2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第3章 圓錐曲線與方程

第3章圓錐曲線與方程

(全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的)

1.已知點(diǎn)A(5,t)在拋物線y2=2px(p>0)±,若點(diǎn)A與拋物線的焦點(diǎn)F之間的距離等于8,則焦點(diǎn)

F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于()

A.2B.3C.6D.12

2.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(-3,0),F2(3,0),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),且PF,+PF2=10,那么橢

圓C的短軸長(zhǎng)是()

A.6B.7C.8D.9

2

3.動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)雙曲線x2-^-=l的左焦點(diǎn)且與直線x=2相切，則圓心M的軌跡方程是()

A.y-8xB.y--8xC.y-4xD.y--4x

4.已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點(diǎn),P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn),A(1,1)是一定點(diǎn)，則PA+|PF的最小

值為()

79

-B-

22

22一

5.已知雙曲線臺(tái)-3=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4V2,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線x=2py(p>0)的焦

點(diǎn)重合,直線y=kx-l與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行,則p=()

A.4B.3C.2D.1

22

6.設(shè)雙曲線孑-三=1的左、右焦點(diǎn)分別為F?F2I過(guò)F,的直線1交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn)，則

1612

AF2+BF2的最小值為()

A.20B.21C.22D.23

22

7.橢圓自+S=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),C是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)，若CF，AB,CF=AB,則橢圓的離心率6為()

A.V3-1B.2—y/3

C.V6-V3D.—

8.設(shè)A,B分別是雙曲線x2-^=l的左、右頂點(diǎn),設(shè)過(guò)P?,t）的直線PA,PB與雙曲線分別交于點(diǎn)

M,N,直線MN交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)Q的直線交雙曲線的右支于S,T兩點(diǎn),且頁(yè)=2所,則4BST的面

積為（）

.9V35口3V17

A.-------D.-------

164

「3V15「3

C.-------L）.—

82

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分）

9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F?F2在y軸上,且短軸長(zhǎng)為2,離心率為彳,過(guò)焦點(diǎn)用作y軸

的垂線,交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是（）

22

A.橢圓方程為骨x?=lB.橢圓方程為?y?=l

C.PQ=^D.△PF2Q的周長(zhǎng)為4V3

10.設(shè)F是拋物線C:yJ4x的焦點(diǎn),直線1過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),則

下列結(jié)論正確的是（）

A.AB24

B.0A+0B>8

C.若點(diǎn)P（2,2）,則PA+AF的最小值是3

D.A0AB的面積的最小值是2

11.已知入艮分別是雙曲線C:9-x2=l的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，

并且以線段FR為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±V2x

B.以FR為直徑的圓的方程為x?+y2=2

C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為土行

D.△MFF2的面積為百

12.已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P（l,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為|

B.過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線,交拋物線于另一點(diǎn)Q,則AORQ的面積為最

C.過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線的方程為x-2y+l=0

D.過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別交拋物線于另兩點(diǎn)M,N,則直線MN的斜率為定值

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

22

13.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則實(shí)數(shù)p的值

45

為.

14.一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(2,0),且與定圓B:x2+4x+y2-32=0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程

是.

15.如圖,在aABC中,AB=4,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),D為線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn),且DE=3V5,AB

是固定邊,在平面ABD內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)C,使AABC的內(nèi)切圓始終與AB切于線段BE的中點(diǎn)，且C,D

在直線AB的異側(cè),在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CD-CA取得最大值時(shí)，AABC的面積為.

16.已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)F(0,1)和定直線l:y=-l的距離之和等于3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，則

曲線C的一條對(duì)稱軸的方程是,PF的最小值是.(本題第一空3分,第二空2

分)

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

22一

17.(本小題滿分10分)(1)求與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

164

方程；

(2)已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=^,求m的值.

18.(本小題滿分12分)設(shè)拋物線T：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線1:x-my-n=0經(jīng)過(guò)F且與T交于A,B

兩點(diǎn).

⑴若AB=8,求m的值；

⑵設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A0與T的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C,求證:直線BC平行于x軸.

22

19.(本小題滿分12分)已知橢圓［+\=1內(nèi)有一點(diǎn)P(l,1),F為橢圓的右焦點(diǎn),M為橢圓上一

2516

點(diǎn).

(1)求MP-MF的最大值；

(2)求MP+MF的最大值；

(3)求使得MP+|MF的值最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

20.(本小題滿分12分)在平面xOy內(nèi)，已知點(diǎn)F(0,2),動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離比點(diǎn)P到x軸

的距離大2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)F任作一直線1與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線0A,0B與直線y=-2分別交于點(diǎn)M,N,求證:

以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.

