七年級數(shù)學(xué)下冊 第六章 實數(shù) 知識串講+熱考題型（解析版）

七年級下冊數(shù)學(xué)《第六章實數(shù)》本章知識綜合運用三個三個概念●●1、算術(shù)平方根與平方根：◆◆算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.表示方法：a的算術(shù)平方根記作：，讀作:“根號a”.◆◆平方根：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.表示方法：正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為，正數(shù)a的負的平方根，可以表示為-.正數(shù)a的平方根可以用±表示，讀作“正、負根號a”．●●2、立方根：◆◆立方根的定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.這就是說，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆◆立方根的表示方法：一個數(shù)a的立方根，用符號“”表示，讀作“三次根號a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).●●3、實數(shù)：◆◆1、實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).◆◆2、實數(shù)的分類：（1）按定義分類．（2）按性質(zhì)分類.三個三個性質(zhì)●●1、平方根的性質(zhì)：①正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負數(shù)沒有平方根.●●2、立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0.①互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)，即.②.●●3、實數(shù)的性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣．一個一個運算●●實數(shù)的運算◆◆題型一題型一平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念【例題1】（2022春?信陽期末）下列說法中，正確的是（）A．0.09的平方根是0.3 B．4=±2C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1【分析】根據(jù)平方根的意義、立方根的意義，可得答案．【解答】解：A、0.09的平方根是±0.3，故A不符合題意；B、4=2，故BC、0的立方根是0，故C符合題意；D、1的立方根是1，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)，利用平方根的意義、立方根的意義是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉1、一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.2、一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.3、一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.【變式1-1】（2022春?合肥期末）下列說法錯誤的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一個平方根 D．算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1【分析】根據(jù)立方根的定義和求法，平方根的定義和求法，以及算術(shù)平方根的定義和求法，逐項判定即可．【解答】解：A、3的平方根是±3，原說法錯誤，故此選項符合題意；B、﹣1的立方根是﹣1，原說法正確，故此選項不符合題意；C、0.1是0.01的一個平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；D、算術(shù)平方根是本身的數(shù)只有0和1，原說法正確，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的定義，平方根的定義，以及算術(shù)平方根的定義．【變式1-2】（2022秋?雞澤縣期末）下列說法中，正確的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算術(shù)平方根是±7；③127的立方根是1④116的平方根是1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)立方根、平方根和算術(shù)平方根的定義分別對每小題進行分析，即可得出答案．【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，原說法正確；②49的算術(shù)平方根是7，原說法錯誤；③127的立方根是1④116的平方根是±1正確的個數(shù)有2個；故選：B．【點評】此題考查了立方根、平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握立方根、平方根和算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?右玉縣期末）(?1A．?14 B．14 C．±【分析】先根據(jù)乘方的定義得出（?14）2【解答】解：∵（?14）2∴(?14)故選：C．【點評】本題主要考查平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的概念．【變式1-4】（2022春?隴縣期末）﹣8的立方根與4的算術(shù)平方根的和是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．0或﹣4【分析】分別利用立方根的定義和算術(shù)平方根的定義進行求解即可．【解答】解：∵﹣8的立方根為﹣2，4的算術(shù)平方根為2，∴﹣8的立方根與4的算術(shù)平方根的和為：﹣2+2＝0，故選：A．【點評】此題主要考查立方根的定義及算術(shù)平方根的定義，比較簡單．【變式1-5】（2022秋?東明縣校級期末）若4是（8+a）的一個平方根，則a的立方根是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義進行計算即可．【解答】解：∵4是（8+a）的一個平方根，∴8+a＝16即a＝8，∴a的立方根是38故選：D．【點評】本題考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定義是關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?東平縣期末）兩個連續(xù)自然數(shù)，前一個數(shù)的算術(shù)平方根是x，則后一個數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C．x+1 D．x【分析】先求出這個數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義再求出它的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，∴這個自然數(shù)是x2，下一個自然數(shù)是x2+1，∴下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是：x2故選：D．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的定義，先根據(jù)算術(shù)平方根求出這個數(shù)及它的下一個自然數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2021秋?永年區(qū)期末）下列說法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算術(shù)平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平方根可以判斷①②⑥，根據(jù)立方根可以判斷③④⑤，根據(jù)算術(shù)平方根可以判斷④．【解答】解：①﹣2是4的平方根，符合題意；②16的平方根是±4，不符合題意；③﹣125的立方根是﹣5，不符合題意；④0.25的算術(shù)平方根是0.5，符合題意；⑤27125的立方根是3⑥81的平方根是±3，不符合題意；符合題意的有：①④，故選：B．【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根和立方根，掌握算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．題型題型二平方根、算術(shù)平方根、立方根的計算【例題2】（2021秋?興慶區(qū)校級期末）下列各式計算正確的是（）A．3?1=?1 B．38=±2 C．【分析】原式各項計算得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：A、原式＝﹣1，故本選項計算正確；B、原式＝2，故本選項計算錯誤；C、原式＝2，故本選項計算錯誤；D、原式＝±3，故本選項計算錯誤；故選：A．