新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第52講 隨機(jī)事件的概率與古典概型（含解析）

第52講隨機(jī)事件的概率與古典概型（精講）題型目錄一覽①隨機(jī)事件關(guān)系與運(yùn)算②頻率與概率③互斥事件與對(duì)立事件④古典概型Ⅰ-簡(jiǎn)單的古典概型問題⑤古典概型Ⅱ-與排列組合結(jié)合一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母SKIPIF1<0表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：1.試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；3.每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．二、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)SKIPIF1<0的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)SKIPIF1<0的樣本空間，一般地，用．SKIPIF1<0．表示樣本空間，用SKIPIF1<0表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有SKIPIF1<0個(gè)可能結(jié)果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，則稱樣本空間SKIPIF1<0為有限樣本空間．三、隨機(jī)事件和確定事件1.一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間SKIPIF1<0的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件SKIPIF1<0發(fā)生．2.SKIPIF1<0作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以SKIPIF1<0總會(huì)發(fā)生，我們稱SKIPIF1<0為必然事件．3.空集SKIPIF1<0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為SKIPIF1<0為不可能事件．4.確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．四、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0，如果事件SKIPIF1<0發(fā)生，則事件SKIPIF1<0一定發(fā)生，這時(shí)稱事件SKIPIF1<0包含事件SKIPIF1<0（或者稱事件SKIPIF1<0包含于事件SKIPIF1<0），記作SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：不可能事件記作SKIPIF1<0，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件SKIPIF1<0發(fā)生或事件SKIPIF1<0發(fā)生，則稱此事件為事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0的并事件（或和事件），記作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件SKIPIF1<0發(fā)生且事件SKIPIF1<0發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：五、互斥事件與對(duì)立事件1.互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0不能同時(shí)發(fā)生，即SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥，可用下圖表示：如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0．，…，SKIPIF1<0彼此互斥．2.對(duì)立事件：若事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即SKIPIF1<0不發(fā)生，SKIPIF1<0則稱事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0互為對(duì)立事件，事件SKIPIF1<0的對(duì)立事件記為SKIPIF1<0．3.互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．六、概率與頻率1.頻率：在SKIPIF1<0次重復(fù)試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)SKIPIF1<0稱為事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)SKIPIF1<0與總次數(shù)SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0，叫做事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率．2.概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率SKIPIF1<0總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件SKIPIF1<0的概率，記作SKIPIF1<0．3.概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件SKIPIF1<0，由于事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率SKIPIF1<0隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率SKIPIF1<0，因此可以用頻率SKIPIF1<0來估計(jì)概率SKIPIF1<0．七、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件SKIPIF1<0的概率用SKIPIF1<0表示.八、古典概型1.定義：一般地，若試驗(yàn)SKIPIF1<0具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)SKIPIF1<0是古典概型，樣本空間SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0個(gè)樣本點(diǎn)，事件SKIPIF1<0包含其中的SKIPIF1<0個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0.注：（1）解決古典概型的問題要注意清楚以下三個(gè)方面①本試驗(yàn)是否具有等可能性；②本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；③事件SKIPIF1<0是什么．（2）一般解題步驟：①仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；②判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件SKIPIF1<0；③分別求出基本事件的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0與所求事件SKIPIF1<0中所包含的基本事件個(gè)數(shù)SKIPIF1<0；④利用公式SKIPIF1<0求出事件SKIPIF1<0的概率．九、概率的基本性質(zhì)1.對(duì)于任意事件SKIPIF1<0都有：SKIPIF1<0．2.必然事件的概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；不可能事概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3.概率的加法公式：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥，則SKIPIF1<0．推廣：一般地，若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0彼此互斥，則事件發(fā)生（即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這SKIPIF1<0個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：SKIPIF1<0．4.對(duì)立事件的概率：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互為對(duì)立事件，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則SKIPIF1<0．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一隨機(jī)事件關(guān)系與運(yùn)算【典例1】連續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件SKIPIF1<0{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件SKIPIF1<0{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件SKIPIF1<0{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件SKIPIF1<0{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)若事件SKIPIF1<0，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由隨機(jī)事件，求出樣本點(diǎn)，然后求解即可；（2）由事件E，結(jié)合已知事件A、B、C、D求解即可.【詳解】（1）由題意得，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）知，事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】結(jié)合事件的包含關(guān)系以及概率的知識(shí)求得答案.【詳解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.2．從10個(gè)事件中任取一個(gè)事件，若這個(gè)事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個(gè)事件中具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】計(jì)算出必然事件和不可能事件的個(gè)數(shù)，用事件總數(shù)減去它們之和即得答案.【詳解】這10個(gè)事件中必然事件的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，不可能事件的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，所以具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：B3．同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件SKIPIF1<0，“向上的面至少有一枚是正面”為事件SKIPIF1<0，則有()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間沒有關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法求得事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0，進(jìn)而得到兩事件的關(guān)系，得到答案.【詳解】由同時(shí)拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為SKIPIF1<0{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件SKIPIF1<0{（正，正）}，事件SKIPIF1<0{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以SKIPIF1<0.故選：C.4．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件SKIPIF1<0“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”，SKIPIF1<0“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則SKIPIF1<0表示的事件為（

