新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題12 數(shù)列通項及數(shù)列前n項和求法（原卷版）

第第④SKIPIF1<02、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，SKIPIF1<0．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項相消法求和：如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負(fù)項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和．6、錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求.一、已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．20B．19C．18D．17【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、累加法求通項公式形如SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【典例3】若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．三、累乘法求通項公式形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】若SKIPIF1<0，則通項公式SKIPIF1<0.【典例2】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.四、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的遞推式，可構(gòu)造SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式SKIPIF1<0作差，由SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．【典例1】若數(shù)列SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為．【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為.五、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的遞推式，當(dāng)SKIPIF1<0時，兩邊同除以SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，兩邊人可以同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【典例2】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．六、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法通過配湊轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0【典例1】已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式．【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；【典例3】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為.七、取倒數(shù)法求通項對于SKIPIF1<0，取倒數(shù)得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為．八、裂項相消法求數(shù)列的前n項和1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負(fù)項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．2、裂項相消法中常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．97B．98C．99D．100【典例3】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．（2）若數(shù)列SKIPIF1<0的前m項和SKIPIF1<0，求m的值，九、錯位相減法求數(shù)列的前n項和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式．③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令SKIPIF1<0，可以用錯位相減法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【典例1】設(shè)SKIPIF1<0是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例2】記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.易錯點1由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0時忽略對“SKIPIF1<0”檢驗點撥：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項SKIPIF1<0與其前n項和SKIPIF1<0之間關(guān)系如下SKIPIF1<0，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當(dāng)題中給出數(shù)列｛SKIPIF1<0｝的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系時，先令SKIPIF1<0求出首項SKIPIF1<0，然后令SKIPIF1<0求出通項SKIPIF1<0，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令SKIPIF1<0求出通項SKIPIF1<0，也不對SKIPIF1<0進行檢驗?！镜淅?】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0