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、求一個正數(shù)的平方根就是看哪兩個數(shù)的平方等于這個正數(shù)，這兩個數(shù)就是正數(shù)的平方根，其中正的那個為該數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根和平方根都是0.2、求立方根就是看哪個數(shù)的立方等于這個數(shù)，正數(shù)的立方根有一個正的立方根，負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根為0，立方根為其本身的數(shù)有±1,0.【變式2-1】（2023?任城區(qū)校級開學(xué)）64的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．±4【分析】直接利用平方根的定義求解即可．【解答】解：64的平方根，即8的平方根是：±8=±22故選：C．【點評】本題考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．理解64的平方根即8的平方根是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?廣饒縣校級期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，則a+bA．4 B．2 C．±2 D．3【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值意義和ab＜0求出a、b值，從而求出a+b值，再求出其算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵a=3∴a＝9，∵|b|＝5，∴b＝±5，∵ab＜0，∴a＝9，b＝﹣5，∴a+b＝9﹣5＝4，∴a+b的算術(shù)平方根為4=2故選：B．【點評】本題考查算術(shù)平方根與絕對值，有理數(shù)乘法，熟練掌握正確求出一個數(shù)的算術(shù)平方根與絕對值是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋?屯留區(qū)期末）如果x=3?27，那么代數(shù)式x（x﹣5）﹣xA．15 B．5 C．﹣5 D．﹣15【分析】根據(jù)求一個數(shù)的立方根求得x＝﹣3，代入化簡后的式子，即可求解．【解答】解：∵x=3∴x（x﹣5）﹣x2＝x2﹣5x﹣x2＝﹣5x＝﹣5×（﹣3）＝15，故選：A．【點評】本題考查了求一個數(shù)的立方根，代數(shù)式求值，單項式乘以多項式，求得x（x﹣5）﹣x2是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022秋?通川區(qū)校級期末）﹣27的立方根與9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6【分析】依據(jù)平方根和立方根的定義求得這兩個數(shù)，然后利用加法法則計算即可．【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．故選：D．【點評】本題考查了立方根和平方根的定義，掌握立方根和平方根的定義是關(guān)鍵．【變式2-5】（2021秋?仁壽縣校級期末）已知2x﹣1和5﹣x為某實數(shù)的平方根，則x的值為（）A．﹣4 B．2 C．4或﹣2 D．﹣4或2【分析】結(jié)合平方根的性質(zhì)，分兩種情況討論，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：2x﹣1+5﹣x＝0或2x﹣1＝5﹣x，解得：x＝﹣4或x＝2．故選：D．【點評】本題考查了平方根，一個正數(shù)的有兩個平方根且兩個平方根的和為0，掌握分類討論思想解答是關(guān)鍵．【變式2-6】（2022春?寧國市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根（）A．±5 B．12 C．13 D．±13【分析】根據(jù)平方根，立方根的定義即可得到x、y的值，最后代入x2+y2求解，再計算出其算術(shù)平方根即可得到答案．【解答】解：∵x﹣1的平方根是±2，∴x﹣1＝4，∴x＝5，又∵2x+y+5的立方根是3，∴2x+y+5＝27，∴把x的值代入解得：2×5+y+5＝27，∴y＝12，∴x2+y2＝52+122＝169，∴x2+y2的算術(shù)平方根為169=13故選：C．【點評】此題考查了平方根，立方根的概念，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義判斷出一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，借助乘方運算來尋找答案．【變式2-7】求下列式子中的x的值：（1）18﹣2x2＝0；（2）（x+1）3+27＝0．（3）4（x﹣2）2＝49；（4）（x﹣1）3＝64．【分析】（1）直接利用平方根的定義計算得出答案；（2）直接利用立方根的定義計算得出答案．（3）直接利用平方根的定義計算得出答案；（4）直接利用立方根的定義計算得出答案．【解答】解：（1）18﹣2x2＝0，則2x2＝18，故x2＝9，解得：x＝±3；（3）（x+1）3+27＝0，則（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，解得：x＝﹣4．（4）∵4（x﹣2）2＝49，∴(x?2)∴x?2=±7∴x=2±7∴x=112或（2）∵（x﹣1）3＝64，∴x﹣1＝4，∴x＝5．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及平方根、立方根，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2-8】（2022春?海淀區(qū)校級期中）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是2x﹣3和1﹣x，31?2b與33b?5互為相反數(shù)，求a+2【分析】利用平方根的意義求出a值，利用相反數(shù)的意義求出b值，將a，b值代入代數(shù)式計算即可．【解答】解：∵正數(shù)a的兩個平方根分別是2x﹣3和1﹣x，∴2x﹣3+1﹣x＝0，解得：x＝2．∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，∴a＝1；∵31?2b與3∴1﹣2b+3b﹣5＝0，解得：b＝4．當a＝1，b＝4時，a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．【點評】本題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，平方根，立方根，相反數(shù)的意義，利用平方根的意義求出a值，利用相反數(shù)的意義求出b值是解題的關(guān)鍵．【變式2-9】（2022春?前郭縣月考）已知2a+1的平方根為±3，a+3b﹣3的立方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根據(jù)立方根、平方根的定義解決此題．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解決此題．【解答】解：（1）由題意得：2a+1＝9，a+3b﹣3＝64．∴a＝4，b＝21．（2）由（1）得：a＝4，b＝21．∴a+b＝4+21＝25．∴a+b的平方根為±25【點評】本題主要考查平方根、立方根，熟練掌握平方根、立方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．題型題型三無理數(shù)的識別【例題3】（2022秋?盱眙縣期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的為（）A．3.1?4? B．3.1415926 C．22【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷．【解答】解：A、3.1?B、3.1415926是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；C、227D、π是無理數(shù)，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）對有理數(shù)和無理數(shù)進行區(qū)分時，應(yīng)先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據(jù)結(jié)果進行分類，不能僅看到用根號表示的數(shù)就認為是無理數(shù)；（2）π是無理數(shù)，，化簡后含π的數(shù)也是無理數(shù)，判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)要抓住兩點：一是無限小數(shù)；二是其形式不循環(huán).【變式3-1】（2022秋?二七區(qū)校級期末）在實數(shù)3?27，0.1.23.，π，34A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解．【解答】解：3?27所以無理數(shù)有π，34，8，3故選：C．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春?