）A．“點(diǎn)數(shù)為4” B．“點(diǎn)數(shù)為3或4”C．“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D．“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”【答案】A【分析】先分別求得事件SKIPIF1<0所包含的基本事件，進(jìn)而求得SKIPIF1<0表示的事件.【詳解】SKIPIF1<0“點(diǎn)數(shù)為大于2小于SKIPIF1<0”SKIPIF1<0,SKIPIF1<0“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0表示的事件為“點(diǎn)數(shù)為4”.故選：A5．從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，那么“這2個(gè)數(shù)的和大于4”為事件A，“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”為事件B，則A＋B和AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（

）A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；1【答案】C【分析】先求出試驗(yàn)E的樣本空間，事件A＋B和AB中所含的樣本點(diǎn)，即可求出答案.【詳解】試驗(yàn)E的樣本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．其中事件A中所含的樣本點(diǎn)為（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個(gè)；事件B中所含的樣本點(diǎn)為（1，3），（2，4），共2個(gè)．所以事件A＋B中所含的樣本點(diǎn)為（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5個(gè)；事件AB中所含的樣本點(diǎn)為（2，4），共1個(gè)．故選：C．6．若某群體中的成員會(huì)用現(xiàn)金支付的概率為0.60，會(huì)用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（

）A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45【答案】B【分析】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則SKIPIF1<0為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)成員會(huì)用現(xiàn)金支付為是事件A，會(huì)用非現(xiàn)金支付為事件B，則SKIPIF1<0為即用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.7．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算分別判斷選項(xiàng)即可.【詳解】用SKIPIF1<0表示試驗(yàn)的射擊情況，其中SKIPIF1<0表示第1次射擊的情況，SKIPIF1<0表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間SKIPIF1<0.由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.即ABC都正確；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故D不正確.故選：D.8．A,B兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正?！?，SKIPIF1<0“B元件正常”，用SKIPIF1<0分別表示A,B兩個(gè)元件的狀態(tài)，用SKIPIF1<0表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①樣本空間SKIPIF1<0；

