2011年高考解析幾何復(fù)習(xí)策略

PAGEPAGE32011年富源縣第一中學(xué)高考解析幾何復(fù)習(xí)策略李華老師一考試要求：=1\*Arabic1．直線和圓的方程考試內(nèi)容：直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．考試要求：（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．（6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．=2\*ROMANII．圓錐曲線方程考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．了解橢圓的參數(shù)方程．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．考試要求：（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．特別注意：2011年高考數(shù)學(xué)考試大綱修訂說(shuō)明中文科的直線和圓的方程部分，將原考試要求中的“(6)掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的參數(shù)方程”改為“(6)掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程”。文科的圓錐曲線方程部分，將原考試要求中的“(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).理解橢圓的參數(shù)方程”改為“(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).了解橢圓的參數(shù)方程”。高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題,1個(gè)填空題,1個(gè)解答題)，共計(jì)30分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右。其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí)。解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)和向量的基本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。二、重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)直線與圓（共3課時(shí)）問(wèn)題1：求直線方程.常用待定系數(shù)法，即根據(jù)已知條件，首先確定采用直線方程的形式，然后確定其中相關(guān)的待定常數(shù)，如斜率、截距等.例1．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,1），且直線l＇：x-2y+4=0的夾角為，求直線l的方程.思路分析：在l的斜率存在的前提下，可采用點(diǎn)斜式方程，若l的斜率不存在，則可直接寫出方程.

解：若直線l的斜率存在，設(shè)其為k，則∴這時(shí)直線l的方程為3x+4y-11=0.若直線l的斜率不存在，其方程為x=1，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，這時(shí)它與l＇的夾角為.因此，直線l的方程為3x+4y-11=0或x=1.點(diǎn)評(píng)：涉及用點(diǎn)斜式求直線方程的問(wèn)題，一定要注意其斜是否存在；用截距式求方程時(shí)要討論直線是否過(guò)原點(diǎn).演變1：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角邊BC在直線2+3y-6=0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5，4)，求邊AB和AC所在的直線方程點(diǎn)撥與提示：利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠ABC＝45°，再利用夾角公式，求得直線AB的斜率，進(jìn)而求得了直線AB的方程問(wèn)題2：兩直線的位置關(guān)系利用兩條直線平行或垂直的條件判定它們平行或垂直，由直線到直線的角和夾角公式求直線到直線的角和夾角.例2拋物線有光學(xué)性質(zhì)由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0)一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l2x－4y－17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示)(1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明y1·y2=－p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析：對(duì)稱問(wèn)題是直線方程的又一個(gè)重要應(yīng)用本題是一道與物理中的光學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合性題目，考查了韋達(dá)定理，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)式方程等知識(shí)點(diǎn)及理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力解：(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－)①由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達(dá)定理，y1y2=－p2當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時(shí)，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y(tǒng)1·y2=－p2(2)解因?yàn)楣饩€QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(x′,y′)，則解得直線QN的方程為y=－1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2=－1，由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知y1·y2=－p2,則4·(－1)=－p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x(3)解將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1)由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y－12=0,設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對(duì)稱點(diǎn)M1(x1,y1)又M1(,－1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對(duì)稱解題回顧：在證明第(1)問(wèn)題，注意討論直線PQ的斜率不存在時(shí)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱是解決第(2)、第(3)問(wèn)的關(guān)鍵演變1：在ΔABC中，BC邊上的高所在的直線方程是x─2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).點(diǎn)撥與提示：根據(jù)條件分析出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解，是解決此題的關(guān)健.問(wèn)題3：線性規(guī)劃及應(yīng)用準(zhǔn)確找出及表示出已知條件下的線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，利用線性約束條件所表示的平面區(qū)域，找出最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.例3：畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點(diǎn)的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值思路分析：本例含三個(gè)問(wèn)題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆鰽BC區(qū)域直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（1，1），分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0因此所求區(qū)域的不等式組為作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=x－t過(guò)A（3，－1）時(shí)，縱截距－t最小此時(shí)t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當(dāng)直線y=x－t經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－1，1）時(shí)，縱截距－t最大，此時(shí)t有最小值為tmin=3×（－1）－2×1=－5因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5點(diǎn)評(píng)：確定一個(gè)點(diǎn)是否在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，只要將該點(diǎn)代入不等式，若滿足該不等式，則點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)；若不滿足不等式，則該點(diǎn)就不在區(qū)域內(nèi).