長沙期中）有下列說法：①無理數(shù)是無限小數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù)；②無理數(shù)包括正無理數(shù)、0和負無理數(shù)；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④無理數(shù)是含有根號且被開方數(shù)不能被開盡的數(shù)；⑤3A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)實數(shù)的分類判斷．【解答】解：∵無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，∴①錯誤．∵0是有理數(shù)，∴②錯誤．∵4=∴③錯誤．∵π也是無理數(shù)，不含根號，∴④錯誤．∵33∴⑤錯誤．故選：A．【點評】本題考查實數(shù)的概念，掌握無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)是求解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）在實數(shù)5、227、0、3?1、3.1415、16、4.21、3A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：3?1=?1，故在實數(shù)5、227、0、3?1、3.1415、16、4.21、3π、6.1010010001…（相鄰兩個1之間的0依次增加1個）中，無理數(shù)有5、3故選：A．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，6，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．【變式3-4】（2022秋?渭濱區(qū)期末）下列各數(shù)3.1415926，9，1.212212221…（相鄰兩個1之間依次增加一個2），15，3﹣π，﹣2023，34中，無理數(shù)有【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，“無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)”逐個分析判斷即可．【解答】解：在3.1415926，9=3，1.212212221…（相鄰兩個1之間依次增加一個2），15，3﹣π，﹣2023，3.1415926，9，151.212212221…（相鄰兩個1之間依次增加一個2），3﹣π，，34故答案為：3．【點評】本題考查了無理數(shù)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．【變式3-5】（2022秋?秦淮區(qū)期中）下列各數(shù)：①0.3?，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相鄰兩個1之間依次增加1個0）是無理數(shù)的是【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：在實數(shù)①0.3?，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相鄰兩個1之間依次增加1個0）中，無理數(shù)有故答案為：⑤⑥．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），等有這樣規(guī)律的數(shù)．題型題型四實數(shù)的分類【例題4】（2022?將樂縣模擬）實數(shù)﹣3，?5，?A．﹣3 B．?5 C．?1【分析】根據(jù)負數(shù)小于0，以及整數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：實數(shù)﹣3，?5，?故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握負數(shù)小于0，以及整數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題采用分類法解答，可先把題目中所列各數(shù)分成有理數(shù)和無理數(shù)兩類，再從有理數(shù)中找整數(shù)及分數(shù).【變式4-1】（2022春?鳳陽縣校級期末）在0.1、π、117、2、16、?A．4 B．5 C．3 D．2【分析】利用有理數(shù)的概念，從所給的數(shù)中找出所有的有理數(shù)即可．【解答】解：∵16=4，?∴在0.1、π、117、2、16、?38數(shù)中，有理數(shù)有：0.1，117，故選：A．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的概念，實數(shù)的分類，準確找出所有的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春?靈寶市期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類標準解決此題．【解答】解：【點評】本題主要考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類標準是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋?新昌縣期中）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的括號內(nèi)．?12，0，0.16，312，3，?235有理數(shù)：{…}；無理數(shù)：{…}；負實數(shù)：{…}；正分數(shù)：{…}．【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)，負實數(shù)和正分數(shù)的概念即可得到答案．【解答】解：有理數(shù)：{?12，0，0.16，31無理數(shù)：{3，?235，π負實數(shù)：{?12，?2正分數(shù)：{0.16，31故答案為：?12，0，0.16，313，?235，π?12，?20.16，31【點評】本題考查了實數(shù)的分類，理解有理數(shù)、無理數(shù)、負實數(shù)和正分數(shù)的有關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?揚州期中）將下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里．①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|?207|，⑤π2，⑥0，⑦整數(shù)集合：{…}；分數(shù)集合：{…}；負數(shù)集合：{…}；有理數(shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{…}．【分析】根據(jù)實數(shù)的分類解答即可．【解答】解：整數(shù)集合：{②⑥⑧…}；分數(shù)集合：{①③④⑦…}；負數(shù)集合：{①②④⑦…}；有理數(shù)集合：{①②③④⑥⑦⑧…}；無理數(shù)集合：{⑤…}．故答案為：②⑥⑧，①③④⑦，①②④⑦，①②③④⑥⑦⑧，⑤．【點評】此題考查實數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)實數(shù)的分類解答．【變式4-5】（2022秋?安岳縣校級月考）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：3?1、3.1415、39、?5、13、π2、﹣0.3有理數(shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{…}；正實數(shù)集合：{…}；分數(shù)集合：{…}；【分析】根據(jù)實數(shù)的分類：實數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù)．或者實數(shù)分為正實數(shù)、0、負實數(shù)．進行填空．【解答】解：有理數(shù)集合：{3.1415、13、﹣0.3?、64、0、（﹣2）無理數(shù)集合：{3?1、39、?5正實數(shù)集合：{3?1、3.1415、39、13、π分數(shù)集合：{3.1415、13、﹣0.3故答案為：3.1415、13、﹣0.3?、64、0、（﹣2）3；3?1、39、?5、π2、2.3030030003……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加1）；3?1、3.1415、39、13【點評】此題主要考查了有理數(shù)、無理數(shù)及實數(shù)的定義，用到的知識點為：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．題型題型五實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值【例題5】（2022?新會區(qū)模擬）9的相反數(shù)和倒數(shù)分別是（）A．3，13 B．3，?13 C．﹣3，?【分析】直接利用相反數(shù)以及倒數(shù)的定義分別得出答案．【解答】解：9=3，則3的相反數(shù)和倒數(shù)分別是：﹣3，1故選：D．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根以及倒數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉1、數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個實數(shù).2、數(shù)a的倒數(shù)是1a(a≠0).