②事件SKIPIF1<0；③事件“電路是斷路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示；④事件“電路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，共包含3樣本點(diǎn).A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)事件的定義確定樣本點(diǎn)，判斷各個(gè)命題．【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0分別取值0和1，因此SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，①正確；事件SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0任取，因此②正確；事件“電路是斷路”中，SKIPIF1<0至少有一個(gè)取0，因此事件“電路是斷路”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而“電路是斷路”可表示為SKIPIF1<0，③錯(cuò)；事件“電路是通路”中，SKIPIF1<0兩個(gè)都取1，因此事件“電路是通路”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而“電路是通路”可表示為SKIPIF1<0，其中只有一個(gè)樣本點(diǎn)，④錯(cuò)．正確的個(gè)數(shù)是2，故選：B．二、填空題9．從裝有SKIPIF1<0個(gè)紅球和SKIPIF1<0個(gè)白球的口袋內(nèi)任取SKIPIF1<0個(gè)球觀察顏色．設(shè)事件SKIPIF1<0為“所取兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，事件SKIPIF1<0為“所取兩個(gè)恰有一個(gè)紅球”，則SKIPIF1<0表示的事件為．【答案】恰有一個(gè)紅球【分析】用列舉法列出樣本空間SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0.【詳解】因?yàn)閺难b有SKIPIF1<0個(gè)紅球和SKIPIF1<0個(gè)白球的口袋內(nèi)任取SKIPIF1<0個(gè)球，這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、白SKIPIF1<0，SKIPIF1<0白、紅SKIPIF1<0，SKIPIF1<0紅、紅SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、紅SKIPIF1<0，SKIPIF1<0白、白SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0白，紅SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、紅SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0表示的事件為恰有一個(gè)紅球．故答案為：恰有一個(gè)紅球10．打靶3次，事件SKIPIF1<0“擊中SKIPIF1<0發(fā)”，其中SKIPIF1<0．那么SKIPIF1<0表示．【答案】至少擊中1發(fā)【分析】根據(jù)和事件的定義判斷.【詳解】根據(jù)并事件的定義可知，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0至少有一個(gè)發(fā)生，所以SKIPIF1<0表示至少擊中1發(fā).故答案為：至少擊中1發(fā).11．已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)E中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】0.8【分析】利用概率的基本性質(zhì)及事件的運(yùn)算求概率即可.【詳解】由SKIPIF1<0.故答案為：0.812．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正?！?，SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正?！?，用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別表示SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個(gè)元件的狀態(tài)，用SKIPIF1<0表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以SKIPIF1<0表示元件正常，SKIPIF1<0表示元件失效.下列說法正確的是.①樣本空間SKIPIF1<0；②事件SKIPIF1<0；③事件“電路是斷路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示；④事件“電路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，共包含SKIPIF1<0個(gè)樣本點(diǎn).

【答案】①②【分析】列舉出所有的基本事件，可判斷①；列舉出事件SKIPIF1<0包含的基本事件，可判斷②；分析事件“電路是斷路”，然后用事件加以表示，可判斷③；分析事件“電路是通路”，然后用事件加以表示，可判斷④.【詳解】對(duì)于①，樣本空間SKIPIF1<0，①對(duì)；對(duì)于②，事件SKIPIF1<0包含兩種情況，SKIPIF1<0元件不正常且SKIPIF1<0元件正常，SKIPIF1<0元件正常且SKIPIF1<0元件正常，故事件SKIPIF1<0，②對(duì)；對(duì)于③，“電路是斷路”，說明SKIPIF1<0元件和SKIPIF1<0元件至少有一個(gè)不正常，即事件“電路是斷路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，③錯(cuò)；對(duì)于④，“電路是通路”，說明兩個(gè)元件都正常，所以，事件“電路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，④錯(cuò).故答案為：①②.13．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小張每次考試語文成績(jī)及格的概率為0.8，數(shù)學(xué)成績(jī)及格的概率為0.9，語文和數(shù)學(xué)同時(shí)及格的概率為0.75，則至少有一科及格的概率為.【答案】0.95【分析】根據(jù)概率的基本性質(zhì)中和事件的概率公式代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0“小張語文成績(jī)及格”，SKIPIF1<0“小張數(shù)學(xué)成績(jī)及格”，則SKIPIF1<0“語文和數(shù)學(xué)同時(shí)及格”，SKIPIF1<0“語文數(shù)學(xué)兩科至少有一科及格”，由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入和事件概率公式SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.故答案為：0.95.題型二頻率與概率策略方法1．概率與頻率的關(guān)系頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．【典例1】（單選題）手機(jī)支付已經(jīng)成為人們常用的付費(fèi)方式，某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下，顧客年齡（歲）20歲以下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<070歲及以上手機(jī)支付人數(shù)312149520其他支付方式人數(shù)0021327121從該超市顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該顧客年齡在SKIPIF1<0內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意求相應(yīng)的頻率，用頻率估計(jì)概率.【詳解】由題意可知：該顧客年齡在SKIPIF1<0內(nèi)且未使用手機(jī)支付的頻率為SKIPIF1<0，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該顧客年齡在SKIPIF1<0內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為SKIPIF1<0.故選：C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有100名志愿者服用此藥．結(jié)果：體重減輕的人數(shù)為59人，體重不變的21人，體重增加的20人．如果另外有一人服用此藥，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)人體重減輕的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合頻率與概率之間的關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：體重減輕的頻率為SKIPIF1<0，用頻率估計(jì)概率可知：體重減輕的概率為SKIPIF1<0.故選：A.2．經(jīng)過市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門得知市場(chǎng)上食用油合格率為SKIPIF1<0，經(jīng)調(diào)查，某市市場(chǎng)上的食用油大約有SKIPIF1<0個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有（

