七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第九章 不等式與不等式組 知識(shí)串講+熱考題型（解析版）

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第九章不等式與不等式組》本章知識(shí)綜合運(yùn)用有關(guān)概念有關(guān)概念●●1、不等式的定義：用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．◆不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.◆不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集．◆解不等式的定義：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．●●2、一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．●●3、一元一次不等式組的定義：一般地，把同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.◆一元一次不等式組的解集◆用“口訣法”求一元一次不等式組的解集同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小無(wú)處找.一個(gè)性質(zhì)一個(gè)性質(zhì)●●不等式的基本性質(zhì)◆性質(zhì)一：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b，那么a±c＞b±c；◆性質(zhì)二：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或ac◆性質(zhì)三：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或ac兩個(gè)解法兩個(gè)解法●●1、一元一次不等式的解法◆一個(gè)較復(fù)雜的一元一次不等式，利用不等式的性質(zhì)逐步轉(zhuǎn)化為x＞a或x＜a的形式的過(guò)程叫做解一元一次不等式．◆根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．●●2、一元一次不等式組的解法◆求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組.◆求一元一次不等式組解集的方法：①分別求出各個(gè)不等式的解集；②在數(shù)軸上尋找各不等式解集公共部分；③寫(xiě)出不等式組的解集.◆一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．兩個(gè)應(yīng)用兩個(gè)應(yīng)用列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題是一元一次不等式的重要應(yīng)用，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式（組），建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式（組）可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．●●1、一元一次不等式的應(yīng)用◆列一元一次不等式解實(shí)際問(wèn)題的步驟：（1）審題：弄清題意及題目中的不等關(guān)系.（2）設(shè)未知數(shù)：可直接設(shè)，也可間接設(shè).（3）列出不等式.（4）解不等式，并檢驗(yàn)解（集）的合理性.（5）寫(xiě)出答案.●●2、一元一次不等式組的應(yīng)用◆列一元一次不等式組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．題型一題型一不等式及解集的概念【例題1】（2023春?雙流區(qū)期中）下列數(shù)學(xué)式子中：①﹣3＜0，②2x+3y≥0，③x＝1，④x2﹣2xy+y2，⑤x+1＞3中，不等式有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)不等式的定義解答即可．【解答】解：不等式是指不等號(hào)來(lái)連接不等關(guān)系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，則不等式有：①②⑤，共3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的定義，能根據(jù)不等式的意義進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、判斷一個(gè)式子是等式還是不等式要根據(jù)各自的概念，主要看連接兩個(gè)式子的符號(hào)是什么，若用等號(hào)連接，則為等式；若用不等號(hào)連接，則為不等式.2、不等式的解是一些具體的值，有無(wú)數(shù)個(gè)，用符號(hào)表示；不等式的解集是一個(gè)范圍，用不等號(hào)表示．不等式的每一個(gè)解都在它的解集的范圍內(nèi).【變式1-1】（2023春?郫都區(qū)校級(jí)期中）下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】依據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷．用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．【解答】解：①3＞0，屬于不等式；②4x+5＞0，屬于不等式；③x＜3，屬于不等式；④x2+x屬于代數(shù)式，不合題意；⑤x＝﹣4屬于方程，不合題意；⑥x+2＞x+1，屬于不等式．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的定義，凡是用不等號(hào)連接的式子都叫做不等式．常用的不等號(hào)有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．【變式1-2】（2023?南海區(qū)一模）在﹣2，﹣1，0，1，2這五個(gè)數(shù)中，是不等式2x+3＞0解的共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，即可判斷出答案．【解答】解：解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，∴在﹣2，﹣1，0，1，2這五個(gè)數(shù)中，是不等式2x+3＞0解的有﹣1，0，1，2，共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解集，熟練解不等式是關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?運(yùn)城期末）在﹣1，0，1，12中，能使不等式2x﹣1＜xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】直接解不等式，進(jìn)而得出符合題意的個(gè)數(shù)．【解答】解：2x﹣1＜x，解得：x＜1，故符合題意的有：﹣1，0，12故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的解集，能夠正確解不等式是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】關(guān)于不等式的解和解集，下列說(shuō)法正確的是（）A．x＝﹣3是x+3＜﹣2的解 B．x＞4是x+3＞6的解集 C．x=12是6x≥3的解集 D．x＜﹣5是﹣3【分析】利用不等式的解與解集的定義判斷即可．【解答】解：x＝﹣3時(shí)，x+3＝0＞﹣2故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；x+3＞6的解集是x＞3，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)x=12是6x＜﹣5是﹣3x＞15的解集，故說(shuō)法正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解與解集的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023春?薛城區(qū)月考）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．不等式5x﹣10＞0的解是3 B．3是不等式5x﹣10＞0的解 C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2 D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集【分析】使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、3是不等式5x﹣10＞0的解，但是不等式5x﹣10＞0的解集不是3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、3是不等式5x﹣10＞0的解，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解及解集，注意區(qū)分不等式的解與解集是解題的關(guān)鍵．題型題型二不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例題2】（2023春?昌平區(qū)期中）已知x＜y，則下列各式中正確的是（）A．x+3＞y+3 B．x5＞y5 C．x﹣y＞0 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)即可．【解答】解：∵x＜y，∴x+3＜y+3，故A選項(xiàng)不符合題意；∵x＜y，∴x5＜y當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，x﹣y＝1﹣2＝﹣1＜0，故C選項(xiàng)不符合題意；∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，理解不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．解題技巧提煉不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變．【變式2-1】（2023春?包河區(qū)期中）若m＞n，則下列各式中正確的是（）A．m+2＜n+2 B．﹣5m＜﹣5n C．m﹣3＜n﹣3 D．m【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵m＞n，∴m+2＞n+2，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵m＞n，∴﹣5m＜﹣5n，∴選項(xiàng)B符合題意；∵m＞n，∴m﹣3＞n﹣3，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵m＞n，∴m6∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式2-2】（2023春?