21.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-2,0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線x=-4的垂線,垂

足為M,且而?AP=-4.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)A的直線1交曲線E于不同的兩點(diǎn)B,C.

①若B為線段AC的中點(diǎn)，求直線1的方程；

②設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,求4ACD的面積S的取值范圍.

22

22.(本小題滿分12分)已知半橢圓靠+/1(y>0,a>b>0)和半圓(+丁+(代0)組成曲線L.如

圖所示,半橢圓內(nèi)切于矩形ABCD,CD與y軸交于點(diǎn)G,點(diǎn)P是半圓上異于A,B的任意一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P

位于點(diǎn)M停,小)處時(shí),AAGP的面積最大.

⑴求曲線L的方程；

(2)連接PC,PD,分別交AB于點(diǎn)E,F,求證:AE'+BF?為定值.

答案全解全析

1.C由拋物線的定義可知，點(diǎn)A與拋物線的焦點(diǎn)F之間的距離為5+舁8,解得p=6,因此,焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距

離為6,故選C.

2.C設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為真+白(a>b>0).

依題意得,2a=10,；.a=5,又c=3,；.b三aJc2=16,即b=4,

因此橢圓的短軸長(zhǎng)是2b=8,故選C.

3.B記雙曲線x2-^=l的左焦點(diǎn)為F,則F(-2,0),動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)F且與直線x=2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離與到

其直線x=2的距離相等，由拋物線的定義知圓心M的軌跡是焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線,其方程為y2=-8x.

故選B.

4.C由橢圓5x2+9y2=45可得差+^=1,a2=9,b2=5,c2=9-5=4,A離心率e=^=|,PA+|PF=PA+抑,過(guò)A作左

準(zhǔn)線的垂線，垂足為B,如圖，，根據(jù)橢圓的第二定義,知LPF=PQ,則PA+：PF的最小值為AB的長(zhǎng),又AB=1+-=1+

e2c

/.PA+|PF的最小值為

5.A由拋物線xJ2py(p〉0)可知其焦點(diǎn)為(0,9,所以b4,又a=2位,所以雙曲線方程為9—胃=1,其漸近線方程

為y=±^=x.直線y=kx-l與雙曲線的一條漸近線平行，則不妨設(shè)k=品,由可得X、2P(品xR=

系x-2p,即--系x+2p=0,則A=(-^)Z-8p=0,解得p=4.故選A.

6.C由題意得,a=4,b=2V3,由雙曲線的定義可得AF2-AF,=2a=8,BF2-BF,=2a=8,所以AF2+BF2-(AF,+BFI)=16,由過(guò)雙

曲線的左焦點(diǎn)R的直線1交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn),可得AR+BF尸AB,即有AF2+BF2-(AF,+BF,)=AF2+BF2-AB=16,當(dāng)線

段AB是雙曲線的通徑時(shí),AB最短,所以AR+BF2=AB+16》9+16=午+16=22,故選C.

7.C設(shè)另一焦點(diǎn)為F',連接AF',BF',CF',則四邊形FAF'C為平行四邊形，.\AF=CF=AB,且AF'±AB,則△ABF'為

等腰直角三角形.

設(shè)AF'=AB=x,貝x+x+V2x=4a,即x=(4-2V2)a,AF'+AF=2a,AAF=(2V2-2)a.

在△AFF'中，由勾股定理得AF'2+AF=FF'2=(2C)2,

則(9-6&)a2=c)即e2=9-6V2,/.e=V6-V3,故選C.

8.A雙曲線x2g=l的左、右頂點(diǎn)分別為A(T,O),B(l,O).^.?pG，t),.^.直線PA的方程為x=誓l,直線PB的方程

%=型-1

為X=-^+l,聯(lián)立2f；可得品-i)y2一?=°-解得y=°或%梟，將歸黑代入x亭t可得x要捍即

X....3..-1

/27+4t236C\

\27-4t2127-4t2/

=一二+1

聯(lián)立?2y2”可得償-l)y2-口=0,

--=1

3

解得y=0或丫記、將yq%代入x=W+l,可得x=第，

3—3-4-2t3—

即目n、/-仁3-4產(chǎn)，尊12t\?