演變3：實(shí)系數(shù)方程f（x）=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，求：（1）的值域；（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；（3）a+b－3的值域點(diǎn)撥與提示：由f（x）=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，得到關(guān)于a,b的不等式組來(lái)求解.問(wèn)題4：圓的方程的求法根據(jù)已知條件先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法.例4：條件：(1)截軸弦長(zhǎng)為2.(2)被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3:1在滿足(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線距離最小時(shí)圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為：，則由截軸的弦長(zhǎng)為2得由被軸分成兩段圓弦，其弧長(zhǎng)之比為，∴圓心到直線的距離即當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)，取“=”∴，此時(shí)所以，所求圓的方程為或點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，其中條件（1）和（2）的轉(zhuǎn)化要注意利用圓的幾何性質(zhì)，只有這樣才能既直觀又準(zhǔn)確地寫出其代數(shù)關(guān)系式.演變4：一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線:相切于點(diǎn)M（）,求該圓的方程點(diǎn)撥與提示：用待定系數(shù)法.問(wèn)題5：直線與圓的位置關(guān)系利用它們的方程聯(lián)立的方程組的解的情況（稱為代數(shù)方程）或利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系（稱之為幾何方程）來(lái)求解.例5：一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P被圓截得的弦長(zhǎng)為8,求此弦所在直線方程思路分析：利用圓中“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成直角三角形可解.解:(1)當(dāng)斜率k不存在時(shí),過(guò)點(diǎn)P的直線方程為,代入,得.∴ 弦長(zhǎng)為,符合題意(2)當(dāng)斜率k存在時(shí),設(shè)所求方程為,即由已知,弦心距,解得所以此直線方程為,即所以所求直線方程為或點(diǎn)評(píng):關(guān)于圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題,可用幾何法從半徑、弦心距、半弦所組成的直角三角形求解,也可用代數(shù)法的弦長(zhǎng)公式求解本題還要注意,斜率不存在時(shí)直線符合題意演變5：自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程點(diǎn)撥與提示：求切線問(wèn)題,可利用圓心到切線的距離等于圓的半徑來(lái)求解.若由“”求切線方程，過(guò)程要復(fù)雜些演變6：如果實(shí)數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值點(diǎn)撥與提示:（1）用圓的切線的性質(zhì)來(lái)求解，（2）由圓的參數(shù)方程設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，代入2x-y，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.演變答案及點(diǎn)撥演變1：直線BC的斜率kBC＝－，∵直線AC與直線BC垂直，∴直線AC的方程為y－4＝（－5）即3－2y－7＝0∵∠ABC＝45°，∴kAB＝－5或kAB＝∴AB邊所在的直線方程為:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5）即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0演變2：由A(─1,0)又kAB=1,∵x軸是∠A的平分線,∴kAC=─1，∴AC:y=─(x+1),又kBC=─2,∴BC:y─2=─2(x─1)由C(5,─6)演變3：由題意知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0如圖所示A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）演變4:已知圓方程化為:,其圓心P（1,0）,半徑為1設(shè)所求圓的圓心為C（a,b）,則半徑為,因?yàn)閮蓤A外切,,從而1+(1)又所求圓與直線：相切于M(),直線,于是,即（2）將（2）代入（1）化簡(jiǎn),得a2-4a=0,a=0或a=4當(dāng)a=0時(shí),,所求圓方程為當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為演變5：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C‘的方程為，其圓心C‘（2，-2），則與圓C’相切，設(shè):y-3=k(x+3),，整理得12k2+25k+12=0,解得或，所以所求直線方程為y-3=(x+3)或y-3=(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0演變6:（1）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率的最大值,由圖形性質(zhì)可知,由原點(diǎn)向圓作切線,其中切線斜率的最大值即為的最大值設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為y=kx,即kx-y=0,由,解得或（2）x,y滿足,另法：應(yīng)用線性規(guī)劃的思路，如圖，2x-y的最小值或最大值就在直線2x-y＝b與圓的切點(diǎn)處達(dá)到.由,解得或?qū)ｎ}小結(jié)1、求直線方程，常用待定系數(shù)法，即根據(jù)已知條件，首先確定采用直線方程的形式，然后確定其中相關(guān)的待定常數(shù)，如斜率、截距等.在注意斜率不存在情形.2、兩直線的位置關(guān)系問(wèn)題，利用兩條直線平行或垂直的條件判定它們平行或垂直，由直線到直線的角和夾角公式求直線到直線的角和夾角.3、線性規(guī)劃及應(yīng)用問(wèn)題，要準(zhǔn)確找出及表示出已知條件下的線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，利用線性約束條件所表示的平面區(qū)域，找出最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.4、求圓的方程，先根據(jù)已知條件先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法.要注意圓的幾何性質(zhì)在解題中的運(yùn)用.5、直線與圓的位置關(guān)系，利用它們的方程聯(lián)立的方程組的解的情況（稱為代數(shù)方程）或利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系（稱之為幾何方程）來(lái)求解.圓錐曲線（共5課時(shí)）問(wèn)題1：求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程等.利用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的a，b，p等.例1．設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為－4，求此橢圓方程、離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.思路分析：設(shè)所求橢圓方程為或.根據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c方程組，從而求出a,b,c的值，再求離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.