3、【變式5-1】（2023?龍華區(qū)一模）9的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．33 C．13 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和相反數(shù)的概念求即可．【解答】解：9=∴9的相反數(shù)是﹣3，故選：A．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，相反數(shù)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?裕華區(qū)校級期末）實數(shù)?6A．6 B．?6 C．6 【分析】根據(jù)絕對值的定義解決此題．【解答】解：?6的絕對值是：6故選：A．【點評】此題主要考查了絕對值，正確掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對值是﹣5 B．任何實數(shù)都有倒數(shù) C．任何實數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是1【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：A、5的絕對值是5，不符合題意；B、0沒有倒數(shù)，不符合題意；C、任何實數(shù)都有相反數(shù)，符合題意；D、﹣2的倒數(shù)是?1故選：C．【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?朝陽區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．絕對值是5的數(shù)是5 B．?2的相反數(shù)是±2C．1?2的絕對值是2?1 D．【分析】利用絕對值的意義，立方根，相反數(shù)的意義對每個選項作出判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵絕對值是5的數(shù)是5或?5∴A選項的結(jié)論不正確；∵?2的相反數(shù)是2∴B選項的結(jié)論不正確；∵1?2的絕對值是2∴C選項的結(jié)論正確；∵3?8∴3?8∴D選項的結(jié)論不正確；故選：C．【點評】本題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，絕對值的意義，立方根，相反數(shù)的意義，正確利用絕對值的意義，立方根，相反數(shù)的意義進行解答是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2022?南京模擬）下列各數(shù)中，它的相反數(shù)與它的絕對值不相等的是（）A．0 B．?2 C．π D．【分析】根據(jù)絕對值和相反數(shù)的定義進行判斷即可．【解答】解：A.0的相反數(shù)是0，0的絕對值是0，故A不符合題意；B.?2的相反數(shù)是2，?2的絕對值是2，故C．π的相反數(shù)是﹣π，π的絕對值是π，故C符合題意；D.3?8=?2，﹣2的相反數(shù)是2，﹣2的絕對值是2，故故選：C．【點評】本題主要考查了絕對值和相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的意義，一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．【變式5-6】（2022秋?屯留區(qū)期末）與|2?7A．7?2 B．2?7 C．2+7【分析】利用負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求解．【解答】解：∵2?7∴|2?7故選：A．【點評】本題考查了絕對值化簡，正確理解絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．【變式5-7】（2022秋?武義縣期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．?9與327 B．3?8與?38 C．|?2|【分析】利用相反數(shù)的定義判斷．【解答】解：A、∵?9=?3，∴?9與327互為相反數(shù)，∵3?8=?2，∴3?8=?3|?2|=2，∵3?8∴2與3?8不是互為相反數(shù)，D故選：A．【點評】本題考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．【變式5-8】已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，則?3A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【分析】直接利用倒數(shù)的定義以及相反數(shù)的定義分別分析得出答案．【解答】解：∵a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，∴ab＝1，c+d＝0，則?3＝﹣1+0+1＝0．故選：C．【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．題型題型六實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系【例題6】（2023?泰山區(qū)校級開學(xué)）實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列判斷錯誤的是（）A．|m|＞1 B．1﹣m＜1 C．mn＜0 D．m+1＜0【分析】由圖可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1．根據(jù)絕對值的定義、不等式的性質(zhì)以及實數(shù)的運算解決本題．【解答】解：由圖可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1，|m|＞n，A．由圖知：|m|＞1，故A不符合題意．B．由圖知：1﹣m＞1，故B符合題意．C．由圖知：mn＜0，故C不符合題意．D．由圖知：m+1＜0，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查絕對值，實數(shù)的運算以及不等式的性質(zhì)，熟練掌握絕對值，實數(shù)的運算以及不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).2、與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大.【變式6-1】（2022秋?南安市期末）如圖，5在數(shù)軸上對應(yīng)的點可能是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q【分析】5在2到3之間，故找2與3之間的點即可．【解答】解：4＜即2＜5故選：D．【點評】本題考查的是數(shù)軸與實數(shù)，解題的關(guān)鍵是會用夾逼法求5的范圍．【變式6-2】則下列選項中可能被覆蓋住數(shù)是（）A．3 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)3、5、6、7的大小即可．【解答】解：數(shù)軸被墨跡污染的數(shù)介在1與2之間，∵12＝1，22＝4，32＝9，∴1＜3＜2，2＜5＜3，2故選：A．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式6-3】（2022秋?江北區(qū)期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列說法一定正確的是（）A．a(chǎn)+b＜0 B．|a|＞|b| C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)b＜0【分析】有數(shù)軸可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，有運算法則可知，ab＜0．【解答】解：有數(shù)軸可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，根據(jù)有理數(shù)的運算法則可得，∴a+b＞0，a﹣b＜0，ab＜0，故選：D．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出隱含條件a＜0，b＞0，|a|＜|b|．【變式6-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在數(shù)軸上數(shù)表示2，5的對應(yīng)點分別是B、C，B是AC的中點，則點A表示的數(shù)（）A．?5 B．2?5 C．4?5【分析】設(shè)點A表示的數(shù)是a，求出BC之間的距離，求出AB，即可得出關(guān)于a的方程，求出即可．【解答】解：設(shè)點A表示的數(shù)是a，∵在數(shù)軸上數(shù)表示2，5的對應(yīng)點分別是B、C，∴B、C之間的距離是BC=5∵B是AC的中點，∴AB＝BC=5∵B點表示的數(shù)是2，A點表示的數(shù)是a，∴2﹣a=5解得：a＝4?5故選：C．