設(shè)Q(s,0),由M,N,Q三點(diǎn)共線,可得服=心,即有也出=",

XM-%N%N6

將M,N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)可得巧=,解得s=2,

9-4tz-3-4tz-s(3-4tz)

即Q(2,0),

設(shè)過(guò)Q的直線的方程為*F丫+2,

聯(lián)立卜一萬(wàn)一°得(3m2-1)y2+12my+9=0,貝!IA=144m;!-36(3m2-1)=36(m"+l)>0恒成立,

lx=my+2

設(shè)S3,yj,TG,y>,可得"y否-舄,yly2=就，

又貢=2行,2y=.y計(jì)—懸,可得W舄,祗2=-2加2=募解得

可得SA"瓶Q?|y-y2|=i|yl-y2|=R(yi+內(nèi)尸內(nèi)/

黜

=3%3x.故選A.

i埸16

9.ACD由已知得,2b=2,即b=l,士=底，又a2=b2+c2,.,.a2=3,

a3

橢圓方程為9+x2=l,

則PQ邛=專=竽,APF.Q的周長(zhǎng)為4a=4V3,故選ACD.

10.ACD易知F(l,0),不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限.

若直線1的斜率不存在,則A(1,2),B(1,-2),

此時(shí)AB=4,0A+0B=20A=2V5<8,此時(shí)SA1MB=1X4X1=2,故B錯(cuò)誤;

若直線1的斜率存在,設(shè)直線1的斜率為k,

顯然k#0,則直線1的方程為y=k(x-l),

聯(lián)立匕消去y>得k2x2-(2kM)x+kM,

24

設(shè)A(xi,yj,B(x2,y2),則xi+xj-^=2+專，

AB=Xi-*-x+2=4+—4>4,

2fcz

原點(diǎn)0到直線1的距離d=*,

Vfc2+1

XABxd=：X(4+^x-^==2J1+專>2,

綜上,AB24,SAOMN2,故A正確，D正確；

如圖,過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線,垂足為N,則PA+AF=PA+AN,

故當(dāng)P,A,N三點(diǎn)共線時(shí),PA+AF取得最小值,最小值為3,故C正確.

故選ACD.

11.AD由雙曲線方程。-x'l知a=V2,b=l,焦點(diǎn)在y軸上,漸近線方程為y=±^x=+V2x,A正確；c=>/由+廬=

2b

V3,以FR為直徑的圓的方程是x2+y2=3,B錯(cuò)誤;由尸+1=3,得廠】片或『=-4由［/+y2=3,得

｛；_:/或所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是±1，C錯(cuò)誤;S/XMF12=1p|F2,lx?l=1x2V3x1=V3,D正確.故選AD.

12.BCD因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(l,1),所以P=p所以拋物線方程為y2=x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為6,0),記Fg,O).對(duì)于

A,PE=1+；=?故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,k“W，所以直線PF的方程為與y2=x聯(lián)立,并消去x,得4y2-3y-l=0,所以

4433\4/

yp+y。弓,yPyQ=一：,所以SAEgOF?yr-yoxxJ(yp+M故B正確?

對(duì)于C,依題意知斜率存在,設(shè)直線方程為yT=k(xT),與/=x聯(lián)立,得ky2-y+l-k=O,

令"ikd-lOR,解得k苫(二重根)，所以切線方程為x-2y+l=0,故C正確.對(duì)于D,依題意知斜率存在,設(shè)

22

L.“:yT=k'(x-1),與y=x聯(lián)立,并消去X,得k'產(chǎn)y+1-k'=0,所以％+1噎即y/-l,貝ijxu=Q-l),所以點(diǎn)

M(G-I)文1)?同理，得N((擊1)，擊1)，

/1(61)_

所以1二故D正確.故選BCD.

(卻)，令1)2

13.答案6

解析二?雙曲線的方程為一■-^-=1,.*.a2=4,b2=5,可得c=Va24-b2=3,

45

因此雙曲線^—的右焦點(diǎn)為(3,0),

45

???拋物線y'2Px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，，舁3,解得p=6.

14.答案?+?=1

解析圓B的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x+2)z+y?=36,則其半徑為6.

如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),與定圓B的切點(diǎn)為C.

由圖知，定圓的半徑與動(dòng)圓的半徑之差等于兩圓圓心之間的距離，即BC-MC=BM,又BC=6,所以BM+CM=6,因?yàn)镸A=MC,

所以BM+MA=6,由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以B(-2,0),A(2,0)為焦點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)0(0,0)為中心的橢圓.設(shè)

橢圓方程為m+g=l(a>b>0),則a=3,c=2,=逐,所以圓心M的軌跡方程是1+4=1.

D495

15.答案6V5

解析以AB所在直線為x軸,DE所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(荏的方向?yàn)閤軸正方向,反的方向?yàn)閥軸

正方向),則A(-2,0),B(2,0),不妨設(shè)D(0,-3V5),AABC的內(nèi)切圓切AC,AB,BC分別于G,H,F,則

CA-CB=AG-BF=AH-HB=2〈4=AB,；.C點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不含與x軸的交點(diǎn))，且

a=l,c=2,bJc—aF,；.C點(diǎn)的軌跡方程為x2-^=l(x>l).