北碚區(qū)校級(jí)期中）下列判斷不正確的是（）A．若a＞b，則a+2＞b+2 B．若a＞b，則﹣3a＜﹣3b C．若2a＞2b，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc2【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：A．若a＞b，則a+2＞b+2，判斷正確，故本選項(xiàng)不合題意；B．若a＞b，則﹣3a＜﹣3b，判斷正確，故本選項(xiàng)不合題意；C．若2a＞2b，則a＞b，判斷正確，故本選項(xiàng)不合題意；D．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，原判斷錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】已知a＞b，用“＞”或“＜”連接下列各式．（1）a﹣3b﹣3；（2）2a2b；（3）?a2?b2；（4）4a﹣3【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：a＞b，則：（1）a﹣3＞b﹣3；（2）2a＞2b；（3）?a（4）由4a＞4b，得4a﹣3＞4b﹣3．故答案為：（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號(hào)方向不變，但移項(xiàng)要變號(hào)；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向才改變．【變式2-4】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x﹣1＜2；（2）4x＞16；（3）?13x＞4；（4）8x＞5【分析】（1）不等式兩邊同時(shí)加上1，即可解答；（2）不等式兩邊同時(shí)除以4，即可解答；（3）不等式兩邊同時(shí)乘﹣3，即可解答；（4）先不等式兩邊同時(shí)減去5x，再不等式兩邊同時(shí)除以3，即可解答．【解答】解：（1）x﹣1＜2，不等式兩邊同時(shí)加上1，得x＜3；（2）4x＞16，不等式兩邊時(shí)除以4，得x＞4；（3）?13不等式兩邊時(shí)乘﹣3，得x＜﹣12；（4）8x＞5x+1，不等式兩邊同時(shí)減去5x，得3x＞1，不等式兩邊同時(shí)除以3，得x＞1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式2-5】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：小明對(duì)不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b比較大小，有如下規(guī)律：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b．上面的規(guī)律，反過(guò)來(lái)也成立．課上，通過(guò)與老師和其他同學(xué)的交流，驗(yàn)證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問(wèn)題：（1）比較大?。?+510（2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正數(shù)，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，試比較A和B的大?。痉治觥浚?）兩數(shù)作差，根據(jù)3＜10（2）根據(jù)x+2y﹣2＝0，且x＞0，求得﹣y+1＜0，兩式作差進(jìn)而求解．【解答】解：（1）∵3＜10∴(3+5∴3+5故答案為：＜；（2）∵x+2y﹣2＝0，∴x＝2﹣2y，∵x是正數(shù)，即x＞0，∴2﹣2y＞0，∴﹣y+1＞0，∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1＞0，∴A＞B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，整式的加減和實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是根據(jù)x+2y﹣2＝0，且x＞0確定y的取值范圍．題型題型三一元一次不等式的識(shí)別【例題3】（2023春?禪城區(qū)月考）下列是一元一次不等式的是（）A．x+1x＞1 B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、x+1x＞1B、3x+2中不含有不等號(hào)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、2x＞x﹣1含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，是一元一次不等式，故本選項(xiàng)符合題意；D、x2﹣2＜1中含有一個(gè)未知數(shù)，但未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次不等式的定義，即含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．解題技巧提煉判斷一個(gè)不等式是否為一元一次不等式，必須化簡(jiǎn)整理后再判斷，如果化簡(jiǎn)后不等號(hào)兩邊都是整式且含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1且系數(shù)不為0，那么此不等式為一元一次不等式.【變式3-1】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．x2＞1 B．2x﹣5＞x C．3x+3≥1 D．x+【分析】直接根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【解答】解：A、x2＞1，未知數(shù)的次數(shù)不是1，不符合一元一次不等式的定義，不合題意；B、2x﹣5＞x，符合一元一次不等式的定義，符合題意；C、3xD、含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合一元一次不等式的定義，不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式的定義，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．【變式3-2】（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．3＞2 B．4x＞3﹣2x2 C．3x+2y＜5 D．5x＞7﹣2x【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．3＞2中不含有未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．4x＞3﹣2x2是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．3x+2y＜5中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．5x＞7﹣2x是一元一次不等式，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春?鳳翔縣月考）下列不等式中，是一元一次不等式的有（）①x3+1＞5x；②1x＜1；③6x＞0；④2x+1＞3（A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：1x﹣3＜2，沒(méi)有未知數(shù)，不是一元一次不等式，所以一元一次不等式有：x3+1＞5x，6x＞0，2x+1＞3（故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的定義，能熟記一元一次不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次，不等式的左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫一元一次不等式．【變式3-4】（2022春?華龍區(qū)校級(jí)期中）若（m﹣1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義列式求解即可．【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，∴m﹣1≠0，|m|＝1，解得：m＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次不等式的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的不等式是一元一次不等式，注意：未知數(shù)的系數(shù)不能為0．【變式3-5】（2022春?敘州區(qū)校級(jí)期中）已知9（m﹣5）x|m|﹣4+2＜0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為．【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義得出關(guān)于m的不等式組，求出m的值即可．【解答】解：由題意m?5≠0|m|?4=1解得m＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次不等式的定義，熟知含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．題型題型四解一元一次不等式【例題4】（2023春?鹽田區(qū)期中）不等式2x+3≤7x+13的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出此不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法即可求解．【解答】解：2x+3≤7x+13，移項(xiàng)，得2x﹣7x≤13﹣3，合并同類(lèi)項(xiàng)，得﹣5x≤10．化系數(shù)為1，得x≥﹣2，表示在數(shù)軸上為：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．也考查了解不等式．解題技巧提煉1、解一元一次不等式的步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．2、解一元一次不等式時(shí)有兩步可能會(huì)改變不等號(hào)的方向；一是去分母；二是系數(shù)化為1，為了使不等式簡(jiǎn)化，可以在“去分母”這一步里，兩邊同乘一個(gè)正數(shù).【變式4-1】（2023春?晉江市校級(jí)期中）求不等式2（x+2）﹣6≤﹣3（x﹣4）的解集，并將解集表示在數(shù)軸上．【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解一元一次不等式，然后將解集表示在數(shù)軸上．