新疆部分學(xué)校2024屆高三4月（二模）大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024屆高三4月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.{-1,1} B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出兩集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】由，得或，所以，由，得，因?yàn)?，所以，或，或，所以，所以，故選：B．2.已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，則（）A.1或2 B.2 C.2或 D.【答案】C【解析】【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，整理得，解得或．故選：C3.已知非零向量的夾角為，且，，則（）A.2π3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積及夾角的公式計(jì)算即可.【詳解】由，得；由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以．故選：A．4.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．故選：C．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可，或根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因，所以．另解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，由，得，所以，即，得，所以，因?yàn)?，，，，所以故選：A．6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為，圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)M，N之間的距離為5，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象可得函數(shù)周期，即可得，結(jié)合特殊點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可得，即可得.【詳解】函數(shù)的最大值為4．設(shè)的最小正周期為，依題意，得，解得，所以，解得，所以，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，結(jié)合圖象，知，解得，所以，所以．故選：D．7.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求出|的長(zhǎng)，再根據(jù)列出等式即可尋找a,b,c【詳解】由題意，知雙曲線的漸近線方程為．設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離．設(shè)點(diǎn)，則，即．又，所以，解得．故選：A．8.已知函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出函數(shù)圖象找交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意，知4為函數(shù)的一個(gè)周期且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的解析式，兩出函數(shù)的大致圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，總有．而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒(méi)有交點(diǎn)．綜上，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則與互為共軛復(fù)數(shù)是的充要條件D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，虛數(shù)不能比較大小，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，充分性成立．若，則，即．又，所以，必要性成立．綜上，當(dāng)時(shí)，與互為共軛復(fù)數(shù)是的充要條件，故C正確；對(duì)于D，由，，知在復(fù)平面內(nèi)，與對(duì)應(yīng)的向量的夾角為，所以，故D正確．故選：ACD．10.如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線，將沿BF折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接AE，DE，CE，且，則（）A.平面 B.AE與平面所成角的正切值是C.BC與DE所成的角為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】AB【解析】【分析】A.根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；B.首先利用垂直關(guān)系說(shuō)明平面，即可說(shuō)明與平面所成的角為；C.根據(jù)平行關(guān)系，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，或其補(bǔ)角即為與所成的角；D.利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，且，所以，．又為的中線，所以，．因?yàn)?，所以．由題意，知，所以EF⊥BF．又，且，BF?平面，所以平面，故A正確；因?yàn)?，，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．在中，，．所以，故B正確；因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以．又，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以由等體積法，得點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：AB11.設(shè)函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上的最大值為C.方程只有一個(gè)實(shí)根 D.，都有成立【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可判斷A，B；數(shù)形結(jié)合即可判斷C；令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】由題可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，即f'x≥0，當(dāng)時(shí)，，即f'x<0所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，．當(dāng)時(shí)，，所以在上的最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確；，即，由圖象知，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上先增后減，又，，所以成立，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)分析三角函數(shù)單調(diào)性：第一，函數(shù)解析式中或，圖象特點(diǎn)比較復(fù)雜；第二，一階導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減.三角函數(shù)與其他函數(shù)結(jié)合的進(jìn)行求導(dǎo)后，正負(fù)號(hào)的判斷，隱零點(diǎn)卡根取點(diǎn)因?yàn)槿呛瘮?shù)周期性的變化，處理起來(lái)思路繁雜、技巧多；第三，三角函數(shù)會(huì)涉及不等式放縮.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓錐的底面周長(zhǎng)為，其側(cè)面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，進(jìn)而求圓錐的高和體積.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得．因?yàn)榘霃綖榈那虻谋砻娣e為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．故答案為：．13.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】分別求出和展開式的通項(xiàng)公式，則可得，令，可求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，，展開式的通項(xiàng)為，，所以，令，因?yàn)椋?，所以時(shí)，可配湊出項(xiàng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：．14.已知函數(shù)滿足其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，f'0=1，，在如下三個(gè)函數(shù)：①；②；③中，共有6個(gè)參數(shù)a，b，c，d，k，m．請(qǐng)?jiān)诩现校〕龊线m的數(shù)賦予上面6個(gè)參數(shù)．使其滿足題目要求，則a，b，c，d，k，m的值分別是__________（按對(duì)應(yīng)的參數(shù)順序?qū)懀?；此時(shí)，在函數(shù)③中，的極小值是__________．【答案】①.，1，，0，，②.【解析】【分析】由，，結(jié)合f'x為偶函數(shù)，對(duì)每個(gè)函數(shù)分析討論可求出a，b，c，d，k，m的值，對(duì)于③，對(duì)函數(shù)求后，方法一：由，得，畫出的圖象，由圖象可求得極值點(diǎn)，再判斷單調(diào)區(qū)間可求出極小值，方法二：，則，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g'(x)單調(diào)遞減，而，從而可求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出其極小值.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋?，顯然f'x為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以．