）A．SKIPIF1<0個(gè) B．SKIPIF1<0個(gè)C．SKIPIF1<0個(gè) D．SKIPIF1<0個(gè)【答案】C【分析】先求出市場(chǎng)上食用油不合格率，再根據(jù)頻數(shù)SKIPIF1<0樣本容量SKIPIF1<0頻率可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭袌?chǎng)上食用油合格率為SKIPIF1<0，所以市場(chǎng)上食用油不合格率為SKIPIF1<0，又市場(chǎng)上的食用油大約有SKIPIF1<0個(gè)品牌，所以不合格的食用油品牌大約有SKIPIF1<0個(gè).故選：C3．天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用頻率和概率的關(guān)系得到答案.【詳解】10組數(shù)據(jù)中，恰有兩天下雨的有417，386，196，206，共4個(gè)，故此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為SKIPIF1<0.故選：B4．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68124174366命中的頻率0.680.620.580.61根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計(jì)值是（

）A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68【答案】B【分析】利用頻率和概率的關(guān)系求解即可.【詳解】由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小，可能性越大，所以合計(jì)列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適.故選：B.5．對(duì)敏感性問題調(diào)查的關(guān)鍵是要設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實(shí)回答問題．為調(diào)查學(xué)生是否有在校使用手機(jī)的情況時(shí)，某校設(shè)計(jì)如下調(diào)查方案：調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨(dú)自從一個(gè)箱子中隨機(jī)抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題SKIPIF1<0：抽到紅球，則回答問題SKIPIF1<0，且箱子中只有白球和紅球．問題SKIPIF1<0：你的生日的月份是否為偶數(shù)?（假設(shè)生日的月份為偶數(shù)的概率為SKIPIF1<0）問題SKIPIF1<0：你是否有在校使用手機(jī)?已知該校在一次實(shí)際調(diào)查中，箱子中放有白球SKIPIF1<0個(gè)，紅球SKIPIF1<0個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到SKIPIF1<0張有效答卷，其中有SKIPIF1<0張回答“是”，如果以頻率估計(jì)概率，估計(jì)該校學(xué)生有在校使用手機(jī)的概率是（精確到SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】計(jì)算出回答問題SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)，以及回答問題SKIPIF1<0回答“是”的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可求得該校學(xué)生有在校使用手機(jī)的概率.【詳解】由題意可知，回答問題SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，其中回答問題SKIPIF1<0回答“是”的人數(shù)為SKIPIF1<0，回答問題SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，其中回答問題SKIPIF1<0回答“是”的人數(shù)為SKIPIF1<0，因此，估計(jì)該校學(xué)生有在校使用手機(jī)的概率是SKIPIF1<0.故選：B.6．手機(jī)支付已經(jīng)成為人們幾乎最常用的付費(fèi)方式.某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，記錄結(jié)果整理如下表.從這100名顧客中隨機(jī)抽取1人，則該顧客年齡在SKIPIF1<0內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為（