【解答】解：2（x+2）﹣6≤﹣3（x﹣4），去括號(hào)，2x+4﹣6≤﹣3x+12，移項(xiàng)，2x+3x≤12﹣4+6，合并同類(lèi)項(xiàng)，5x≤14，化系數(shù)為1，x≤14將解集表示在數(shù)軸上如圖所示，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，數(shù)形結(jié)合解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）解不等式x+32【分析】利用解不等式的步驟，一步步得出結(jié)論，再利用數(shù)軸標(biāo)根法將不等式的值域在數(shù)軸上表示出來(lái)．【解答】解：去分母得：3（x+3）﹣6＞2x，去括號(hào)得：3x+9﹣6＞2x，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：x＞﹣3，故不等式的解集為：x＞﹣3，將解集在數(shù)軸上表示如下：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是牢記解不等式的步驟．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，只需熟悉不等式的解法即可解決該類(lèi)題型．【變式4-3】（2023春?蓮池區(qū)校級(jí)月考）下面是小明解不等式x+52①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得﹣2x＜﹣2，③兩邊都除以﹣2，得x＞1．先閱讀以上解題過(guò)程，然后解答下列問(wèn)題．（1）小明的解題過(guò)程從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)；（2）用正確的方法解這個(gè)不等式．【分析】（1）觀察小明解題過(guò)程，找出錯(cuò)誤的步驟即可；（2）利用不等式的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）小明的解題過(guò)程從第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，誤的原因是：去分母時(shí)，不等式左邊第二項(xiàng)沒(méi)有乘2；故答案為：①；（2）正確解答為：去分母得：x+5﹣2＜3x+2，移項(xiàng)、合并得：﹣2x＜﹣1，系數(shù)化為1得：x＞1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的基本步驟是解本題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）解不等式：（1）4（x﹣1）+3＞3x；（2）2x?13【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【解答】解：（1）4x﹣4+3＞3x，4x﹣3x＞4﹣3，∴x＞1；（2）2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，4x﹣2﹣9x﹣2≤6，4x﹣9x≤6+2+2，﹣5x≤10，∴x≥﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）解不等式：（1）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）；（2）x+22＜1【分析】（1）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集；（3）不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1，求出解集．【解答】解：（1）去括號(hào)得：3x+6﹣1≥8﹣2x+2，移項(xiàng)得：3x+2x≥8+2﹣6+1，合并得：5x≥5，解得：x≥1；（2）去分母得：5x+10＜10﹣4+6x，移項(xiàng)得：5x﹣6x＜10﹣4﹣10，合并得：﹣x＜﹣4，解得：x＞4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．題型題型五求一元一次不等式的特殊解【例題5】（2022春?東莞市期中）不等式3x≤7+x的非負(fù)整數(shù)解有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】首先求出不等式的解集，然后求得不等式的非負(fù)整數(shù)解．【解答】解：解不等式3x≤7+x得，x≤3.5，∴不等式3x≤x+4的非負(fù)整數(shù)解是0，1，2，3，一共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．解題技巧提煉求一元一次不等式的特殊解分兩步來(lái)解答：一是求解一元一次不等式，得出解集；二是根據(jù)問(wèn)題的條件，在求出的范圍內(nèi)確定滿足條件的解.【變式5-1】（2023春?碑林區(qū)校級(jí)月考）不等式x?93A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先求出不等式的解集，然后得出負(fù)整數(shù)解，即可得出答案．【解答】解：x?93去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4），去括號(hào)得：2x﹣18+6＜9x+12，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：﹣7x＜24，不等式兩邊同除以﹣7得：x＞?24∴不等式的負(fù)整數(shù)解有﹣3，﹣2，﹣1共3個(gè)，故C正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵，注意不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向發(fā)生改變．【變式5-2】（2023春?濰城區(qū)期中）能使不等式12(3x?1)?(5x+2)＞12成立的x的最大整數(shù)值是【分析】首先解不等式，即可確定最大的整數(shù)解．【解答】解：去分母，得：（3x﹣1）﹣2（5x+2）＞1，去括號(hào)，得：3x﹣1﹣10x﹣4＞1，移項(xiàng)，得：3x﹣10x＞1+1+4．合并同類(lèi)項(xiàng)，得：﹣7x＞6，則x＜?6則最大整數(shù)值是：﹣1．故答案是：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．【變式5-3】（2023春?東城區(qū)校級(jí)月考）解不等式5?x?2【分析】去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可求得不等式的解集，然后確定解集中的正整數(shù)解即可．【解答】解：原式去分母，得30﹣3（x﹣2）＞6+2x，去括號(hào)，得30﹣3x+6＞6+2x，移項(xiàng)，得﹣3x﹣2x＞6﹣6﹣30，合并同類(lèi)項(xiàng)，得﹣5x＞﹣30，系數(shù)化為1，得x＜6，則不等式的正整數(shù)解為：1，2，3，4，5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的正數(shù)解，要注意不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變．【變式5-4】（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）解不等式1?x?2【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后確定其非負(fù)整數(shù)解．【解答】解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x），去括號(hào)得，6﹣3x+6≥2+2x，移項(xiàng)得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6合并同類(lèi)項(xiàng)得，﹣5x≥﹣10，化系數(shù)為1得，x≤2．∴原不等式的非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，掌握解一元一次不等式的步驟是解題關(guān)鍵．【變式5-5】（2022?興平市模擬）解不等式2x+14【分析】首先去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化成1，求得不等式的解集，然后確定非負(fù)整數(shù)解即可．【解答】解：去分母，得：3（2x+1）≤4（x﹣1）+12，去括號(hào)，得：6x+3≤4x﹣4+12，移項(xiàng)，得：6x﹣4x≤12﹣4﹣3，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：2x≤5，系數(shù)化成1得：x≤5則非負(fù)整數(shù)解是：0，1，2．非負(fù)整數(shù)解的和為：0+1+2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的解法，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．題型題型六不等式與絕對(duì)值的綜合應(yīng)用【例題6】已知：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化簡(jiǎn)：|3x+1|﹣|1﹣3x|＝．【分析】去括號(hào)出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得到17x＜﹣17，求出x＜﹣1，去絕對(duì)值符號(hào)得出﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），求出即可．【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），∵去括號(hào)得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移項(xiàng)得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并同類(lèi)項(xiàng)得：17x＜﹣17，∴x＜﹣1，∴|3x+1|﹣|1﹣3x|，＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），＝﹣3x﹣1﹣1+3x，＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值和解一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)x的范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，|3x+1|﹣|1﹣3x|，＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），注意：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，0的絕對(duì)值是0．