解：設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為或，離心率；準(zhǔn)線方程，兩準(zhǔn)線的距離為16.點(diǎn)評(píng)：充分認(rèn)識(shí)橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān).演變1：如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程點(diǎn)撥與提示本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程，利用點(diǎn)P在曲線上和△P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個(gè)方程，從而求出a、b的值問(wèn)題2：圓錐曲線的幾何性質(zhì)由方程來(lái)討論其性質(zhì).例2：設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F(xiàn)1不是直角頂點(diǎn)，所以只要對(duì)P、F2中哪一個(gè)是直角頂點(diǎn)分兩種情況即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，若∠PF2F1為直角，則｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，這時(shí).若∠F2PF1為直角，則｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，這時(shí).解法2：由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1為直角，則P（），這時(shí)｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，這時(shí).若∠PF2F1為直角，則由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，這時(shí).點(diǎn)評(píng)：由橢圓的方程，熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)（如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對(duì)考試必備的基本功；在解法2中設(shè)出了P點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，還可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex來(lái)求解.演變2：已知雙曲線的方程為,直線通過(guò)其右焦點(diǎn)F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線的左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，求|F1A|·|F1B|的最小值點(diǎn)撥與提示：由雙曲線的定義得：|AF1|=(x1+)=x1+2，|BF1|=x2+2,|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4，將直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立消元，得x1+x2=,x1x2=─.本題要注意斜率不存在的情況.問(wèn)題3：有圓錐曲線的定義的問(wèn)題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.例3：已知某橢圓的焦點(diǎn)F1（－4,0），F(xiàn)2（4,0），過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為B，且＝10，橢圓上不同兩點(diǎn)A（x1,y1）,C(x2,y2)滿足條件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).思路分析：因?yàn)橐阎獥l件中涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以可以從橢圓的定義入手.解：（1）由橢圓的定義及已知條件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故橢圓的方程為.由點(diǎn)B（4，y0）在橢圓上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率.所以根據(jù)橢圓的第二定義，有.因?yàn)椋麱2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差數(shù)列，＋，所以：x1+x2=8,從而弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對(duì)于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).演變3：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1，其右焦點(diǎn)F2和右準(zhǔn)線分別是拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)線.⑴求橢圓C的方程；⑵若點(diǎn)P為橢圓上C的點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，求點(diǎn)P到x軸的距離；⑶若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)求點(diǎn)P的取值范圍.點(diǎn)撥與提示：本題主要復(fù)習(xí)圓錐曲線的基本知識(shí)，待定系數(shù)法和定義法等通性通法的運(yùn)用.根據(jù)拋物線確定拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解題時(shí)注意橢圓的定義的運(yùn)用.問(wèn)題4：直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證明.例4：拋物線C的方程為，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（Ⅲ）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.思路分析：將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達(dá)定理來(lái)求解.解：（Ⅰ）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為．點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將②式代入①式得，于是，故③又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將⑤式代入④式得．于是，故．由已知得，，則．⑥設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則．將③式和⑥式代入上式得，即．∴線段的中點(diǎn)在軸上．（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為．由③式知，代入得．將代入⑥式得，代入得．因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，．于是，，．因?yàn)殁g角且、、三點(diǎn)互不相同，故必有．求得的取值范圍是或．又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即點(diǎn)評(píng)：解析幾何解題思維方法比較簡(jiǎn)單，但對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，平時(shí)練習(xí)要注意提高自己的運(yùn)算能力.演變4.(05年重慶)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.問(wèn)題5：軌跡問(wèn)題根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說(shuō)明軌跡的位置、形狀、大小等特征.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，求軌跡是根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說(shuō)明軌跡的位置、形狀、大小等特征.。求軌跡方程常用的方法有：直譯法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等。求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性例6．已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程； （2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 分析：本題考察圓的性質(zhì)與直線的方程，以及平面幾何知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用。