）.顧客年齡（歲）20歲以下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<070歲及以上手機(jī)支付人數(shù)31214132790其他支付方式人數(shù)0029551A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題意，算出100名顧客中，顧客年齡在SKIPIF1<0且未使用手機(jī)支付的的人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式，進(jìn)而可以得到未使用手機(jī)支付的概率.【詳解】在隨機(jī)抽取的100名顧客中，顧客年齡在SKIPIF1<0內(nèi)且未使用手機(jī)支付的共有SKIPIF1<0（人），所以從該超市隨機(jī)抽取1名顧客，估計(jì)該顧客年齡在內(nèi)且未使用手機(jī)支付的概率為SKIPIF1<0.故選：D.7．給出下列四個(gè)命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是SKIPIF1<0；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是SKIPIF1<0.其中正確命題有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，概率的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于①，實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，一批產(chǎn)品次品率為0.05，則從中任取200件，次品的件數(shù)在10件左右，而不一定是10件，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，100次并不是無窮多次，只能說明這100次試驗(yàn)出現(xiàn)正面朝上的頻率為SKIPIF1<0，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)定義，隨機(jī)事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，頻率估計(jì)概率，頻率為出現(xiàn)的次數(shù)與重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)的比值，拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是SKIPIF1<0，④正確.故選：D.8．一個(gè)袋中裝有大小與質(zhì)地相同的3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，某班分成20個(gè)小組進(jìn)行隨機(jī)摸球試驗(yàn)，每組各做50次，每次有放回地摸1個(gè)球并記錄顏色．統(tǒng)計(jì)共摸到紅球619次，則袋中紅球的個(gè)數(shù)最有可能為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)頻率與概率之間的關(guān)系即可列式子求解.【詳解】設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0，所以紅球的個(gè)數(shù)最可能是5個(gè)，故選：B9．用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)記1，2，3，4，重復(fù)拋擲這個(gè)四面體200次，記錄每個(gè)面落在地上的次數(shù)（如下表）．下列說法正確的是（

）四面體的面1234頻數(shù)44364278A．該四面體一定不是均勻的 B．再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記2的面落地概率0.72C．再拋擲一次，標(biāo)記4的面落地 D．再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記3的面落地概率0.2【答案】D【分析】根據(jù)頻率和概率的關(guān)系分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，就算四面體是均勻的，理論上每個(gè)面落地的次數(shù)仍舊可能不一樣，在均勻的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，每個(gè)面落地的次數(shù)將會(huì)變得越來越接近，換句話說，即使是均勻的四面體，僅僅在200次試驗(yàn)下，得到落地的面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可能不一樣，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；BCD選項(xiàng)，由于這200次實(shí)驗(yàn)2，3，4落在底面的頻率分別為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B選項(xiàng)中所估計(jì)的概率SKIPIF1<0和頻率SKIPIF1<0差別過大，C選項(xiàng)認(rèn)為標(biāo)記4的面必定落地，是必然事件，概率為SKIPIF1<0，但頻率只有SKIPIF1<0，因此不能認(rèn)為必然發(fā)生，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，標(biāo)記3的面落地概率估計(jì)是SKIPIF1<0，和實(shí)驗(yàn)頻率SKIPIF1<0非常接近，D選項(xiàng)正確.故選：D二、多選題10．利用計(jì)算機(jī)模擬拋擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)分別為20，100，500時(shí)各做5組試驗(yàn)，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)和頻率情況如下表：序號(hào)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根據(jù)以上信息，下面說法正確的有（