解題技巧提煉解絕對(duì)值問(wèn)題的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子的正負(fù)，再去絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)，而絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)需通過(guò)解不等式確定未知數(shù)的取值范圍后，再判斷.【變式6-1】不等式3（x+1）≥5x﹣2，則|2x﹣5|＝．【分析】不等式3（x+1）≥5x﹣2，是一個(gè)只含有一個(gè)未知數(shù)的不等式，可以直接求出它的解集．然后根據(jù)解集來(lái)判斷2x﹣5的符號(hào)，進(jìn)而求得它的絕對(duì)值．【解答】解：3（x+1）≥5x﹣2，去括號(hào)得，3x+3≥5x﹣2，都移到等號(hào)左邊得，﹣2x+5≥0，∴2x﹣5≤0．∵非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，∴|2x﹣5|＝5﹣2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求解不等式的過(guò)程，以及非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．【變式6-2】（2023春?靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，試化簡(jiǎn)|a﹣1|+|2﹣a|．【分析】首先求出a的取值范圍，然后代入化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，∴a﹣1＜0，即a＜1，∴|a﹣1|+|2﹣a|＝1﹣a+2﹣a＝3﹣2a．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出a的取值范圍．【變式6-3】已知：x＜﹣1，化簡(jiǎn)：|3x+1|﹣|1﹣3x|【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)確定3x+1、1﹣3x的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的定義解答．【解答】解：∵x＜﹣1，∴3x+1＜0，1﹣3x＞0，∴|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣3x﹣1﹣（1﹣3x）＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了不等式的基本性質(zhì)和絕對(duì)值的運(yùn)用．【變式6-4】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），則化簡(jiǎn)|3x+3|﹣|2﹣3x|＝．【分析】去括號(hào)出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得到17x＜﹣17，求出x＜﹣1，去絕對(duì)值符號(hào)得出﹣（3x+3）﹣（2﹣3x），求出即可．【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），∵去括號(hào)得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移項(xiàng)得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并同類(lèi)項(xiàng)得：17x＜﹣17，∴x＜﹣1，∴|3x+3|﹣|2﹣3x|，＝﹣（3x+3）﹣（2﹣3x），＝﹣3x﹣3﹣2+3x，＝﹣5，故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了不等式的基本性質(zhì)和絕對(duì)值的運(yùn)用．【變式6-5】已知有理數(shù)x滿足：3x?12?73≥x?5+2x3，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值為a，最大值為b【分析】首先解不等式：3x?12?73≥x?5+2x3，即可求得x【解答】解：解不等式：3x?1不等式兩邊同時(shí)乘以6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x）去括號(hào)得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x移項(xiàng)得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10即7x≥7∴x≥1∴x+2＞0，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，x+2＞0，則|3﹣x|﹣|x+2|＝3﹣x﹣（x+2）＝﹣2x+1則最大值是﹣1，最小值是﹣5；當(dāng)x＞3時(shí)，x+2＞0，則|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣3﹣（x+2）＝x﹣3﹣x﹣2＝﹣5，是一定值．總之，a＝﹣5，b＝﹣1，∴ab＝5故答案是：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次不等式的求解方法，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，解答這類(lèi)題學(xué)生往往在解題時(shí)不注意移項(xiàng)要改變符號(hào)這一點(diǎn)而出錯(cuò)．題型題型七利用不等式的解集解含字母常數(shù)的不等式【例題7】（2023春?永春縣期中）m、n是常數(shù)，若mx+n＞0的解是x＜12，則nx﹣A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞2【分析】先移項(xiàng)得mx＞﹣n，再根據(jù)mx+n＞0的解是x＜12，從而得出m＜0，?nm=12【解答】解：∵mx+n＞0的解是x＜1∴m＜0，?n∴n＞0，即nm∴nx﹣m＜0的解為x＜m故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組和不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解題時(shí)，要充分挖掘題中的已知調(diào)劑，包含隱含的條件，正確確定未知數(shù)的字母的系數(shù)的正負(fù)是解題的關(guān)鍵.【變式7-1】（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）如果不等式ax+m＜0的解集是x＞1，那么mx+a＞0的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1【分析】利用一元一次不等式的解集來(lái)判斷字母a、m的正負(fù)，再確定另一不等式的解集．【解答】解：ax+m＜0ax＜﹣m，當(dāng)a＜0時(shí)，x＞?m當(dāng)a＞0時(shí)，x＜?m∵不等式ax+m＜0的解集是x＞1，∴a＜0時(shí)，x＞?m∴m＞0；mx+a＞0，解得x＞?a?ma與∴x＞1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的解集、性質(zhì)，做題關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解集和性質(zhì)．【變式7-2】已知m，n為常數(shù)，若mx+n＞0的解集為x＜13，則nx﹣A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3【分析】首先根據(jù)mx+n＞0的解集為x＜13，得m＜0，?nm=13，進(jìn)一步得出n【解答】解：∵mx+n＞0的解集為x＜1∴m＜0，且x＜?n∴?n∴n＞0，mn∵nx﹣m＜0，∴x＜m∴x＜﹣3；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的解集、不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式性質(zhì)的熟練應(yīng)用，注意在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向，這是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2022春?海門(mén)市期中）若關(guān)于x的不等式mx﹣n＞0的解集為x＜2，則關(guān)于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＞?13 C．x＜﹣3 D．【分析】由已知不等式的解集確定出m與n的值，代入所求不等式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵關(guān)于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜2，∴nm=2，即n＝2m，且代入不等式（m+n）x＞m﹣n得：3mx＞﹣m，解得：x＜?1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式．能夠正確求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】若關(guān)于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集為x＞?23，則關(guān)于x的不等式mx﹣m＞2nx﹣A．x＞43 B．x＜43 C．x＞?【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得m、n的關(guān)系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣n，解不等式可得答案．【解答】解：∵mx+m＜﹣nx+n，∴（m+n）x＜n﹣m，∵關(guān)于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集為x＞?2∴m+n＜0，∴x＞n?m∴n?m=2k①m+n=?3k②①+②得：2n＝﹣k，∴n=?12把n=?12k代入①得：?12k﹣∴m=?52∴把n=?12k，m=?52k代入mx﹣m＞2nx﹣故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解集，解答此題學(xué)生一定要注意不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式7-5】（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜?13，求關(guān)于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣【分析】根據(jù)已知條件，判斷出a+b＞0，a＝2b，再求得不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜?1∴x＜?2a?3b∴?2a?3ba+b=?13把a(bǔ)＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b，∵a+b＞0，a＝2b，∴a＞0，b＞0，∴x＜﹣3．