廣東省東莞市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題含答案解析

2023-2024學年度第一學期教學質量檢查高三數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．1.已知復數(shù)，則（）A B.C. D.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.3.已知由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B.C. D.4.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.5.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.6.已知，則的值為（）A. B.C. D.7.以拋物線C的頂點O為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A，與C的準線的一個交點記為點B，當點A，B在拋物線C的對稱軸的同側時，OA⊥OB，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.8.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（）A B.C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9.已知函數(shù)，，是的導函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.與對稱軸相同 B.與周期相同C.的最大值是 D.不可能是奇函數(shù)10.已知圓：，圓：，P，Q分別是，上的動點，則下列結論正確的是（）A.當時，四邊形的面積可能為7B.當時，四邊形的面積可能為8C.當直線PQ與和都相切時，的長可能為D.當直線PQ與和都相切時，的長可能為411.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若是的對稱軸，且，則下列結論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是對稱中心C.2是的周期 D.12.如圖幾何體是由正方形沿直線旋轉得到的，已知點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A.存在點，使得平面B.不存在點，使得平面平面C.存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為D.不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的相應位置上．13.雙曲線C：（，）的漸近線方程為，則其離心率______________．14.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．15.用試劑檢驗并診斷疾病，表示被檢驗者患疾病，表示判斷被檢驗者患疾病．用試劑檢驗并診斷疾病的結論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率______________．16.若函數(shù)的圖象關于對稱，則__________，的最小值為______________．四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內，超出指定區(qū)域的答案無效．17.數(shù)列的前n項積為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前2n項和．18.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2正方形，．（1）證明：平面平面；（2）若，，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，求點E到平面ACF的距離．19.中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，且D為△ABC外接圓劣弧上一點，求的取值范圍．20.已知橢圓：（），連接C的四個頂點所得四邊形的面積為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的右焦點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，試問軸上是否存在定點，使得的內心也在軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數(shù)目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．（1）已知，，證明：，；（2）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若方程有、兩個根，且，求實數(shù)的值．2023-2024學年度第一學期教學質量檢查高三數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．1.已知復數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法可化簡復數(shù).【詳解】.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集和補集的定義即可得出答案.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.3.已知由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出這四個數(shù)的極差與中位數(shù)，根據(jù)已知條件求出的值，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結果.【詳解】由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，則，這四個數(shù)為極差為，中位數(shù)為，因為這個數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，所以，這四個數(shù)由小到大依次為、、、，因為，故這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：B.4.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分，和三種情況討論，結合函數(shù)的單調性及函數(shù)的零點即可得出答案.【詳解】①當時，，此時A選項符合；②當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，故B選項符合；③當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，故C選項符合，D選項不可能.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設出公比后整體求值即可.【詳解】設首項為，公比為，易知，，可得，解得，而，故選：C6.已知，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系計算即可得.【詳解】，即，由，故選：A.7.以拋物線C的頂點O為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A，與C的準線的一個交點記為點B，當點A，B在拋物線C的對稱軸的同側時，OA⊥OB，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出輔助線，得到三角形全等，故，從而求出，根據(jù)勾股定理列出方程，求出，得到答案.【詳解】設拋物線方程為，由題意得，，過點作⊥軸于點，因為OA⊥OB，所以，又，所以，則≌，故，令得，，解得，故，由勾股定理得，解得，故拋物線C的焦點到準線的距離為.故選：D8.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為，設正四棱臺的高為，可得出，求出的值，即可求得該正四棱臺的體積.【詳解】設每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為，設正四棱臺的高為，因為每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則，可得，可得，所以，該正四棱臺的體積為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9.已知函數(shù)，，是的導函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.與對稱軸相同 B.與周期相同C.的最大值是 D.不可能是奇函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】求導得出，利用三角函數(shù)性質直接判斷AB；結合二倍角公式判斷C；結合二倍角公式及正弦函數(shù)性質判斷D【詳解】由題意知，所以，對A：的對稱軸為，，解得，；的對稱軸為，，解得，，所以與的對稱軸不相同，故A錯誤；對B：的周期為，的周期為，所以與的周期相同，故B正確；對C：，因為，所以，故C正確；對D：當，，，所以，此時為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：BC.10.已知圓：，圓：，P，Q分別是，上的動點，則下列結論正確的是（）A.當時，四邊形的面積可能為7B.當時，四邊形的面積可能為8C.當直線PQ與和都相切時，的長可能為D.當直線PQ與和都相切時，的長可能為4【答案】ACD【解析】【分析】對于AB：設，可得梯形的面積為，進而分析判斷；對于CD：根據(jù)切線性質結合對稱性分析求解.