解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得解題回顧：有關(guān)圓的問(wèn)題，往往要運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如弦中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在直線垂直等，適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。點(diǎn)評(píng)：本題命題意圖是考查解析幾何中求軌跡方程的方法,考查建立坐標(biāo)系,數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,勾股定理,兩點(diǎn)間距離公式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),及分析推理、計(jì)算化簡(jiǎn)技能、技巧等.演變7：已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線演變8：如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程點(diǎn)撥與提示：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程演變7：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0)設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡(jiǎn)得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點(diǎn)M的軌跡是以(－，0）為圓心，為半徑的圓演變8設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程例5.（05年江西）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB.（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡思路分析：（1）由直線MF（或ME）方程與拋物線方程組成的方程組解出點(diǎn)F和點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用斜率公式來(lái)證明；（2）用M點(diǎn)的坐標(biāo)將E、F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，進(jìn)而表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，消去y0即得到G的軌跡方程（參數(shù)法）.OABEFM解：（1）設(shè)M（y,y0），直線MEOABEFM則直線MF的斜率為－k，方程為∴由，消解得∴(定值)所以直線EF的斜率為定值.（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x,y），則有消去參數(shù)得點(diǎn)評(píng)：這是一道重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題,幾乎是高考數(shù)學(xué)每年的必考內(nèi)容之一,此類問(wèn)題一定要“大膽假設(shè),細(xì)心求解”,根據(jù)題目要求先將題目所涉及的未知量都可以設(shè)出來(lái),然后根據(jù)題目把所有的條件都變成等式,一定可以求出來(lái),當(dāng)然求的過(guò)程中,采取適當(dāng)?shù)男〖记?例如化簡(jiǎn)或適當(dāng)分類討論,可以大為簡(jiǎn)化過(guò)程,而且會(huì)盡量多多得分,同時(shí)這一類題目也需要很強(qiáng)的計(jì)算能力.演變5：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（Ⅲ）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)撥與提示：本題在求點(diǎn)T的軌跡用的是代入法：即用T點(diǎn)的坐標(biāo)將Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再代入Q所滿足的曲線方程即可.問(wèn)題6：與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值問(wèn)題建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定值、最值問(wèn)題.例6：點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.OF2F1AOF2F1A2A1PM[解]（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(0,4)設(shè)點(diǎn)P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)(2)直線AP的方程是－+6=0.設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離有,由于－6≤≤6,∴當(dāng)=時(shí),d取得最小值點(diǎn)評(píng)：解決有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)，首先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚ㄈ琰c(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等），建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和方法求解.演變6：（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)．點(diǎn)撥與提示：（1）待定系數(shù)法；（2）利用夾角公式將∠F1PF2的正切值用y0表示出來(lái)，利用基本不等式求其最值.演變7：（05年全國(guó)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.點(diǎn)撥與提示：（1）將AB的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程組，然后求解；（2）將M點(diǎn)的坐標(biāo)用A、B的坐標(biāo)表示出來(lái)，代入到橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解.問(wèn)題7：與圓錐曲線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題利用中心對(duì)稱以及軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)來(lái)求解或證明.例7：過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程思路分析：本題是典型的求圓錐曲線方程的問(wèn)題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式，再利用對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分來(lái)列式求解；解法二，用韋達(dá)定理解法一由e=,得,從而a2=2b2,c=b設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0)，則kAB=－，又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1，kAB=－1，設(shè)l的方程為y=－x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′,y′),由點(diǎn)(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=∴所求橢圓C的方程為=1,l的方程為y=－x+1解法二由e=,從而a2=2b2,c=b設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－直線ly=x過(guò)AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=－1若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一點(diǎn)評(píng)：本題利用對(duì)稱問(wèn)題來(lái)考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題，成為解決本題的關(guān)鍵.注意在設(shè)直線方程時(shí)要對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行討論.演變8：（05年湖南）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.