【點(diǎn)評(píng)】解答此題學(xué)生一定要注意不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．題型題型八一元一次不等式與方程（組）的綜合應(yīng)用【例題8】已知不等式2x?13（1）求該不等式的解集；（2）該不等式的所有負(fù)整數(shù)解的和是關(guān)于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值．【分析】（1）首先去分母，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，最后把x的系數(shù)化為1即可；（2）首先根據(jù)不等式的解集確定不等式的解，然后可得y的值，然后再代入即可得到a的值．【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）≤9x+8，去括號(hào)得：4x﹣2≤9x+8，移項(xiàng)得：4x﹣9x≤8+2，合并同類(lèi)項(xiàng)得：﹣5x≤10，系數(shù)化為1得：x≥﹣2；（2）∵x≥﹣2，∴不等式的所有負(fù)整數(shù)解為﹣2，﹣1，y＝﹣2+（﹣1）＝﹣3，把y＝﹣3代入2y﹣3a＝6得：﹣6﹣3a＝6，解得：a＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解不等式，以及一元一次不等式的解，關(guān)鍵是正確確定不等式的解集．解題技巧提煉本題運(yùn)用了消元法和常量法，解答這類(lèi)題，一般先將某個(gè)字母視為常數(shù)，求出方程組的解，再建立不等式，求出相應(yīng)字母的取值范圍.【變式8-1】（2022春?桐城市期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+2y=?a?1x?23y=a+53的解滿足A．a(chǎn)≥?138 B．a(chǎn)≥?134 C．a(chǎn)≤?【分析】把a(bǔ)看作已知數(shù)表示出方程組的解，代入不等式計(jì)算即可求出a的范圍．【解答】解：3x+2y=?a?1①x?①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，解得：y＝﹣a?3把y＝﹣a?32代入②得：x?23（﹣a?整理得：x+23a+1＝a解得：x=13a∵x≥y，∴13a+23≥?a?3解得：a≥?13故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程組的解，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春?安溪縣期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=3①x+2y=?2m+1②的解滿足x﹣y＜7，求滿足條件的m【分析】先將m看作常數(shù)解方程組求出x=23m+53、y=?43m?1【解答】解：2x+y=3①x+2y=?2m+1②①×2得：4x+2y＝6③，③﹣②得：3x＝2m+5，∴x=23m把2×②﹣①得：∴y=?43m∵x﹣y＜7，∴23m+53?（∴m＜5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．【變式8-3】已知關(guān)于x、y的方程組x?y=22x+y=5a的解滿足不等式3﹣x＜2y，求實(shí)數(shù)a【分析】先求出二元一次方程組的解，再代入不等式，即可解答．【解答】解：方程組x?y=22x+y=5a的解為：∵3﹣x＜2y，∴3?解得：a＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是解二元一次方程組．【變式8-4】若關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=?2m+3x+2y=4的解滿足x﹣y（1）用含m的代數(shù)式表示x﹣y．（2）求滿足條件的m的所有正整數(shù)值．【分析】（1）直接把兩式相減即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中x﹣y的表達(dá)式列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：（1）2x+y=?2m+3①x+2y=4②①﹣②得，x﹣y＝﹣2m+3﹣4＝﹣2m﹣1；（2）由題意，得﹣2m﹣1＞﹣8，解得m＜7∵m為正整數(shù)，∴m＝1、2或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022春?市中區(qū)期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x?3y=?2x?2y=k的解滿足x﹣y（1）求k的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集為x＞1，求整數(shù)k的值．【分析】（1）根據(jù)題目中方程組的的特點(diǎn)，將兩個(gè)方程作差，即可用含k的代數(shù)式表示出x﹣y，再根據(jù)x﹣y＜0，即可求得k的取值范圍，本題得以解決．（2）不不等式（2k+1）x＜2k+1的解集為x＞1，根據(jù)不等式得性質(zhì)得到2k+1＜0，得到k的取值范圍，再根據(jù)（1）k的范圍，求得k最終的取值范圍，即可得到答案．【解答】解：2x?3y=?2①x?2y=k②①﹣②，得x﹣y＝﹣2﹣k，∵x﹣y＜0，∴﹣2﹣k＜0，解得k＞﹣2；（2）∵不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集為x＞1，∴2k+1＜0，解得：k＜?1又∵k＞﹣2，∴k的取值范圍為﹣2＜k＜?1∴整數(shù)k的值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解及解一元一次不等式組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式組是解決本題的關(guān)鍵．題型題型九一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例題9】（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）體育課上進(jìn)行投籃比賽，規(guī)定：投進(jìn)一球可得3分，投丟一球扣1分，每人投籃12次，小李同學(xué)要想得分不低于28分，則他至少要投進(jìn)幾個(gè)球（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】設(shè)小李投進(jìn)x個(gè)球，則投丟（12﹣x）個(gè)球，利用小李的得分＝3×投進(jìn)球的數(shù)量﹣1×投丟球的數(shù)量，結(jié)合小李的得分不低于28分，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小李投進(jìn)x個(gè)球，則投丟（12﹣x）個(gè)球，依題意得：3x﹣（12﹣x）≥28，解得：x≥10，∴小李至少要投進(jìn)10個(gè)球．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉先分析題意，找到題目中不等關(guān)系，再列出不等式并解不等式得出符號(hào)題意的解.【變式9-1】（2023春?新城區(qū)期中）某商店為了促銷(xiāo)一種定價(jià)為20元的商品，采取下列方式優(yōu)惠銷(xiāo)售：若一次性購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)5件，按原價(jià)付款；若一次性購(gòu)買(mǎi)5件以上，超過(guò)部分按原價(jià)八折付款．如果小穎有200元錢(qián)，那么她最多可以購(gòu)買(mǎi)該商品（）A．5件 B．6件 C．7件 D．8件【分析】設(shè)她最多可以購(gòu)買(mǎi)該商品x件，根據(jù)題意列關(guān)于x的一元一次不等式求解即可．【解答】解：設(shè)她最多可以購(gòu)買(mǎi)該商品x件，根據(jù)題意得：20x+（x﹣5）×20×80%≤200，解得：x≤77∵x取整數(shù)，答：她最多可以購(gòu)買(mǎi)該商品7件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春?南崗區(qū)校級(jí)期中）某班為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)步學(xué)生，購(gòu)買(mǎi)筆記本和筆袋兩種文具共10個(gè)，已知筆記本每本12元，筆袋每個(gè)7元，總費(fèi)用不超過(guò)100元．則班級(jí)最多能買(mǎi)個(gè)筆記本．【分析】設(shè)班級(jí)買(mǎi)x個(gè)筆記本，則買(mǎi)（10﹣x）個(gè)筆袋，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)100元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)班級(jí)買(mǎi)x個(gè)筆記本，則買(mǎi)（10﹣x）個(gè)筆袋，依題意，得：12x+7（10﹣x）≤100，解得：x≤6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023?長(zhǎng)沙模擬）2022年，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái)．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開(kāi)辟了一處耕種園，需要去某菜苗基地采購(gòu)A，B兩種菜苗開(kāi)展種植活動(dòng)．若購(gòu)買(mǎi)30捆A種菜苗和10捆B種菜苗共需380元；若購(gòu)買(mǎi)50捆A種菜苗和30捆B種菜苗共需740元．（1）求菜苗基地A種菜苗和B種菜苗每捆的單價(jià)；（2）學(xué)校決定用828元去菜苗基地購(gòu)買(mǎi)A，B兩種菜苗共100捆，菜苗基地為支持該校活動(dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購(gòu)買(mǎi)最多可購(gòu)買(mǎi)多少捆A種菜苗？