【點評】本題考查了數(shù)軸和實數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：在數(shù)軸上AB之間的距離是AB＝|xA﹣xB|．【變式6-5】（2022秋?常德期末）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數(shù)1的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A、B，則點A、B表示的數(shù)分別是（）A．?2，2 B．2?1，2+1 C．1?2，1【分析】先根據(jù)勾股定理求出正方形的對角線長，再根據(jù)兩點間的距離公式為：兩點間的距離＝較大的數(shù)﹣較小的數(shù)，便可求出1和A之間的距離，進而可求出點A表示的數(shù)．【解答】解：數(shù)軸上正方形的對角線長為：12+12=∴點A表示的數(shù)是1?2；點B表示的數(shù)為1+故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，本題需注意：知道數(shù)軸上兩點間的距離，求較小的數(shù)，就用較大的數(shù)減去兩點間的距離．【變式6-6】（2022秋?吉州區(qū)期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）填空：a0，b0，c0（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）直接寫出|a﹣c|＝，|a﹣b|＝，|1﹣b|＝；（3）化簡：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸得出答案即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可；（3）先去掉絕對值符號，再合并同類項即可．【解答】解：（1）由數(shù)軸可得，∴a＞0，b＞0，c＜0，故答案為：＞，＞，＜；（2）由（1）知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，1﹣b＜0，∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|1﹣b|＝b﹣1，故答案為：a﹣c，b﹣a，b﹣1；（3）由數(shù)軸可得，a﹣c＞0，1﹣c＞0，a﹣b＜0，原式＝（a﹣c）﹣2（1﹣c）﹣（a﹣b）＝a﹣c﹣2+2c﹣a+b＝c+b﹣2．【點評】本題考查了絕對值，數(shù)軸，實數(shù)的大小比較等知識點，能根據(jù)數(shù)軸得出c＜0＜a＜b和|c|＜|a|＜|b|是解此題的關(guān)鍵．【變式6-7】（2022?南京模擬）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B，C三點，點A，B表示數(shù)1和2．點B到點A的距離與點C到點O的距離相等，設(shè)點C所表示的數(shù)為x．（1）請你求出數(shù)x的值．（2）若m為(x?2)的相反數(shù)，n為（x﹣2）的絕對值，求m+【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出AB之間的距離即為x的值；（2）根據(jù)題意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：（1）∵點A，B表示的數(shù)分別是1和2，∴AB=2∴OC=AB=2∴點C表示的數(shù)x=2（2）由（1）知x=2∴x?2=2∴m＝﹣（﹣1）＝1，n=|2∴m+n=1+3?2∵1＜2＜4，∴1＜2∴2＜4?2∴4?2的整數(shù)部分為2，其立方根為3【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小，數(shù)軸上兩點的距離，相反數(shù)和絕對值，正確估算1＜2＜2及2＜4題型題型七實數(shù)的非負性的應(yīng)用【例題7】（2022春?宣化區(qū)期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022A．﹣1 B．1 C．32017 D．﹣32017【分析】非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0，由此即可計算．【解答】解：∵a+2+|b∴a+2＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．故選：B．【點評】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0．解題技巧提煉算術(shù)平方根a具有雙重非負性,即被開方數(shù)a≥0且a≥0，a中隱含條件a≥0要靈活運用.2、幾個非負數(shù)的和等于零，則每個非負數(shù)的值都等于零，據(jù)此得出關(guān)于字母的方程，運用方程思想求相關(guān)字母的值.【變式7-1】（2022春?拜泉縣校級月考）已知a?2+（b+5）2+|c+1|＝0，則a+b﹣cA．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的非負性、二次方的非負性和絕對值的非負性求出a、b、c的值，然后再代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵a?2+(b+5∴a?2=0b+5=0解得：a=2b=?5∴a+b﹣c＝2+（﹣5）﹣（﹣1）＝2﹣5+1＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，涉及到求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根的非負性，二次方的非負性和絕對值的非負性，根據(jù)題意求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2021春?涼州區(qū)校級期中）若|x?3+1|（1）求x，y的值；（2）求x2+2x﹣3y的值．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值；（2）代入計算即可．【解答】解：（1）∵|x?3+1|∴x?3+1＝0，即x=3?1，（2）當x=3?1，x2+2x﹣3y＝（3?1）2+2×（3＝3﹣23+1+23＝﹣4，即x2+2x﹣3y的值為﹣4．【點評】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，掌握絕對值、算術(shù)平方根的非負性是正確解答的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）已知（a﹣16）2+b?27+|c﹣2|＝0，求代數(shù)式（a?【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b，c的值，進而代入求出答案．【解答】解：∵（a﹣16）2+b?27+|∴a﹣16＝0，b﹣27＝0，c﹣2＝0，解得：a＝16，b＝27，c＝2，∴（a?3＝（16?3＝（4﹣3）2＝1．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．【變式7-4】（2022?長陽縣校級模擬）已知a，b滿足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，再代入計算即可．【解答】解：∵a+1+|b∴a+1＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴a2012+b2013+4＝1+1+4＝6，∴a2012+b2013+4的平方根為±6．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負數(shù)的和為0，這幾個數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】2x2?6|+(y+1)2?4=0，且x【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出x2＝3，y＝﹣3，進而代入得出答案．【解答】解：∵|2x2?6|+(y+1)2∴2x2﹣6＝0，（y+1）2﹣4＝0，解得：x2＝3，y＝﹣3，故x2﹣3y＝3﹣3×（﹣3）＝3+9＝12．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出x2，y的值是解題關(guān)鍵．【變式7-6】（2021春?西峰區(qū)校級期中）已知數(shù)a，b滿足（a﹣2021）2+2020?b=0，求a﹣【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)平方根的定義即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a﹣2021＝0，2020﹣b＝0，∴a＝2021，b＝2020，∴a﹣b＝2021﹣2020＝1，∴a﹣b的平方根是±1．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值．題型題型八實數(shù)的大小比較【例題8】（2023?佛山開學(xué)）對于下列實數(shù)3，π﹣1，22，3大小排列正確的是（）A．3＜22＜π﹣1＜3B．πC．3＜π?1＜22＜3【分析】求出各無理數(shù)的近似值，再比較大小即可．