點(diǎn)撥與提示：（1）由A、B的坐標(biāo)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)（x0,y0），代入橢圓的方程即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)|PF1|=|F1F2|來(lái)求λ的值.演變答案及點(diǎn)撥演變1：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0)設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡(jiǎn)得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點(diǎn)M的軌跡是以(－，0）為圓心，為半徑的圓演變2設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程演變3：以O(shè)為原點(diǎn)，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9，故雙曲線方程為=1演變4：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，A到雙曲線的左準(zhǔn)線x=─=─的距離d=|x1+|=x1+，由雙曲線的定義，=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4(1)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(,0),(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線AB的方程為：y=k(x─)，由消去y得(1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,∴x1+x2=,x1x2=─,代入(1)整理得|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+∴|F1A|·|F1B|>;(2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，容易算出|AF2|=|BF2|=,∴|AF1|=|BF1|=2a+=(雙曲線的第一定義),∴|F1A|·|F1B|=由(1),(2)得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)|F1A|·|F1B| 取最大值演變5：⑴拋物線的頂點(diǎn)為(4,0)，準(zhǔn)線方程為,設(shè)橢圓的方程為,則有c=4，又，∴∴橢圓的方程為⑵設(shè)橢圓內(nèi)切圓的圓心為Q，則設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，則∴.⑶設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，由橢圓的第二定義得：由∠F1PF2為鈍角知：∴即為所求.演變6：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為由已知得故雙曲線C的方程為（Ⅱ）將由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即①設(shè)，則而于是②由①、②得故k的取值范圍為演變7：（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時(shí)，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則，因此① 由得②將①代入②，可得③④綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是③④（Ⅲ）解法C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是： 由④得上式代入③得 于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M. 當(dāng)時(shí)，記， 由知，所以演變8：（Ｉ）設(shè)橢圓方程為（），半焦距為c,則,,由題意，得,解得，故橢圓方程為（II）設(shè)P(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),，只需求的最大值即可.直線的斜率，直線的斜率當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大，演變9：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為 化簡(jiǎn)得. 令則 共線，得又，∴∴即，∴∴，故離心率為（II）證明：由（I）知，所以橢圓可化為.設(shè)，由已知得 在橢圓上， 即① 由（I）知∴ ∴又又，代入①得故為定值1.演變10：（Ⅰ）因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以即解得（Ⅱ）解：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得從而于是.即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.專題小結(jié)1、求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認(rèn)識(shí)橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān).2、涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對(duì)于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證明.4、對(duì)于軌跡問(wèn)題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說(shuō)明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5、與圓錐曲線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題，利用中心對(duì)稱以及軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)來(lái)求解或證明.三、典型例題分析（包括分析、求解、回顧）第一課時(shí)直線與圓【例1】函數(shù)y=asinx+2bcosx圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=eq\f(π,4)，則直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0夾角大小為（B）A．a(chǎn)rctan3B．a(chǎn)rctanC．a(chǎn)rctan D．π－arctan（－3）分析：由題意知，整理得（a－2b）2=0，a=2b，－eq\f(a,b)=－2，即ax+by+1=0的斜率為－2，x+y+2=0的斜率為－1，兩直線夾角的正切值tanα=eq\f(-2-(-1),1+(-2)×(-1))=eq\f(1,3)，故選B．變式題函數(shù)y=asinx－bcosx的一條對(duì)稱軸方程為x=eq\f(π,4)．則直線ax－by+c=0的傾斜角為（）A．45°B．60°C．120°D．135°【例2】實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，則w=eq\f(y-1,x+1)的取值范圍是（D）A．［－1，eq\f(1,3)］B．［－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)］C．［－eq\f(1,2)，+∞］D．［－eq\f(1,2)，1］分析：點(diǎn)（x，y）在圖4－16－1中陰影部分，w=eq\f(y-1,x+1)表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)A（－1，1）連線的斜率，l1為斜率k1=kAB=－eq\f(1,2)．l2與x－y=0平行，∴w∈［－eq\f(1,2)，1］【例2備選題】已知有三個(gè)居民小區(qū)A、B、C構(gòu)成三角形ABC，這三個(gè)小區(qū)分別相距BC=800m、AB=700m、AC=300m，為解決居民就業(yè)、服務(wù)小區(qū)生活，在與A、B、C三個(gè)小區(qū)距離相等處建造一個(gè)食品加工廠，同時(shí)為了不影響小區(qū)居民的正常生活和休息，在廠房的四周需要安裝隔音窗或建造隔音圍墻．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，機(jī)器從廠房發(fā)出的噪音是85分貝，而維持居民正常生活和休息時(shí)的噪音不得超過(guò)50分貝，每安裝一道隔音窗降低3分貝，花費(fèi)3萬(wàn)元．隔音窗不能超過(guò)3道；每建造一堵隔音墻降低15分貝，花費(fèi)10萬(wàn)元；距離廠房平均每25m噪音均勻降低1分貝．（1）求加工廠距A區(qū)的距離；（≈1.732，精確到1m）（2）怎樣建造隔音設(shè)備，使其隔音設(shè)備成本最低？