【分析】（1）設(shè)菜苗基地A種菜苗每捆的單價(jià)為x元，B種菜苗每捆的單價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)30捆A種菜苗和10捆B種菜苗共需380元；購(gòu)買(mǎi)50捆A種菜苗和30捆B種菜苗共需740元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)本次可購(gòu)買(mǎi)m捆A種菜苗，則可購(gòu)買(mǎi)（100﹣m）捆B種菜苗，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過(guò)828元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)菜苗基地A種菜苗每捆的單價(jià)為x元，B種菜苗每捆的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：30x+10y=38050x+30y=740解得：x=10y=8答：菜苗基地A種菜苗每捆的單價(jià)為10元，B種菜苗每捆的單價(jià)為8元；（2）設(shè)本次可購(gòu)買(mǎi)m捆A種菜苗，則可購(gòu)買(mǎi)（100﹣m）捆B種菜苗，根據(jù)題意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，解得：m≤60，∴m的最大值為60．答：本次購(gòu)買(mǎi)最多可購(gòu)買(mǎi)60捆A種菜苗．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式9-4】（2023?香坊區(qū)一模）文教店用1200元購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種紀(jì)念冊(cè)，已知甲種紀(jì)念冊(cè)進(jìn)價(jià)為每本12元，乙種紀(jì)念冊(cè)進(jìn)價(jià)為每本10元，文教店在銷(xiāo)售時(shí)甲種紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為每本15元，乙種紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為每本12元，全部售完后共獲利270元．（1）求文教店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紀(jì)念冊(cè)各多少本？（2）若文教店以原進(jìn)價(jià)再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紀(jì)念冊(cè)，且購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念冊(cè)的數(shù)量不變，而購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念冊(cè)的數(shù)量是第一次的2倍，乙種紀(jì)念冊(cè)按原售價(jià)銷(xiāo)售，而甲種紀(jì)念冊(cè)降價(jià)銷(xiāo)售，當(dāng)兩種紀(jì)念冊(cè)銷(xiāo)售完畢時(shí)，要使再次購(gòu)進(jìn)的紀(jì)念冊(cè)獲利不少于340元，求甲種紀(jì)念冊(cè)每本最低售價(jià)應(yīng)為多少元？【分析】（1）設(shè)文教店購(gòu)進(jìn)x本甲種紀(jì)念冊(cè)，y本乙種紀(jì)念冊(cè)，利用進(jìn)貨總價(jià)＝進(jìn)貨單價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量及總利潤(rùn)＝每本的銷(xiāo)售利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量（進(jìn)貨數(shù)量），可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲種紀(jì)念冊(cè)每本售價(jià)為m元，利用總利潤(rùn)＝每本的銷(xiāo)售利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量（進(jìn)貨數(shù)量），可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)文教店購(gòu)進(jìn)x本甲種紀(jì)念冊(cè)，y本乙種紀(jì)念冊(cè)，根據(jù)題意得：12x+10y=1200(15?12)x+(12?10)y=270解得：x=50y=60答：文教店購(gòu)進(jìn)50本甲種紀(jì)念冊(cè)，60本乙種紀(jì)念冊(cè)；（2）設(shè)甲種紀(jì)念冊(cè)每本售價(jià)為m元，根據(jù)題意得：50（m﹣12）+（12﹣10）×60×2≥340，解得：m≥14，∴m的最小值為14．答：甲種紀(jì)念冊(cè)每本最低售價(jià)應(yīng)為14元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式9-5】（2023春?市中區(qū)期中）為了響應(yīng)節(jié)能減排的號(hào)召，推動(dòng)綠色生活方式，某品牌汽車(chē)4S店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A型和B型兩種不同型號(hào)的電動(dòng)汽車(chē)共20輛進(jìn)行銷(xiāo)售．成本價(jià)（萬(wàn)元/輛）售價(jià)（萬(wàn)元/輛）A型1616.8B型2829.4（1）為了保證該4S店購(gòu)進(jìn)的A型電動(dòng)汽車(chē)不少于B型電動(dòng)汽車(chē)的3倍，則A型車(chē)至少購(gòu)買(mǎi)多少輛？（2）在（1）的條件下，若這20輛電動(dòng)汽車(chē)全部售出，為使4S店銷(xiāo)售的利潤(rùn)最大，購(gòu)進(jìn)A型電動(dòng)汽車(chē)多少輛？最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）設(shè)該4S店購(gòu)進(jìn)A型電動(dòng)汽車(chē)x輛，則購(gòu)進(jìn)B型電動(dòng)汽車(chē)（20﹣x）輛，根據(jù)該4S店購(gòu)進(jìn)的A型電動(dòng)汽車(chē)不少于B型電動(dòng)汽車(chē)的3倍，可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)這20輛電動(dòng)汽車(chē)全部售出后4S店獲得的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，利用總利潤(rùn)＝每輛電動(dòng)汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)該4S店購(gòu)進(jìn)A型電動(dòng)汽車(chē)x輛，則購(gòu)進(jìn)B型電動(dòng)汽車(chē)（20﹣x）輛，根據(jù)題意得：x≥3（20﹣x），解得：x≥15，∴x的最小值為15．答：A型車(chē)至少購(gòu)買(mǎi)15輛；（2）設(shè)這20輛電動(dòng)汽車(chē)全部售出后4S店獲得的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得：y＝（16.8﹣16）x+（29.4﹣28）（20﹣x），即y＝﹣0.6x+28．∵k＝﹣0.6＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵x≥15，且x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝15時(shí)，y取得最大值，最大值＝﹣0.6×15+28＝19．答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)A型電動(dòng)汽車(chē)15輛時(shí)，4S店銷(xiāo)售的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是19萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．題型題型十一元一次不等式組的識(shí)別【例題10】（2021春?游仙區(qū)校級(jí)期中）下列不等式組是一元一次不等式組的是（）A．x?2＞0x(x?1)≤2 B．x+1＞0C．x?2＞0x＜?3 D．【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．是一元二次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)符合題意；D．是分式不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的定義，能熟記一元一次不等式組的定義是解此題的關(guān)鍵，含有相同字母的幾個(gè)不等式，如果每個(gè)不等式都是一次不等式，那么這幾個(gè)不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組．解題技巧提煉每個(gè)不等式中含有同一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．形式上和方程組類(lèi)似，就是用大括號(hào)將幾個(gè)不等式合起來(lái)，就組成一個(gè)一元一次不等式組．【變式10-1】下列各式不是一元一次不等式組的是（）A．x＞3x＜1 B．3x＜5C．x?1＞3y+2＜1 D．【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義進(jìn)行解答．【解答】解：A、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、該不等式組中含有2給未知數(shù)，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)正確；D、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的定義，每個(gè)不等式中含有同一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．【變式10-2】下列各式中不是一元一次不等式組的是（）A．y＜?13y＞?5 C．x?5＞0x+2＜04x+8＜9 【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義判定則可．由幾個(gè)含有相同未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組．【解答】解：∵D選項(xiàng)中存在兩個(gè)未知數(shù)，∴它不是一元一次不等式組；其它選項(xiàng)符合一元一次不等式組的定義．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的定義，此題較簡(jiǎn)單，根據(jù)一元一次不等式組的定義進(jìn)行解答是此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【變式10-3】下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（）①x＞0，2x+5＜?1；②③1x+2＞3，⑤m+n+1≥0，m?n?1≤0；⑥A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】一元一次不等式組中指含有一個(gè)相同的未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次，不等式的兩邊都是整式，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：①②⑥是一元一次不等式，③④⑤不是一元一次不等式組，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的定義，掌握一元一次不等式組的定義是解題的關(guān)鍵．