【解答】解：∵π≈3.14，∴π﹣1≈2.14；∵2≈1.41，3∴22≈∵3＞2.82＞2.14＞1.7，3，∴3＜π﹣1＜22故選：C．【點評】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟記各無理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉常用的實數(shù)大小比較的方法：正實數(shù)大于零，負實數(shù)小于零，正實數(shù)大于負實數(shù)；兩個正實數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負實數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.（2）平方法：兩數(shù)平方后再比較大??；（3）作差法：通過相減判斷得到的差的正負來比較大??；（4）用中間量法比較大小，先找個中間量幫助比較出兩個同分母的分數(shù)的分子的大小，從而確定它們的大小.【變式8-1】（2022秋?南召縣期末）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A．﹣3 B．?3 C．﹣π D．【分析】根據(jù)負數(shù)比較大小的法則進行比較即可．【解答】解：?3≈?1.73，﹣π≈﹣3.14，∵3.14＞3＞2＞1.73，∴﹣3.14＜﹣3＜﹣2＜﹣1.73，即﹣π＜﹣3＜3故選：C．【點評】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟知兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022秋?長沙期末）下列四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．2 B．0 C．﹣4 D．π【分析】根據(jù)負數(shù)小于0，正數(shù)大于0即可得出答案．【解答】解：∵﹣4＜0＜2＜∴最大的數(shù)是π，故選：D．【點評】本題考查了實數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，掌握2≈1.414，π【變式8-3】（2022秋?鄞州區(qū)期末）比較大?。?35【分析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)化簡，故可比較．【解答】解：∵5＞∴5＞故答案為：＞．【點評】此題主要考查實數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知實數(shù)的性質(zhì)．【變式8-4】（2022秋?沈丘縣期末）比較大?。?022【分析】利用平方運算比較10與22的大小，即可解答．【解答】解：∵（10）2＝10，（22）2＝8，∴10＞8，∴10＞22故答案為：＞．【點評】本題考查了實數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握平方運算比較大小是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2022秋?衡東縣期末）比較下列實數(shù)的大?。??12【分析】由算術(shù)平方根的含義可得2736＞25【解答】解：∵2736＞25∴32∴3?1故答案為：＞．【點評】本題考查的是無理數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根的含義，掌握無理數(shù)的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式8-6】（2023?西湖區(qū)校級開學(xué)）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用“＜”號把它們連接起來．?12，﹣3，|﹣2|，【分析】將這些數(shù)表示在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大即可寫出答案．【解答】解：∵|﹣2|＝2，94將這四個數(shù)在數(shù)軸上所示出來（如下圖）：∴這四個數(shù)的大小關(guān)系為：?3＜?1【點評】本題考查了算術(shù)平方根，數(shù)軸與實數(shù)，掌握數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．【變式8-7】對于任意的正實數(shù)a，b，c，且b＜c，則ba（1）5?14與14；（2）7【分析】（1）與5接近的兩個平方數(shù)是4與9，接下來根據(jù)5＞4=（2）與7接近的兩個平方數(shù)是4與9，接下來根據(jù)7＜9=【解答】解：（1）因為5＞4=2，故5（2）因為7＜9=3，故7+1＜4，【點評】本題考查了實數(shù)大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)大小的估算方法．【變式8-8】比較下列各組數(shù)的大?。?）16與255；（2）32與1；（3）5【分析】（1）根據(jù)平方法進行實數(shù)的大小比較即可；（2）根據(jù)作差法進行實數(shù)的大小比較即可；（3）根據(jù)作差法進行實數(shù)的大小比較即可．【解答】解：（1）因為162＝256，256＞255，所以16＞255（2）因為32?13＜4，所以3＜所以3?2所以32（3）∵5?12?5＞4，∴5＞∴5?2∴5?1【點評】本題考查了實數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．【變式8-9】設(shè)a=3?12，b=12，（1）比較a與b兩個數(shù)的大??；（2）求|a﹣b|+c?d【分析】（1）先估算出3的范圍，再變形，即可得出答案；（2）先代入，再求出即可．【解答】解：（1）∵3＜4，∴3＜2∴3?1＜1∴3?1即a＜b；（2）∵a=3?12，b=12，∴原式＝|3?12=2?＝﹣1．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，絕對值，實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根等知識點，能估算出3的大小和正確去掉絕對值符號是解此題的關(guān)鍵．題型題型九實數(shù)的規(guī)律問題【例題9】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）若6≈2.449，60≈7.746，則0.006≈【分析】根據(jù)“一個正數(shù)擴大（或縮?。?00倍，10000倍……，其算術(shù)平方根就擴大（或縮?。?0倍，100倍……”進行計算即可．【解答】解：∵60≈∴0.006=故答案為：0.07746．【點評】本題考查算術(shù)平方根，掌握“一個正數(shù)擴大（或縮?。?00倍，10000倍……，其算術(shù)平方根就擴大（或縮小）10倍，100倍……”是正確解答的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、利用計算器探究發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點相應(yīng)向左（右）移動一位.2、利用計算器探究發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動三位，其立方根的小數(shù)點相應(yīng)向左（右）移動一位.【變式9-1】（2022春?香洲區(qū)校級期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，則3【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵30.3∴3300故答案為：6.694．【點評】本題主要考查了立方根，理解題意掌握立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022春?呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，則【分析】利用立方根特征求解．【解答】解：因為根指數(shù)是3，所以被開方數(shù)需要三位三位地移動，立方根是一位一位地移動，故答案為：63.29．【點評】本題考查了立方根的性質(zhì)，理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022春?梁平區(qū)期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵31.12∴31120故答案為：10.38．【點評】此題主要考查了立方根，解題的關(guān)鍵是掌握小數(shù)點的移動的規(guī)律．【變式9-4】（2022春?綦江區(qū)校級月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈1.289，若x≈462.6，則x＝【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的被開方數(shù)的擴大10000倍，算術(shù)平方根的值擴大100倍求解；根據(jù)負數(shù)的立方根是負數(shù)，立方根的被開方數(shù)縮小1000倍，立方根的值就縮小10倍求解．【解答】解：∵21.4=4.626∴214000=∴x＝214000，∵32.14∴3?0.00214故答案為：214000，﹣0.1289．