）A．試驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性B．試驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率波動(dòng)較大；試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，頻率波動(dòng)較小，所以試驗(yàn)次數(shù)越多越好C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值附近D．我們要想得到某事件發(fā)生的概率，只需要做一次隨機(jī)試驗(yàn)，得到事件發(fā)生的頻率即為概率【答案】ABC【分析】根據(jù)題中統(tǒng)計(jì)數(shù)表中的數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到試驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，則說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：分別對(duì)比每個(gè)序號(hào)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)分別為20，100，500的頻率可得試驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率波動(dòng)較大；試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，頻率波動(dòng)較小，則試驗(yàn)次數(shù)越多越好，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值附近，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：我們要想得到某事件發(fā)生的概率，需要進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)才能得到概率的估計(jì)值，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.11．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下面的統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．顧客購(gòu)買乙商品的概率最大B．顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率約為0.2C．顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率約為0.3D．顧客僅購(gòu)買1種商品的概率不大于0.2【答案】BCD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】對(duì)于A，由于購(gòu)買甲商品的顧客有685位，購(gòu)買乙商品的顧客有515位，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率可以估計(jì)為SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率可以估計(jì)為SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有183位顧客僅購(gòu)買1種商品，所以顧客僅購(gòu)買1種商品的概率可以估計(jì)為SKIPIF1<0，故D正確．故選：BCD．12．小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了SKIPIF1<0次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的概率和頻率均為SKIPIF1<0B．若拋擲SKIPIF1<0次，則朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的頻率約為SKIPIF1<0C．拋擲第SKIPIF1<0次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是SKIPIF1<0D．拋擲SKIPIF1<0次，朝上的點(diǎn)數(shù)為SKIPIF1<0的次數(shù)大約為SKIPIF1<0次【答案】BD【分析】根據(jù)頻率和概率的定義，一次判斷選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)轭l率隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的不同而不同，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸趨向于概率的值，而拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，所以拋擲第SKIPIF1<0次，朝上點(diǎn)數(shù)可能是SKIPIF1<0，也可能不是SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，拋擲SKIPIF1<0次，頻率接近SKIPIF1<0，頻數(shù)大約為SKIPIF1<0次，故D正確.故選：BD三、填空題13．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表所示．第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率0.680.6250.5870.615根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)試驗(yàn)中頻率與概率的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差就越小.所以使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.14．在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計(jì)出概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，SKIPIF1<0共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<015．“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有人．【答案】SKIPIF1<0【分析】求出在隨機(jī)抽取的50人中，持反對(duì)態(tài)度的有36人，即可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的人數(shù).