【詳解】圓：的圓心，半徑；圓：的圓心，半徑；可知，可知兩圓外離，對于選項AB：設，因為，可知梯形的高為，所以四邊形的面積為，可知四邊形的面積可能為7，不可能為8，故A正確，B錯誤；對于選項CD：設直線與x軸的交點為，根據(jù)對稱性可知：如圖，因為，可知，則，可知，所以；如圖，因為，可知，則，可知，所以；故CD正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若是的對稱軸，且，則下列結論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是的對稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，判斷A；結合已知條件變形得到，判斷B；利用賦值法求得，判斷C；根據(jù)條件得到的周期為4，對稱中心為，從而得到函數(shù)值即可求解，判斷D.【詳解】對于A，因為是的對稱軸，所以，又因為，所以，故，即為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以，又因為，聯(lián)立得，所以的圖像關于點中心對稱，故B正確；對于C，因為，，則，即；因為，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯誤；對于D，因為是的對稱軸，所以，又因為，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因為周期為4，對稱中心為，所以，當時，代入，即，所以，所以，又是的對稱軸，所以，所以，故D正確，故選：BD.12.如圖幾何體是由正方形沿直線旋轉得到的，已知點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點（含端點），則下列結論正確的是（）A.存在點，使得平面B.不存在點，使得平面平面C.存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】將圖形補全為一個正方體，設，以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：不妨設，以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、，，設點，其中，對于A選項，假設存在點，使得平面，，，，則，可得，因，則，即當點與點重合時，平面，A對；對于B選項，由A選項可知，平面的一個法向量為，假設存點，使得平面平面，則，，則，可得，又因為，解得，即當點為的中點時，面平面，B錯；對于C選項，若存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，則直線與平面的所成角的正弦值為，且，所以，，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，C對；對于D選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，假設存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即，可得或，因為，則，則，所以，，故當時，方程和均無解，綜上所述，不存在點，平面與平面的夾角的余弦值為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的相應位置上．13.雙曲線C：（，）的漸近線方程為，則其離心率______________．【答案】【解析】【分析】結合漸近線的定義與離心率定義即可得.【詳解】由題意可得，則.故答案為：.14.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算公式將原問題轉化為的一個充分不必要條件進而求解.【詳解】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）15.用試劑檢驗并診斷疾病，表示被檢驗者患疾病，表示判斷被檢驗者患疾?。迷噭z驗并診斷疾病的結論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率______________．【答案】【解析】【分析】利用條件概率公式求出、的值，可得出的值，再利用條件概率公式可求得的值.【詳解】由條件概率公式可得，，由條件概率公式可得，所以，，所以，.故答案為：.16.若函數(shù)的圖象關于對稱，則__________，的最小值為______________．【答案】①.②.【解析】【分析】由函數(shù)的對稱性可知，方程的兩根分別為、，利用韋達定理可求得、的值，可得出的值，變形可得出，令，利用二次函數(shù)的基本性質求出在時的最小值，即可得出函數(shù)的最小值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于對稱，令，可得，可得或，由對稱性可知，方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，因為，令，令，所以，.故答案為：；.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是注意到方程有兩個根，利用的對稱性求得有對應的兩個根，從而求得，由此得解.四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內，超出指定區(qū)域的答案無效．17.數(shù)列前n項積為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前2n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分和兩種情況，結合與之間的關系分析求解；（2）由（1）可得，結合分組求和法運算求解.【小問1詳解】因為，若，則；若，則；且符合，綜上所述：數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由（1）可知：，可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．（1）證明：平面平面；（2）若，，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，求點E到平面ACF的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，為和的中點，，得平面，可證得平面平面；（2）證明，，以為原點，建立空間直角坐標系，向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】連接，與相交于點，連接，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點，，則，平面，，平面，平面，所以平面平面【小問2詳解】四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，，，，則有，，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，令，得，即.，點E到平面的距離.19.中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，且D為△ABC外接圓劣弧上一點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理化簡得，得到，即可求解；（2）設，得到，得到，得出，進而求得的取值范圍.【小問1詳解】解：因為，由余弦定理得，整理得，可得，又因為，可得.【小問2詳解】解：由圓內接四邊形性質，可得，設，則，在中，由正弦定理得，所以，所以，因為，可得，可得，所以的取值范圍為.20.已知橢圓：（），連接C的四個頂點所得四邊形的面積為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的右焦點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，試問軸上是否存在定點，使得的內心也在軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中幾何關系及離心率可以求出的值，從而求解.（2）設出直線方程，然后與橢圓聯(lián)立，根據(jù)的內心在軸上，可得并結合根與系數(shù)的關系，從而求解.【小問1詳解】由題意得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】因為直線過右焦點且斜率不為零，設直線的方程為，，，聯(lián)立，得，恒成立，所以，，設軸上存在定點使得的內心在軸上，則直線和關于軸對稱，所以直線和的傾斜角互補，所以，即，所以，即，整理得，即，即對所有恒成立，所以，所以存在定點符合題意.【點睛】方法點睛：根據(jù)的內心在軸上得到直線和的傾斜角互補，即，再由直線與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關系得到相應的等式，從而求解.21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數(shù)目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．（1）已知，，證明：，；（2）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．【答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ），；（ⅱ）15【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結合期望、方差的性質分析證明；（2）（?。└鶕?jù)（1）中結論結合二項分布的期望和方差公式運算求解；（ⅱ）根據(jù)二項分布的概率公式列式運算求解即可.【小問1詳解】由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，則，，，，所以，.【小問2詳解】（?。┯桑?