【例3】拋物線有光學(xué)性質(zhì)由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0)一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l2x－4y－17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示)(1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明y1·y2=－p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析：對(duì)稱問(wèn)題是直線方程的又一個(gè)重要應(yīng)用本題是一道與物理中的光學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合性題目，考查了韋達(dá)定理，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)式方程等知識(shí)點(diǎn)及理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力解：(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－)①由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達(dá)定理，y1y2=－p2當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時(shí)，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y(tǒng)1·y2=－p2(2)解因?yàn)楣饩€QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(x′,y′)，則解得直線QN的方程為y=－1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2=－1，由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知y1·y2=－p2,則4·(－1)=－p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x(3)解將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1)由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y－12=0,設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對(duì)稱點(diǎn)M1(x1,y1)又M1(,－1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對(duì)稱解題回顧：在證明第(1)問(wèn)題，注意討論直線PQ的斜率不存在時(shí)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱是解決第(2)、第(3)問(wèn)的關(guān)鍵【例4】已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 分析：本題考察圓的性質(zhì)與直線的方程，以及平面幾何知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用。解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得解題回顧：有關(guān)圓的問(wèn)題，往往要運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如弦中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在直線垂直等，適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。第二課時(shí)圓錐曲線的基本問(wèn)題【例5】已知橢圓C1∶=1的一條通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）與拋物線C2：y2=2px（p＞0）的通徑重合，則橢圓的離心率為（A）A．eq\r(2)－1B．C．eq\r(3)－1D．分析：由已知得=2p，c=，則b2=2ac，∴a2－c2=2ac，∴1－e2=2e，即e2+2e－1=0，則e=eq\r(2)－1，故選A．【例5備選題】（2005年·全國(guó)卷Ⅱ）已知雙曲線=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為（）A． B．C．D．【例6】雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|為（）.A、B、C、D、8分析:利用雙曲線定義，∵AB在左支上，∴|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,又∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|∴2|AB|-|AB|=4a.|AB|=4a,而得，∴，選A.解題回顧：利用好定義，是解圓錐曲線基本問(wèn)題的方法之一?！纠?備選題】1、設(shè)F1、F2為橢圓兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若∠PF1F2=5∠PF2F1，則橢圓離心率為（）.A、B、C、D、分析:P在以F1F2為直徑的圓上，則∠F1PF2=90，而∠PF1F2=5PF2F1，∴∠PF1F2=75，∠PF2F1=15，∴，，而|PF2|+|PF2|=2a,∴.2、F1、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為（）.A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線分析:延長(zhǎng)F2P交F1Q的延長(zhǎng)線為M，由橢圓定義及角平分線，∵∴|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,則點(diǎn)M(x0,y0)的軌跡方程為①設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),∵P為F2M中點(diǎn)，∴，代入①，得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2,選A.3、雙曲線的左支上一點(diǎn)P，⊙O'為ΔPF1F2的內(nèi)切圓，則圓心O'的橫坐標(biāo)為（）.A、aB、-aC、D、分析:設(shè)PF1，PF2，F(xiàn)1F2與內(nèi)切圓⊙O'的切點(diǎn)分別為M，N，Q，由雙曲線定義，∵|PF2|-|PF1|=2a,∴|PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a,而|DN|=|PM|，|MF1|=|QF1|,|NF2|=|QF2|∴|QF2|-|QF1|=2a又|QF2|+|QF1|=2c,∴|QF2|=a+c=c-xQ,∴xQ=-a,∵O'Q⊥F1F2,∴xQ'=xQ=-a，選B.【例7】（02北京）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是（）分析：本題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，即橢圓、雙曲線焦點(diǎn)求法和雙曲線漸近線方程求法.由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓焦點(diǎn)，雙曲線焦點(diǎn)，∴，∴，又∵雙曲線漸近線為.∴代入，，得，∴選D.【例7備選題】1、（02全國(guó)文11）設(shè)，則二次曲線x2cotθ-y2tanθ=1的離心率的取值范圍為（）分析：本題主要考察三角函數(shù)和二次曲線的基本知識(shí)以及基本的推理計(jì)算技能.有一定的綜合性，涉及的知識(shí)面比較大.解一：因?yàn)?，所以cotθ>0，tanθ>0，方程所表示的二次曲線是雙曲線，離心率必然大于1.從而排除A、B、C，得D.解二：依題設(shè)知二次曲線是雙曲線，半實(shí)軸長(zhǎng)a和半虛軸長(zhǎng)b分別為，.所以半焦距，離心率為，因?yàn)?，所以e的取值范圍為，選D.2、（湖北卷）雙曲線離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為 （A） A． B． C． D．【例8】（江西卷）以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中： ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線； ②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓； ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線有相同的焦點(diǎn). 