【詳解】由題意，在隨機(jī)抽取的50人中，持反對(duì)態(tài)度的有36人，故可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的約有SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.16．某事件SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0，下列說法正確的是．（1）SKIPIF1<0發(fā)生的可能性是SKIPIF1<0；（2）在10000個(gè)試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0發(fā)生9700次；（3）隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增大，SKIPIF1<0發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到SKIPIF1<0，且在它附近擺動(dòng)．【答案】（1）（3）【分析】根據(jù)頻率和概率的定義，依次判斷即可．【詳解】事件SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0發(fā)生的可能性是SKIPIF1<0，（1）正確；通過概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個(gè)固定值波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，則在10000個(gè)試驗(yàn)中，應(yīng)該事件SKIPIF1<0發(fā)生9700次左右，不一定發(fā)生9700次，（2）錯(cuò)誤；因?yàn)轭l率隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的不同而不同，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸趨向于概率的值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增大，SKIPIF1<0發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到SKIPIF1<0，且在它附近擺動(dòng)．（3）正確；故答案為：（1）（3）.17．某制造商今年SKIPIF1<0月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取SKIPIF1<0個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率SKIPIF1<0100.10SKIPIF1<0200.20SKIPIF1<0500.50SKIPIF1<0200.20合計(jì)1001.00若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為SKIPIF1<0，則這批乒乓球的直徑誤差不超過SKIPIF1<0的概率是．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)以及概率、頻率的知識(shí)求得正確答案.【詳解】標(biāo)準(zhǔn)尺寸是SKIPIF1<0，并且誤差不超過SKIPIF1<0，即直徑需落在[39.97，40.03]范圍內(nèi)．由頻率分布表知，頻率為SKIPIF1<0，所以直徑誤差不超過SKIPIF1<0的概率約為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<018．為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎?（2）在過路口時(shí)你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則就回答第二個(gè)問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問題，所以都如實(shí)地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人（學(xué)號(hào)從1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估計(jì)這1200人中闖過紅燈的人數(shù)是.【答案】132【分析】在準(zhǔn)備的兩個(gè)問題中每一個(gè)問題被問到的概率相同，由此可知第一個(gè)問題被問到600次，在被問到的600人中300人學(xué)號(hào)是奇數(shù)，比300人多出來的人數(shù)就是闖過紅燈的人數(shù)，可以求出該組樣本的頻率，最后利用樣本頻率估計(jì)總體的方法即可求解.【詳解】被調(diào)查的1200人中，在準(zhǔn)備回答的兩個(gè)問題中每一個(gè)問題被問到的概率相同，所以第一個(gè)問題可能被問600次，因?yàn)楸粏柕?00人中有300人學(xué)號(hào)是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，所以估計(jì)有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為SKIPIF1<0，用樣本頻率估計(jì)總體，從而估計(jì)這1200人中闖過紅燈的人數(shù)為SKIPIF1<0人.故答案為：132.題型三互斥事件與對(duì)立事件策略方法1.判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2.復(fù)雜事件的概率的兩種求法(1)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．(2)間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．【典例1】（單選題）2022年12月20日，聯(lián)合國(guó)世界旅游組織公布2022年“最佳旅游鄉(xiāng)村”名單，中國(guó)廣西大寨村和重慶荊竹村成功入選．遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游客．小明準(zhǔn)備利用假期從中選一個(gè)鄉(xiāng)村游玩，記事件SKIPIF1<0：小明選大寨村，事件SKIPIF1<0：小明選荊竹村，事件SKIPIF1<0：小明選綠江村．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9【答案】C【分析】利用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式即可得解.【詳解】由題意，得事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為互斥事件，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在試驗(yàn)“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣”中，事件A=“至少有一枚硬幣正面朝上”，事件SKIPIF1<0“兩枚硬幣正面均朝上”，事件SKIPIF1<0“兩枚硬幣正面均朝下”，則（