【點評】本題考查了立方根和算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的被開方數(shù)的擴大（或縮小）100倍，算術(shù)平方根的值擴大（或縮小）10倍，立方根的被開方數(shù)擴大（或縮?。?000倍，立方根的值就擴大（或縮?。?0倍是解題的關(guān)鍵．【變式9-5】（2022春?寧南縣校級月考）已知5.217≈2.284，52.17（1）0.05217≈，52170≈（2）若x≈0.02284，則x＝【分析】依據(jù)被開放數(shù)小數(shù)點向左或向右移動2n位，對應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點向左或向右移動n位求解即可．【解答】解：（1）∵5.217=∴0.05217=0.2284，52170（2）∵x=0.02284，0.05217x＝0.0005217．故答案為：（1）0.2284；228.4；（2）0.0005217．【點評】本題主要考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-6】（2022秋?昌平區(qū)期中）觀察下面的規(guī)律：0.03≈0.1732，0.3≈0.5477，3≈1.732，30≈5.477，（1）30000≈（2）若0.5≈0.7071，5≈2.236，則0.05≈【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則解決此題．（2）根據(jù)二次根式的除法法則解決此題．【解答】解：（1）∵3≈1.732∴30000=故答案為：173.2．（2）∵5≈2.236∴0.05=故答案為：0.2236．【點評】本題主要考查二次根式，熟練掌握二次根式的乘除運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-7】借助計算機可以求得42+32=5，44A．55?5︸2018個 C．33?3︸2018個【分析】當根式內(nèi)的兩個平方和的底數(shù)為1位數(shù)時，結(jié)果為5，當根式內(nèi)的兩個平方和的底數(shù)為2位數(shù)時，結(jié)果為55，當根式內(nèi)的兩個平方和的底數(shù)為3位數(shù)時，結(jié)果為555，當根式內(nèi)的兩個平方和的底數(shù)為2016位數(shù)時，結(jié)果為2016個5．【解答】解：∵4244444…，∴44?4故選：A．【點評】此題主要考查了利用計算器進行數(shù)的開方，解題時先求出較簡單的數(shù)，然后找出規(guī)律，推理出較大數(shù)的結(jié)果．題型題型十實數(shù)的新定義運算問題【例題10】（2021春?霍林郭勒市期末）定義運算“*”的運算法則為：a?b=1a?1b，比如2?3=1【分析】求出?3【解答】解：原式＝（﹣3）*（﹣4）=?1=?1故答案為：?1【點評】本題考查立方根，求出?3解題技巧提煉根據(jù)新運算定義的方法列出式子，再根據(jù)實數(shù)的運算進行計算即可.【變式10-1】規(guī)定運算：a△b＝|a﹣b|（a，b為實數(shù)）．計算：(5【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：5△3＝|5?3|＝3?5，2△5=|2?則原式＝3?5【點評】此題考查了實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2021春?梅河口市校級期中）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，定義一種新的運算如下：a*b=a+ba?b（a+b＞0），如3*2（1）8*7；（2）6*（5*4）．【分析】（1）根據(jù)定義的新運算a*b=a+b（2）根據(jù)定義的新運算，先算括號里，再算括號外，即可解答．【解答】解：（1）8*7==15（2）6*（5*4）＝6*5+4＝6*3=6+3＝1．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，理解并應(yīng)用定義的新運算是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022春?宜秀區(qū)校級月考）規(guī)定一種新的運算a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣3+4+1，請比較（﹣3）△2與2△（﹣3）的大?。痉治觥坑捎谝?guī)定一種新的運算：a△b＝a×b﹣a+b+1，那么根據(jù)法則首先分別求出：﹣3△2和2△（﹣3），然后比較大小即可求解．【解答】解：∵a△b＝a×b﹣a+b+1，∴（﹣3）△2=（﹣3）×2?（﹣3）+2△（﹣3）=2×（﹣3）?2∵4﹣22＞?42∴﹣3△2＞【點評】此題考查實數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是首先正確理解定義的運算法則，然后根據(jù)法則計算即可解決問題．【變式10-4】對于實數(shù)a、b定義運算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．（1）求（﹣2）#3的值；（2）通過計算比較3#（﹣2）與（﹣2）#3的大小關(guān)系；（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．【分析】（1）將a＝﹣2，b＝3代入公式計算可得；（2）依據(jù)公式計算出3#（﹣2）的值，比較大小即可得；（3）由原等式得出關(guān)于x的方程，解之可得答案．【解答】解：（1）（﹣2）#3＝（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣1＝﹣6+2﹣1＝﹣5；（2）3#（﹣2）＝3×（﹣2）﹣3﹣1＝﹣6﹣3﹣1＝﹣10，而（﹣2）#3＝﹣5，∴3#（﹣2）＜（﹣2）#3；（3）∵x#（﹣4）＝9，∴﹣4x﹣x﹣1＝9，解得：x＝﹣2．【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義及實數(shù)的混合運算順序和運算法則，也考查解一元一次方程的能力．【變式10-5】（2022春?渦陽縣月考）對于任意兩個不相等的實數(shù)a，b，定義一種新的運算如下：a?b=aba?b，如2?（1）3?2的值；（2）5?（4?2）的值．【分析】（1）根據(jù)題目給出的信息列式計算即可；（2）根據(jù)題目給出的信息列式計算即可．【解答】解：（1）3?2=3（2）5?(4?2)=5?(424?2)=5?(4【點評】本題主要考查了新定義運算，掌握題意，列出算式，準確計算是關(guān)鍵．【變式10-6】對于實數(shù)a，b，定義運算：“*”，運算規(guī)則為a*b＝ab﹣a﹣b．（1）計算：9?3?125（2）填空：16*（?3?8）（?3（3）我們知道：實數(shù)的加法運算和乘法運算滿足交換律，那么，由（2）的計算結(jié)果，你認為這種運算“*”是否滿足交換律？若滿足，請說明理由．【分析】（1）9?3?125=3×3（2）根據(jù)題意的運算規(guī)則，即可進行判斷（3）對于實數(shù)ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a，則交換a，b位置有，b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b．【解答】解：（1）9?3?125=3×3（2）由運算規(guī)則得，16*(?3?8)=(?3?8)*16故16*(?3?8故答案為：＝（3）滿足理由如下∵對于實數(shù)ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a∴b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b＝a*b∴這種運算“*”滿足交換律【點評】本題主要考查立方根，平方根的運算，新定義的運算，關(guān)鍵在于讀懂新定義的運算規(guī)則及運算模式進行套用即可．題型題型十一實數(shù)的估算【例題11】（2022?文山市模擬）若m=6，則估計mA．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．2≤m＜3 D．3＜m＜4【分析】根據(jù)被開方數(shù)越大，算術(shù)平方根越大，可得答案．【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜6故選：B．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出2＜6解題技巧提煉估算a（a≥0）時，首先要確定a的整數(shù)部分，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，得出a在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，從而確定a的整數(shù)部分和小數(shù)部分.【變式11-1】（2022秋?武義縣期末）如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)可能是（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)2、5、8、10的大小即可．【解答】解：∵1＜2＜2，2＜5＜3，2而2.2＜5＜2.3，2.8∴數(shù)軸上點M表示的數(shù)可能是8，故選：C．