其中真命題的序號(hào)為③④（寫出所有真命題的序號(hào)）分析（略）第三課時(shí)求曲線方程的方法說(shuō)明：求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念【例9】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程分析：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程可利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，解設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程解題回顧：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程【例10】設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線分析：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程及直線與拋物線的位置關(guān)系解法一設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法二設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過(guò)定點(diǎn)，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法三設(shè)M(x,y)(x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓……①上，又在以O(shè)B為直徑的圓……②上（O點(diǎn)除外），①+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解題回顧：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系【例10備選題】已知直線l：y=mx+1與曲線C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B兩點(diǎn)．（1）設(shè)eq\o(OP,\s\up5(→))=eq\o(OA,\s\up5(→))+eq\o(OB,\s\up5(→))，當(dāng)a=－2時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）是否存在常數(shù)a，對(duì)于任意m∈R，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=－2？如果存在，求出a的值；如果不存在，說(shuō)明理由．（3）是否存在常數(shù)m，對(duì)任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))為常數(shù)？如果存在，求出m的值；如果不存在，說(shuō)明理由．【解】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則eq\o(OP,\s\up5(→))=eq\o(OA,\s\up5(→))+eq\o(OB,\s\up5(→))=（x1+x2，y1+y2）由eq\b\lc\{(\a\ac(y=mx+1,-2x2+y2=2))消去y，得（m2－2）x2+2mx－1=0①依題意有eq\b\lc\{(\a\a(m2-2≠0,,Δ=(2m)2+4(m2-2)＞0.))解得m2＞1且m2≠2，即m＜－1或m＞1且m≠±eq\r(2)，y1+y2=mx1+1+mx2+1=m（x1+x2）+2=eq\f(4,2-m2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：eq\b\lc\{(\a\ac(x=eq\f(2m,2-m2),,y=eq\f(4,2-m2)))消去m得2x2－y2+2y=0，即（y－1）2－eq\f(x2,\f(1,2))=1．由y=eq\f(4,2-m2)得m2=eq\f(2y-4,y)，由eq\b\lc\{(\a\ac(\f(2y-4,y)＞1,\f(2y-4,y)≠2))解得y＜0或y＞4．∴點(diǎn)P的軌跡方程為（y－1）2－eq\f(x2,\f(1,2))=1（y＜0或y＞4）．（2）假設(shè)存在這樣的常數(shù)a，由eq\b\lc\{(\a\ac(y=mx+1,ax2+y2=2))消去y，得（m2+a）x2+2mx－1=0，②x1+x2=－eq\f(2m,m2+a)，x1x2=－eq\f(1,m2+a)eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=x1x2+y1y2=x1x2+（mx1+1）·（mx2+1）=（m2+1）x1·x2+m（x1+x2）+1=（m2+1）·（eq\f(-1,m2+a)）+m·（eq\f(-2m,m2+a)）+1=eq\f(-3m2-1,m2+a)+1=－2．解得a=eq\f(1,3)．當(dāng)a=eq\f(1,3)時(shí)，m2+eq\f(1,3)≠0，且方程②判別式Δ=4m2+4（m2+eq\f(1,3)）＞0．故存在，a的值為eq\f(1,3)．（3）假設(shè)存在常數(shù)m，對(duì)任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))為常數(shù)，將y=mx+1代入ax2+y2=2，整理（a+m2）x2+2mx－1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=－eq\f(2m,a+m2)，x1x2=－eq\f(1,a+m2)y1y2=（mx1+1）（mx2+1）=eq\f(a-2m2,a+m2)，eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))=eq\f(-2m2+a-1,a+m2)，若對(duì)任意a∈R+，都有eq\o(OA,\s\up5(→))·eq\o(OB,\s\up5(→))為常數(shù)，則m2=－2m2－1，3m2=－1不可能∴不存在常數(shù)m滿足條件．【例11】(2004北京東城)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1，其右焦點(diǎn)F2和右準(zhǔn)線分別是拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)線。⑴求橢圓C的方程；⑵若點(diǎn)P為橢圓上C的點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，求點(diǎn)P到x軸的距離；(此問(wèn)在原題基礎(chǔ)上添加的)⑶若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)求點(diǎn)P的取值范圍。(此問(wèn)也可改成求∠F1PF2的最大值)分析：主要復(fù)習(xí)圓錐曲線的基本知識(shí)，待定系數(shù)法和定義法等通性通法的運(yùn)用?？赡艹霈F(xiàn)的問(wèn)題：學(xué)生能夠知道拋物線的開口方向，在定位頂點(diǎn)和準(zhǔn)線時(shí)易出錯(cuò)，所以在和學(xué)生一起解決問(wèn)題時(shí)，在有些易出錯(cuò)的地方故意出錯(cuò)，來(lái)加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解。解：⑴拋物線的頂點(diǎn)為(4,0)，準(zhǔn)線方程為,設(shè)橢圓的方程為,則有c=4，又，∴∴橢圓的方程為⑵設(shè)橢圓內(nèi)切圓的圓心為Q，則設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，則∴。⑶設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，由橢圓的第二定義得：由∠F1PF2為鈍角知：∴即為所求。（此題也可以用向量的方法解決，也可將橢圓的方程與圓的方程聯(lián)立消去得）解題回顧：對(duì)橢圓定義、基本量的熟練掌握是解題不易出錯(cuò)的前提?！纠?2】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,離心率為,且雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的最近距離為1.⑴證明:滿足條件的雙曲線的焦點(diǎn)不可能在y軸上；⑵求此雙曲線的方程；⑶設(shè)此雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F1作∠F1QF2的平分線的垂線，求垂足M的軌跡。分析：本題考查邏輯推理能力，和利用定義、待定系數(shù)法求圓錐曲線方程。解：⑴用反證法，設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則由，得。若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，法1：則其雙曲線方程為，求出(用表示)，然后利用的最小值為1，推出矛盾。法2：焦點(diǎn)在在y軸上的雙曲線的漸近線為，A到漸近線的距離，∴不可能。⑵設(shè)雙曲線的方程為：，則P到A的距離為：若，即當(dāng)時(shí)，，不可能。若，即當(dāng)時(shí)，有最小值，解得（舍去）或，所以所求雙曲線為：。⑶設(shè)M，延長(zhǎng)QF2與F1M交于點(diǎn)T，連接OM?！唿c(diǎn)Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，∴∴M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上。圓的方程為(注意講清的范圍)。解題回顧：可能出現(xiàn)的問(wèn)題：解決推理問(wèn)題時(shí)說(shuō)理不清，因果關(guān)系不明顯，導(dǎo)致失分。