*/CA-CB=2,ACA=CB+2,則CD-CA=CD-CB-2,

則當(dāng)C為線段BD與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí),CD-CA最大,BD所在直線的方程為9-舒1,即3而x-2y-6逐=0.

(3V5x-2y-6V5=0,_

聯(lián)立，外解得y=3V5

(x-T=1-c;

AABC的面積S=1x4x3V5=6V5.故答案為6曲.

16.答案x=0;1

解析設(shè)P(x,y),由題意可得PF+1y+11=3,即尸而可+ly+H=3,

當(dāng)Iy+11>3,即y>2或y<-4時(shí),等式無(wú)法成立;

當(dāng)TWyW2時(shí),J/+（y-l）2=2-y,則x2=-2y+3（-l^y<|）,此時(shí)曲線C的一條對(duì)稱軸的方程是

x=0,PF=Vx2+（y-l）2=2-y,由TWyW|,得產(chǎn)2-yW3,即此時(shí)PF的最小值是今

當(dāng)-4Wy〈-l時(shí),yjx2+（y-l）2=y+4,則x2=10y+15（-|<y<-1）,此時(shí)曲線C的一條對(duì)稱軸的方程是

x=0,PF=Jx2+（y-l）2=y+4,由一|Wy〈7,得|Wy+4〈3,即此時(shí)PF的最小值是|.

綜上，曲線C的一條對(duì)稱軸的方程是x=0,PF的最小值是今

17.解析⑴?：所求雙曲線與雙曲線最一胃=1有相同焦點(diǎn)，

164

???設(shè)所求雙曲線的方程為工一*=1（-4〈人<16且AWO）,（2分）

16—A4+A

;所求雙曲線過(guò)點(diǎn)（3企,2）,

.?.魯一六=1,；2=4或N=T4（舍去）.（4分）

16-A4+A

所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為最-4=1.（5分）

128

（2）橢圓方程可化為立4--^=i（m>0）,（6分）

m--

m(?n+2)->0,(8分)

/.a"=m,b"=-^-,c=Va2-b2=im(m+2)

由e=?得用i=T-解得m=L(10分)

18.解析設(shè)A(xi,yj,B(X2,ye).

(1)由題意知F(l,0),將(1,0)代入x-my-n=0,得n=l,

故直線1的方程為x=my+l,將其代入y2=4x,得y2-4my-4=0,

所以yi+yz=4m,y?z=-4,(3分)

2222

所以AB=V(Xi-x2)+(yt-y2)=y/(m+l)[(yj+y2)-4y1y2]=4(nr'+D=8,

解得m=±l.(6分)

(2)證明:拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=T,設(shè)C(T,門)，易得直線OA的方程為y=^x,

X1

由點(diǎn)C在直線0A上，得y#=一工由⑴知yk4,即y一工

xiyiyi

所以y3=y2,即B,C的縱坐標(biāo)相等,故直線BC平行于x軸.（12分）

19.解析⑴由題意得￡=25,b2=16,所以c2=9,即F（3,0）,當(dāng)點(diǎn)M,F,P三點(diǎn)不共線時(shí),MP-MFVPF;如圖1,當(dāng)M,F,P

三點(diǎn)共線時(shí),MP-MF=PF,即MP-MFWPF,所以MP-MF的最大值是PE=V（3-1）2+（0-I）2=V5.

/鋁，4

（4分）

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為R,則F,（-3,0）,根據(jù)橢圓的定義可知MF=2a-MF:故MP+MF=MP-MF,+2a^PFl+2a,如圖2,當(dāng)

P,三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

又PF,=V（-3-l）2+（0-I）2=V17,所以MP+MF的最大值是VT7+10.

（8分）

⑶橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=^,設(shè)橢圓上的點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為d,因?yàn)轶?所以MF=|d,MP+/F=MP+d,如圖

3a553

3,MP+d的最小值是點(diǎn)P到直線x號(hào)的距離,即g-1=等所以MP+|MF的最小值是等此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是1,代入

橢圓方程可得X、產(chǎn)字,所以MP+jMF的值最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（字」）.

（12分）

20.解析（1）：動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大2,

???動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的距離等于點(diǎn)P到直線y=-2的距離，

故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=8y.（4分）

（2）證明：易知直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,A（%i，%）,B（%2，胃），

則lo*:yqx,lOB:y=*,由一啜得'（色,-2）,

同理可得N（^,-2）,：.FM=管,-4）,麗=管㈤,（8分）

2

由巴卜：+2'得x-8kx-16=0,所以x1x2=-16,

則麗?麗=(^,-4)?管㈤=￡x段+(-4)x(-4)=16+=16+即FM±FN,

因此，以