）A．A與B互斥 B．A與C對(duì)立C．B與C不互斥 D．B與C對(duì)立【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義即可判斷.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，其中朝上的情況共有正反；正正；反正；反反，共4種情況，其中滿足事件SKIPIF1<0的共有正反，反正和正正；滿足事件SKIPIF1<0的是正正一種情況，滿足事件SKIPIF1<0的是反反一種情況，對(duì)A，則顯然事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0可能同時(shí)發(fā)生，即正正這種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，事件SKIPIF1<0為事件SKIPIF1<0為互斥事件，且兩者構(gòu)成了所有的發(fā)生情況，即SKIPIF1<0必有一個(gè)發(fā)生，則A與C對(duì)立，故B正確；對(duì)C，事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0顯然不可能同時(shí)發(fā)生，則它們?yōu)榛コ馐录?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，事件B與C互斥，但是不對(duì)立，比如可能發(fā)生正反或反正的情況，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．某超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)中設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、幸運(yùn)獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為0.3，中二等獎(jiǎng)的概率為0.2，不中獎(jiǎng)的概率為0.38，則中一等獎(jiǎng)的概率為（

）A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1【答案】C【分析】根據(jù)事件間的關(guān)系，利用概率公式，可得答案.【詳解】由于獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)，幸運(yùn)獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)四個(gè)事件是相互互斥的，且構(gòu)成事件為必然事件，故中一等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0．故選：C.3．在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”；②A：“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件為次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件為次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可得到結(jié)果.【詳解】在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，∵所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個(gè)事件中都包含2件次品，∴①中的兩個(gè)事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，∴②中的兩個(gè)事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時(shí)發(fā)生的，∴③中的兩個(gè)事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品與所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品兩件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故選：B．4．下列敘述正確的是（

）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一定越來越接近一個(gè)確定數(shù)值B．若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若事件A與事件B互斥，則SKIPIF1<0D．若事件A與事件B對(duì)立，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】選項(xiàng)A，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，并非越來越接近；選項(xiàng)B，SKIPIF1<0；選項(xiàng)C.事件A與事件B互斥，SKIPIF1<0；選項(xiàng)D，對(duì)立事件的概率和為1.【詳解】選項(xiàng)A，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，并不一定越來越接近這個(gè)確定數(shù)值，故A不正確；選項(xiàng)B，樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形，必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，即SKIPIF1<0，故B不正確；選項(xiàng)C.若事件A與事件B互斥，則它們不可能同時(shí)發(fā)生，即SKIPIF1<0發(fā)生則SKIPIF1<0一定不發(fā)生，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，不一定與SKIPIF1<0相等，故C不正確；選項(xiàng)D.若事件A與事件B對(duì)立，則SKIPIF1<0為必然事件，且事件A與事件B互斥，則SKIPIF1<0，故D正確.故選：D.5．在一個(gè)不透明的盒子中，放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)紅球，搖勻后，從中任意取出兩個(gè)球，下列說法與“取出的兩個(gè)球都是白球”是互斥但不是對(duì)立的事件是（

）A．取出兩球同色 B．取出的兩球異色C．取出的兩球至少有一個(gè)紅球 D．取出的兩球至少一個(gè)白球【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】記事件SKIPIF1<0“取出的兩個(gè)球都是白球”，事件SKIPIF1<0“取出的兩個(gè)球是1個(gè)白球和1個(gè)紅球”，事件SKIPIF1<0“取出的兩個(gè)球都是紅球”，可知事件SKIPIF1<0兩兩互斥，且樣本空間SKIPIF1<0，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)镾KIPIF1<0“取出兩球同色”，即事件“取出兩球同色”與“取出的兩個(gè)球都是白球”不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镾KIPIF1<0“取出的兩球異色”，即事件SKIPIF1<0互斥且不對(duì)立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镾KIPIF1<0“取出的兩球至少有一個(gè)紅球”，可知事件A與事件SKIPIF1<0為對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)镾KIPIF1<0“取出的兩球至少一個(gè)白球”，即事件“取出的兩球至少一個(gè)白球”與“取出的兩個(gè)球都是白球”不互斥，故D錯(cuò)誤；故選：B.6．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2【答案】C【分析】利用互斥事件加法公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A和B互斥，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．已知隨機(jī)事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互斥，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0對(duì)立，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【答案】B【分析】利用互斥事件性質(zhì)以及已知數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可求得SKIPIF1<0，再由對(duì)立事件性質(zhì)可得SKIPIF1<0.【詳解】由隨機(jī)事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互斥可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入計(jì)算可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0對(duì)立，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B8．從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，記“SKIPIF1<0件產(chǎn)品都是次品”為事件SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0件產(chǎn)品都不是次品”為事件SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0件產(chǎn)品不都是次品”為事件SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．任意兩個(gè)事件均互斥B．任意兩個(gè)事件均不互斥C．事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0對(duì)立D．事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0對(duì)立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念判斷即可.【詳解】從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，則可能情況有：SKIPIF1