對(duì)問(wèn)題⑶要但考慮軌跡的限制條件，準(zhǔn)確求出x的范圍。在幾何畫板上，拖動(dòng)Q時(shí)，當(dāng)拖到無(wú)窮遠(yuǎn)處，QM趨近于雙曲線的漸近線，向左點(diǎn)M的極限位置（不可能達(dá)到的位置）是漸近線與過(guò)F1且垂直的直線的交點(diǎn)，聯(lián)立和得。所以可得的范圍。第四課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（一）（圓錐曲線中有關(guān)平面圖形的問(wèn)題）【例13】設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求的值。解題思路分析：當(dāng)題設(shè)涉及到焦半徑這個(gè)信息時(shí)，通常聯(lián)想到橢圓的兩個(gè)定義。法一：當(dāng)∠PF2F1=900時(shí)，由得：，∴當(dāng)∠F1PF2=900時(shí)，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2∴法二：當(dāng)∠PF2F1=900，∴∴P（）又F2（，0）∴|PF2|=∴|PF1|=2a-|PF2|=當(dāng)∠F1PF2=900，由得：P（）。下略。解題回顧：由|PF1|>|PF2|的條件，直角頂點(diǎn)應(yīng)有兩種情況，需分類討論?！纠?3備選題】過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入橢圓方程得：，即，，∴，此時(shí)令直線的傾角為，則即△OAB面積的最大值為，此時(shí)直線傾斜角的正切值為?！纠?4】20、（廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．xxyOAB解：（I）設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡(jiǎn)得∴所以重心為G的軌跡方程為（II）由（I）得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。所以△AOB的面積存在最小值，存在時(shí)求最小值1；解題回顧：本題考查三角形重心坐標(biāo)公式、幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及重要不等式的運(yùn)用，對(duì)考生的轉(zhuǎn)化能力、綜合能力有一定要求?！纠?5】(05全國(guó)卷II)、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為QPNMFO(，)，(QPNMFO則從而亦即當(dāng)≠0時(shí)，MN的斜率為－，同上可推得故四邊形面積令=得∵=≥2當(dāng)=±1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。【例16】（05湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；（Ⅱ）若，△PF1F2的周長(zhǎng)為6；寫出橢圓C的方程；（Ⅲ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）.由即證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以即解得（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以由△MF1F2的周長(zhǎng)為6，得所以橢圓方程為（Ⅲ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由得所以即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得從而于是.即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.解題回顧：圓錐曲線中涉及平面圖形問(wèn)題時(shí)，一定要利用好平面圖形的性質(zhì)第五課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（二）（圓錐曲線中的參數(shù)問(wèn)題）【例17】點(diǎn)P到M（-1，0），N（1，0）的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m取值范圍。分析：根據(jù)題意，從點(diǎn)P的軌跡著手。解：∵||PM|-|PN||=2m∴點(diǎn)P軌跡為雙曲線，方程為（|m|<1）①又y=±2x（x≠0）②①②聯(lián)立得：將此式看成是關(guān)于x的二次函數(shù)式，下求該二次函數(shù)值域，從而得到m的取值范圍。根據(jù)雙曲線有界性：|x|>m，x2>m2∴又0<m2<1∴1-5m2>0∴且m≠0∴解題回顧：利用雙曲線的定義找到點(diǎn)P軌跡是重要一步，當(dāng)題目條件有等量關(guān)系時(shí)，一般考慮利用函數(shù)思想，建立函數(shù)關(guān)系式?！纠?8】如圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.（Ⅰ）若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.分析：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：（Ⅰ）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y＇=x.∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1，∴直線l的斜率kl=－=－，∴直線l的方程為y－x12=－(x－x1)，方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)x0==-，∴y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，則x0==kl=-，∴x1=－，將上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過(guò)P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則.由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.③則方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.方法二：∴=|b|=|b|.當(dāng)b>0時(shí)，=b==+2>2；當(dāng)b<0時(shí)，=－b=.又由方程③有兩個(gè)相異實(shí)根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.∵當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.22∴==+=+≥2.22∵可取一切不等于1的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.解題回顧：建立參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式求最值或利用基本不等式求最值是求參數(shù)范圍、最值的基本手段。【例19】(05重慶卷)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為。(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為由已知得故雙曲線C的方程為（Ⅱ）將由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即①設(shè)，則而于是②由①、②得故k的取值范圍為【例19備用題】(重慶卷)已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即①.由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范圍為【例20】如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值分析：本題主要考查直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合解：(1)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1,0),F2(1,0)故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±,即x=±m(xù)∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］故f(m)的最大值為，此時(shí)m=2;f(m)的最小值為，此時(shí)m=5解題回顧：在第(1)問(wèn)中，要注意驗(yàn)證當(dāng)2≤m≤5時(shí)，直線與橢圓恒有交點(diǎn)若注意到xA,xD為一對(duì)相反數(shù)，則可迅速將||AB|－|CD||化簡(jiǎn)第(2)問(wèn)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法【例20備選題】如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|