題型題型十一解一元一次不等式組【例題11】（2023春?安丘市期中）在數(shù)軸上表示不等式組x+1＞0x?3≤0A． B． C． D．【分析】先解不等式組得到﹣1＜x≤3，則在數(shù)軸表示為﹣1與3之間的部分，且不含﹣1，含3，由此即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：x+1＞0①x?3≤0②解①得x＞﹣1，解②得x≤3，故﹣1＜x≤3．在數(shù)軸上表示：故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集：利用數(shù)軸表示不等式的解集體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了解一元一次不等式組．解題技巧提煉一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小無(wú)處找．【變式11-1】（2023?臨朐縣一模）關(guān)于x的不等式組2x≤3(x+1)2?A． B． C． D．【分析】先解每一個(gè)不等式，再求公共部分，寫(xiě)出解集．【解答】解：解第一個(gè)不等式得：x≥﹣3，解第二個(gè)不等式得：x＜﹣2，所以不等式組的解集為：﹣3≤x＜﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，掌握解不等式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023?濱海新區(qū)一模）解不等式組2x+3≤7①?（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；（4）原不等式組的解集為．【分析】（1）根據(jù)解不等式的方法求解即可得到答案；（2）根據(jù)解不等式的方法求解即可得到答案；（3）根據(jù)在數(shù)軸上表示解集的方法求解即可；（4）由（3）即可得出不等式組的解集．【解答】解：（1）2x+3≤7，移項(xiàng)，得：2x≤4，系數(shù)化1，得：x≤2，故答案為：x≤2；（2）?3去分母得：﹣3x+4≤10，移項(xiàng)得：﹣3x≤6，系數(shù)化1，得：x≥﹣2，故答案為：x≥﹣2；（3）解集在數(shù)軸上表示如下：（4）解：由（3）可知，不等式組的解集為：﹣2≤x≤2．故答案為：﹣2≤x≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．2+x2【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由2+x2＞2x?1由5﹣2（x﹣3）≤x﹣1得：x≥4，則不等式組的解集為4≤x＜8，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式11-4】（2023?番禺區(qū)一模）解不等式組x+2＞?1x?5≤3(x?1)【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：x+2＞?1①x?5≤3(x?1)②解不等式①，得x＞﹣3．解不等式②，得x≥﹣1，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：所以原不等式組解集為x≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式11-5】（2023春?北碚區(qū)校級(jí)月考）解下列一元一次不等式（組）：（1）4(x+1)≤7x+10x?5＜x?83；【分析】（1）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集即可．【解答】解：（1）4(x+1)≤7x+10x?5＜解不等式4（1+x）≤7x+10，得x≥﹣2，解不等式x?5＜x?83，得∴不等式組的解集為?2≤x＜7（2）x?3(x?2)≥42x?1解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得x≤1；解不等式2x?15≥x+1∴不等式組的解集為x≤﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．題型題型十二求不等式組的整數(shù)解【例題12】（2023?徐匯區(qū)二模）求不等式組3x+6＞5(x?2)1?【分析】分別求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，從而得到不等式組的解集，即可得出答案．【解答】解：3x+6＞5(x?2)①1?解不等式①得：x＜8，解不等式②得x≥13∴不等式組的解集為138≤則不等式組整數(shù)解有2、3、4、5、6、6、7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉求一元一次不等式組的整數(shù)解分兩步來(lái)解答：一是求解一元一次不等式組，得出解集；二是根據(jù)問(wèn)題的條件，在求出的范圍內(nèi)確定滿足條件的解.【變式12-1】（2022春?新鄉(xiāng)縣校級(jí)期中）不等式組2x?6≥04?x＜?1的最小整數(shù)解是【分析】根據(jù)一元一次不等式求解方法，分別求解不等式，確定不等式組的解集，然后即可得出最小整數(shù)解．【解答】解：2x?6≥0①4?x＜?1②解不等式①得：x≥3，由不等式②得：x＞5，∴該不等式組的解集為：x＞5，∴其最小整數(shù)解為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求不等式組的解集及整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的方法是解題關(guān)鍵．【變式12-2】（2023?息縣模擬）不等式組12?4x＞?8x+4≥5A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集，最后求出不等式組的整數(shù)解即可．【解答】解：12?4x＞?8①解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥1，所以不等式組的解集是1≤x＜5，所以不等式組的整數(shù)解是1，2，3，4，共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解和解一元一次不等式組，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2023春?南海區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)M（1﹣a，12﹣4a）在第二象限，且它的坐標(biāo)都是整數(shù)，則a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】點(diǎn)在第二象限內(nèi)，那么橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0．而后求出整數(shù)解即可．【解答】解：∵M(jìn)（1﹣a，12﹣4a）在第二象限．∴1?a＜012?4a＞0解得1＜a＜3，因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為整數(shù)，所以a＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，解一元一次不等式組以及一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握各象限的符號(hào)特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【變式12-4】（2022秋?湘潭縣期末）求不等式組4x?7＜5(x?1)2x≤18?3x+7【分析】先求出不等式組的解集，再求出正整數(shù)解即可．【解答】解：4x?7＜5(x?1)①2x≤18?3x+7②解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤5，∴不等式組的解集為：﹣2＜x≤5，其中正整數(shù)解是1，2，3，4，5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解不等式組及不等式組的解集，熟練掌握不等式組的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式12-5】（2023?漣水縣校級(jí)模擬）x+32【分析】求出每個(gè)不等式的解集，再確定其公共解，得到不等式組的整數(shù)解，求其和即可．【解答】解：x+32解不等式①得x≥﹣1，解不等式②得x＜3，∴原不等式組的解集是﹣1≤x＜3，∴原不等式組的整數(shù)解是﹣1，0，1，2，∴所有整數(shù)解的和﹣1+0+1+2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次不等式組的解法，并會(huì)根據(jù)未知數(shù)的范圍確定它所滿足的特殊條件的值．一般方法是先解不等式組，再根據(jù)解集求出特殊值．題型題型十三根據(jù)不等式組的解集求字母范圍【例題12】（2022春?兗州區(qū)期末）若不等式組x＜m+1x＞2m?1無(wú)解，則mA．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)不等式組無(wú)解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式組x＜m+1x＞2m?1∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組和解一元一次不等式，能得出關(guān)于m的不等式是解此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉解答這類(lèi)題，一般先將字母視為常數(shù)，再逆用不等式組解集的意義，由不等式組的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.【變式13-1】（2022?珠海二模）如果不等式組x3＜1?x?36x＜mA．m＜78 B．m≥78 C．m＜3【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同小取小并結(jié)合不等式組的解集可得答案．【解答】解：解不等式x3＜1?x?3∵x＜m且不等式組的解集為x＜3，∴m≥3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2023?