AD',∴△ADD'是等邊三角形.∴∠ADD'=∠AD'D=60°,DD'=DA=DB.∴∠DBD'=∠DD'B=30°,∴∠BD'A=90°.∵∠D'AE'=90°,∴∠BAE'=30°,∴∠BAE'=∠ABD',又∵∠BFD'=∠AFE',∴△BFD'∽△AFE',∴BFAF∵在Rt△ABD'中,tan∠BAD'=DB'∴BFAF[名師預(yù)測(cè)]1.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍,則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.1D.1【解析】點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍,則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m×2,n×2)或(m×(-2),n×(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n).2.如圖,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B落在AB邊上的點(diǎn)B'處,此時(shí),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在BC的延長(zhǎng)線上,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A'【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCB'與∠ACA'都是旋轉(zhuǎn)角,則∠BCB'=∠ACA',A正確;∵CB=CB',∴∠B=∠BB'C,又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C,∴∠A'CB'=2∠B,∴∠ACB=2∠B,B正確;∵∠A'B'C=∠B,∴∠A'B'C=∠BB'C,∴B'C平分∠BB'A',D正確.3.有一張矩形紙片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下圖步驟折疊紙片,則線段DG的長(zhǎng)為

2.

【解析】根據(jù)題意,∵Rt△DAE≌Rt△DA'E,∴DA'=DA=2,CA'=DC-DA'=1,∵矩形A'EBC折疊到矩形A'EB'C',∴C'A'=CA'=1,∴DC'=C'A'=1,∵∠D=45°,∠DC'B'=90°,∴DG=2DC'=2.4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,-1),B(-1,3),C(-3,-3),將△ABC向右平移m(m>0)個(gè)單位后,△ABC某一邊的中點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)y=3x的圖象上,則m的值為0.5或4.【解析】設(shè)平移后的三角形為△A'B'C',其中A'(-1+m,-1),B'(-1+m,3),C'(-3+m,-3),∴A'B'的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1+m,1),A'C'的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2+m,-2),B'C'的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2+m,0),當(dāng)A'B'的中點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=3x的圖象上時(shí),3=1×(-1+m),解得m=4;當(dāng)A'C'的中點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=3x的圖象上時(shí),3=-2×(-2+m),解得m=0.5;當(dāng)B'C'的中點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=3x的圖象上時(shí),3=0×(-2+m),方程無解.綜上,m的值為0.55.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,-2),(-4,-1),(-4,-4).(1)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的△A1B1C1;(2)作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'.若把A'向右平移a個(gè)單位后落在△A1B1C1的內(nèi)部(不包括頂點(diǎn)和邊界),求a的取值范圍.解:(1)△A1B1C1如圖.(2)點(diǎn)A'如圖所示,a的取值范圍是4<a<6.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(-1,3),B(-3,1),C(-1,1).請(qǐng)解答下列問題:(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo);(2)畫出△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C1,并求出點(diǎn)A1走過的路徑長(zhǎng).解:(1)△A1B1C1如圖,B1點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1).(2)△A2B2C1如圖,點(diǎn)A1走過的路徑長(zhǎng)為14×2×π×2=π7.如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合