又，所以．?duì)于②，因?yàn)?，所以．因?yàn)閒'x為偶函數(shù)，所以，顯然．又，所以．對(duì)于③，因?yàn)?，所以，易知f'x為偶函數(shù)．又，所以．又，所以．所以a，b，c，d，k，m的值分別為，1，，0，，．此時(shí)，③中，．方法一：由，得，令，畫出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，f'x<0，在和單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為．方法二：令，則，令，得．令，則，所以在上單調(diào)遞減，即g'(x)在所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，即f'x在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞煘，即f'x在單調(diào)遞煘，所以．又，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，f'x<0，在和單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為．故答案為：，1，，0，，；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值問(wèn)題，求極值時(shí)解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）直接代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）參變分離，得當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，得．令，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，即在0,1單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0，即在單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，令hx=2x所以當(dāng)時(shí)，h'x<0，當(dāng)時(shí)，h所以當(dāng)時(shí)，hx單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，hx單調(diào)遞增，所以hx的最小值為h所以hx≥h1這意味著在時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為.16.目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺(tái)引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過(guò)100萬(wàn)次的觀看．（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒(méi)有觀看虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；（2）若未來(lái)10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過(guò)100萬(wàn)次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過(guò)100萬(wàn)次觀看的天數(shù)為．①判斷為何值時(shí)，最大；②記，求．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都沒(méi)有觀看虛擬主播直播的概率，然后利用對(duì)立事件的概率，即可求解；（2）①由已知服從二項(xiàng)分布，則，進(jìn)而可得，然后利用比值與1比較大小，即可求解；②因?yàn)?，所以可能取值?或，然后結(jié)合①分別求出和的概率代入，即可得解.【小問(wèn)1詳解】由已知小李第天和第天都沒(méi)有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.【小問(wèn)2詳解】①由已知服從二項(xiàng)分布，所以，由，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，綜上，當(dāng)時(shí)，最大.②因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分別公式利用與1進(jìn)行比較大小，得到最大時(shí)的取值；由，得到可能取值為1或是所對(duì)應(yīng)的值，結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)得到答案.17.如圖，三棱錐的所有棱長(zhǎng)都是，為的中點(diǎn)，且為FG的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，平面與平面夾角的余弦值為，求FG的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面即得；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值求的長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，因?yàn)?，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，且平面，所以平面，因?yàn)椋怨裁?，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，設(shè)點(diǎn)是底面上的射影為，點(diǎn)在上，因?yàn)槿忮F的棱長(zhǎng)都是，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則O0,0,0，，，，，，,所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理為，解得：或(舍去)，所以的長(zhǎng)度為8.18.已知直線與平面所成的角為，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，如果點(diǎn)到直線的距離總是，則點(diǎn)的軌跡為橢圓，如圖所示．以該橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線QA交橢圓于另一點(diǎn)，直線QB交橢圓于另一點(diǎn)，探究：直線MN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線經(jīng)過(guò)軸上一定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）首先確定到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系，確定橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)，即可求解橢圓方程；（2）首先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并根據(jù)直線和過(guò)點(diǎn)，得到等量關(guān)系式，再根據(jù)韋達(dá)定理進(jìn)行整理，即可求解定點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】在空間中，到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是以直線為軸，底面半徑為的圓柱形曲面，平面截該圓柱形曲面形成橢圓，設(shè)橢圓的方程為，由題意知，橢圓的短半軸長(zhǎng)為，由直線與平面所成的角為，知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由圖形的對(duì)稱性，知若直線經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，假設(shè)直線經(jīng)過(guò)軸上一定點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)Mx1,則，，直線的方程為y=y1x1+2由題意知，直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，所以，即，所以，所以，所以，由，得，代入，得，即，（*）當(dāng)時(shí)，（*）式恒成立，所以，當(dāng)直線的傾斜角為0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，也過(guò)點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)軸上一定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用直線和的交點(diǎn)在直線上，得到等式，化簡(jiǎn)等式為本題的關(guān)鍵.19.我們把滿足下列條件的數(shù)列稱為數(shù)列：①數(shù)列的每一項(xiàng)都是正偶數(shù)；②存在正奇數(shù)m，使得數(shù)列的每一項(xiàng)除以m所得的商都不是正偶數(shù)．（1）若a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a，b，c不是數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)p，q，恒有，且，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列共有100項(xiàng)，且對(duì)任意，恒有，若數(shù)列為數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)k值的和．【答案】（1）證明見解析；（2）數(shù)列是數(shù)列；證明見解析.（3）1546.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義證明即可；（2）由條件可以得到數(shù)列是等比數(shù)列，再判斷該數(shù)列是否滿足數(shù)列的兩個(gè)條件即可；（3）用賦值的方法可知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,再對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列，進(jìn)而再根據(jù)數(shù)列為數(shù)列進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】若a,b,c是數(shù)列,則a設(shè)，則若,則除以3為,是正偶數(shù),與