零陵區(qū)模擬）若關(guān)于x的不等式組3x?2＜mx+1≥0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：3x?2＜m①x+1≥0②解不等式①得：x＜m+2解不等式②得：x≥﹣1，∵不等式組有解，∴m+23∴m＞﹣5，故答案為：m＞﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解不等式組：求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．【變式13-3】（2023春?北碚區(qū)校級(jí)期中）已知不等式組x?a＜1x?2b＞3的解集為﹣1＜x＜3，則（a+1）（b﹣1）＝【分析】解出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解集為﹣1＜x＜3，可以求出a、b的值，從而求得（a+1）（b﹣1）的值．【解答】解：由x?a＜1x?2b＞3得x＜a+1∵不等式組x?a＜1x?2b＞3的解集為﹣1＜x∴a+1＝3，3+2b＝﹣1，解得：a＝2，b＝﹣2，∴（a+1）（b﹣1）＝（2+1）×（﹣2﹣1）＝﹣9，故答案為：﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式13-4】（2023春?北碚區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的不等式組?x+2＜x?6x＞a的解集是x＞4，且關(guān)于y的一元一次方程3a﹣5y＝﹣9的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)aA．3 B．4 C．5 D．6【分析】先解不等式組，由不等式組的解集確定出a的取值范圍，再由一元一次方程的解為非負(fù)數(shù)求出滿足題意的整數(shù)a的值，然后相加即可．【解答】解：?x+2＜x?6①x＞a②解不等式①，得x＞4，∵關(guān)于x的不等式組?x+2＜x?6x＞a的解集是x∴a≤4，解方程3a﹣5y＝﹣9，得：y=3a+9∵y≥0，∴3a+95∴a≥﹣3，∴﹣3≤a≤4，∴整數(shù)a的值為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式13-5】（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥xA．2 B．3 C．5 D．6【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負(fù)整數(shù)，且關(guān)于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，可以求得k【解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k，∵關(guān)于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負(fù)整數(shù)，∴3﹣k≥0，得k≤3，x?2(x?1)≤3①由①，得x≥﹣1，由②，得x≤k，∵關(guān)于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x∴﹣1≤k，得k≥﹣1，由上可得，﹣1≤k≤3，∴符合條件的整數(shù)k的值為：﹣1，0，1，2，3，∴符合條件的整數(shù)k的值的和為：﹣1+0﹣1+1+2+3＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次方程、解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程和不等式的方法．題型題型十四利用整數(shù)解求字母的取值范圍【例題14】（2023春?東城區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的不等式組3?2x≥0x≥m有2個(gè)整數(shù)解，則mA．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0＜m≤1 D．0≤m＜1【分析】先求得每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組的整數(shù)解得到關(guān)于m的不等式組即可求解．【解答】解：解不等式組3?2x≥0x≥m得x≤3∴不等式組的解集為m≤x≤3∵原不等式組有2個(gè)整數(shù)解，∴﹣1＜m≤0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出m的取值范圍是解答的關(guān)鍵，注意邊界值的取舍．解題技巧提煉利用整數(shù)解求字母的取值范圍的方法：（1）先求出每個(gè)不等式解集，其中一個(gè)不等式解集（含待定字母），如x＜1+n；（2）畫(huà)數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出確定的一個(gè)解集，并在數(shù)軸上觀察出一解集中（1+n）的取值范圍.（3）列出不等式組，求出不等式組的解集.【變式14-1】（2023春?包河區(qū)期中）已知關(guān)于x的不等式組x＞a2x＞3(x?2)+5僅有兩個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)a的值是【分析】先解不等式組，得出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組僅有兩個(gè)整數(shù)解得出a的取值范圍，在確定整數(shù)a的值即可．【解答】解：由不等式2x＞3（x﹣2）+5，得x＜1，∴不等式組的解集為a＜x＜1，∵不等式組僅有兩個(gè)整數(shù)解，∴這兩個(gè)整數(shù)解為﹣1，0，∴﹣2≤a＜﹣1，∴整數(shù)a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，利用不等式組的整數(shù)解得個(gè)數(shù)，確定a的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式14-2】（2023春?青羊區(qū)期中）如果關(guān)于x的不等式組x+212≥3?xx＜m恰有3個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是【分析】表示出不等式組的解集，由不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，確定出m的范圍即可．【解答】解：x+212解①得，x≥﹣5，∴不等式組x+212≥3?xx＜m的解集為﹣5≤x由不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，得到整數(shù)解為﹣5、﹣4、﹣3，∴﹣3＜m≤﹣2．故答案為：﹣3＜m≤﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，表示出不等式組的解集是解本題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2023春?蓮湖區(qū)期中）若實(shí)數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組x?13+1＞x【分析】表示出不等式組的解集，根據(jù)不等式組x?13+1＞x【解答】解：由x?13+1＞x由6x﹣5≥a得x≥∵不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解，即有0，1，2，3，4個(gè)整數(shù)解，∴﹣1＜a+5∴﹣11＜a≤﹣5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組取解集的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式14-4】（2023春?桐柏縣校級(jí)月考）已知關(guān)于x的不等式組2x+53?x＞5x+3【分析】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知得出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解即可得出關(guān)于t的不等式組，求出即可．【解答】解：2x+53解不等式①得：x＜10，解不等式②得：x＞3﹣2t，則不等式組的解集為：3﹣2t＜x＜10，∵不等式組有5個(gè)整數(shù)解∴3?2t≥43?2t＜5解得﹣1＜t≤﹣0.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式（組），一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于t的不等式組．【變式14-5】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）若存在一個(gè)整數(shù)m，使得關(guān)于x，y的方程組3x+2y=4m+5x?y=m?1的解滿足x+4y≤3，且讓不等式5x?m＞0x?4＜?1只有3個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14【分析】由方程組得x=6m+35，y=m+85，由x+4y≤3，得到關(guān)于m的不等式，解不等式得到m≤﹣2，再解不等式組求得每個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組只有3個(gè)整數(shù)解得出﹣1【解答】解：3x+2y=4m+5①x?y=m?1②①+②×2，得：5x＝6m+3，解得x=6m+3①﹣②×3，得：5y＝m+8，解得y=m+8∵x+4y≤3，∴6m+35解得m≤﹣2，解不等式5x﹣m＞0，得：x＞m解不等式x﹣4＜﹣1，得：x＜3，∵不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，∴﹣1≤m解得﹣5≤m＜0，∴﹣5≤m≤﹣2，∴符合條件的整數(shù)m的值的和為﹣5﹣4﹣3﹣2＝﹣14，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程和一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．題型題型十五方程組與不等式組的綜合應(yīng)用【例題15】如果關(guān)于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式組1?x2＞x?22(x?3)≤x?8范圍．【分析】求出不等式組的解集，確定出x是范圍，由方程變形后表示出x，代入計(jì)算即可求出m的范圍．【解答】解：不等式組整理得：x＜5解得：x≤﹣2，由x+2+m＝0，得到x＝﹣2﹣m，可得﹣2﹣m≤﹣2，解得：m≥0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不等式的解集，以及一元一次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題運(yùn)用了消元法和常量法，解答這類(lèi)題，一般先將某個(gè)字母視為常數(shù)，求出方程組的