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式11-2】（2021?津南區(qū)一模）估計2+13A．在2和3之間 B．在4和5之間 C．在5和6之間 D．在6和7之間【分析】直接利用估算無理數(shù)的大小的方法得出3＜13【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜13∴5＜2+13故選：C．【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出無理數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式11-3】（2021春?渝北區(qū)期末）估計11?A．3和4之間 B．2和3之間 C．1和2之間 D．0和1之間【分析】根據(jù)二次根式的意義，估算11的近似值，再判斷11?【解答】解：∵9＜∴3＜11∴1＜11故選：C．【點評】本題考查無理數(shù)的估算，理解二次根式的意義是解決問題的關(guān)鍵．【變式11-4】（2021春?海珠區(qū)校級月考）下列無理數(shù)中，與4最接近的是（）A．8 B．12 C．14 D．17【分析】求出42＝16，再逐個判斷即可．【解答】解：∵42＝16，∴與4最接近的數(shù)是17，故選：D．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出每個數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．【變式11-5】（2022?廬陽區(qū)校級開學(xué)）與1+17A．3 B．4 C．5 D．6【分析】估算無理數(shù)17的大小，進而確定1+17【解答】解：∵16＜17＜∴5＜1+17∴1+17故選：C．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式11-6】（2022秋?桂平市期末）已知m，n為兩個連續(xù)的整數(shù)，且m＜10＜n，則（m﹣n）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)10的大小，確定m、n的值，再代入計算即可．【解答】解：∵3＜10＜4，而m＜10＜n，其中∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故選：D．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式11-7】（2022秋?慈溪市期中）閱讀下面的文字，解答問題，大家知道2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1來表示2的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為2的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜7＜3，∴7（1）請解答：（1）13的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果5的小數(shù)部分是a，29的整數(shù)部分是b，求a+b?（3）已知：x是5+13的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，求x﹣y【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)13的大小即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)13、29的大小，確定a、b的值，再代入計算即可；（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)13的大小，進而得出5+13的大小，確定x、y【解答】解：（1）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16，∴3＜13∴13的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為13?故答案為：3，13?（2）∵2＜5＜3，5∴5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分a=5?2，29的整數(shù)部分為∴a+b?5=5答：a+b?5（3）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16，∴3＜13∴8＜5+13∴5+13的整數(shù)部分x＝8，小數(shù)部分y＝5+13?∴x﹣y＝8?13+3＝11【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．【變式11-8】（2022秋?蓮都區(qū)期中）【閱讀理解】∵4＜5＜9，即2＜5＜3．∴5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為5?【解決問題】已知：a是17?2的整數(shù)部分，b是17（1）a，b的值；（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．【分析】（1）先估算出17的大小，再估算出17?2的大小，從而得出a與b（2）把a與b代入要求的式子，再進行計算，然后根據(jù)平方根的定義即可得出答案．【解答】解：（1）∵16＜∴4＜17∴2＜17∴a＝2，b=17（2）∵（b+4）2﹣（﹣a）3＝（17?4+4）2﹣（﹣2）3∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±5．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出4＜17題型題型十二實數(shù)的運算【例題12】（2022春?淮南期中）計算：（1）計算：?3（2）計算：(?10)2【分析】（1）根據(jù)平方根的性質(zhì)、立方根定義和絕對值定義進行化簡，然后再進行計算即可；（2）先根據(jù)平方根的性質(zhì)進行化簡，然后再進行計算即可．【解答】解：（1）?=?3+3?2=0?2＝﹣4；（2）(?10)=10×1＝1﹣5+2＝﹣2．【點評】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握平方根的性質(zhì)、立方根定義和絕對值定義，是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉實數(shù)的混合運算順序為：先算乘方、開方、再算乘法、除法，最后算加法、減法，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號先算括號里的.有理數(shù)的運算律實數(shù)同樣適用.【變式12-1】（2022春?源城區(qū)校級期中）計算：（3）2﹣|2?9|【分析】直接利用立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、平方根的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．【解答】解：原式＝3﹣（3?2＝3﹣3+2=2【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式12-2】（2022春?樂昌市校級期中）計算：3?27【分析】直接利用立方根的性質(zhì)、平方根的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．【解答】解：原式＝﹣3?12＝﹣234【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式12-3】計算：（1）3?827×14?(?2)2；【分析】（1）直接利用立方根以及平方根的性質(zhì)分別化簡得出答案；（2）直接利用立方根以及平方根的性質(zhì)分別化簡得出答案；【解答】解：（1）原式=?2＝﹣213（2）原式=3?=?7【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式12-4】（2022春?杭錦后旗期中）計算（1）﹣12222+364?（2）（﹣2）2+3?27+3?【分析】（1）直接利用立方根的性質(zhì)、平方根的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運算法則分別化簡，進而得出答案；（2）直接利用立方根的性質(zhì)、平方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+1×3＝﹣1+4+3＝6；（2）原式＝4﹣3+3?（＝4﹣3+3＝6+2【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式12-5】（2022春?陽東區(qū)期中）計算：﹣22×14?【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：﹣22×14＝﹣4×1＝﹣2﹣2﹣3＝﹣7．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．【變式12-6】（2022春?大荔縣校級月考）計算：25【分析】根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．【解答】解：