福建省南平市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一次月考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知空間的直線，m，n和平面，，，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)，時(shí)，與有可能相交、平行、異面，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，當(dāng)，時(shí)，平面，有可能相交，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，當(dāng)，時(shí)，由線面垂直的性質(zhì)可知，所以C正確.選項(xiàng)D中，當(dāng)，時(shí)，與有可能相交、異面，所以D不正確；故選：C.2.兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的距離為（）A.4B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，所以，解得m=2，將6x+2y+1=0化為3x+y+=0，由兩條平行線間的距離公式得d==，故選：D.3．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A4．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（）A．0B．C． D．4．D【詳解】如圖，取的中點(diǎn)Q，連接.因?yàn)?，所以即異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)，則，在三角形APQ中，由余弦定理得：.故選：D5．已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．A【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)?，所?故選：A.6．在中，，，，點(diǎn)在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，因?yàn)椋?，，所以，所以為直角三角形，其?以B為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則,,.所以直線.設(shè)的內(nèi)切圓.因?yàn)辄c(diǎn)在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，所以.，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）此時(shí).所以，而,所以.故選：A7.如圖，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，延長(zhǎng)至，是是以為底邊的等腰三角形，，當(dāng)時(shí)，邊（）A.B.C.D.【解析】：已知且，則由余弦定理代入，化簡(jiǎn)得：，又由，所以∠，∠，∠，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)，所以有整理得故，故選A.8．在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，位于第一象限上的點(diǎn)P(x0,y0)是雙曲線C上的一點(diǎn)，△PF1F2的外心M的坐標(biāo)為，△PF1F2的面積為2a2，則雙曲線C的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x8．D【詳解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由題意知：，故雙曲線的漸近線方程為：．故選：D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則的漸近線方程可能為（）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】因雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則有雙曲線的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，于是有，從而得，而雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線方程可能為A，B，D，不可能為C.故選：ABD10．已知圓C：，直線l：.下列說(shuō)法正確的是（）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線l被圓C截得弦長(zhǎng)存在最大值，此時(shí)直線l的方程為D．直線l被圓C截得弦長(zhǎng)存在最小值，此時(shí)直線l的方程為10．BD【詳解】將直線l的方程整理為，由，解得.則無(wú)論m為何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故A不正確；令，則，解得，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為，故B正確；無(wú)論m為何值，直線l不過(guò)圓心，即直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)不存在最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，此時(shí)直線l垂直于圓心與定點(diǎn)的連線，則直線l的斜率為，此時(shí)直線l的方程為，即，故D正確.故選：BD.11．已知正方體的棱長(zhǎng)為，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．平面D．點(diǎn)到平面的距離為.【詳解】如圖以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，對(duì)于A：，，因?yàn)椋?，即，直線與直線所成的角為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，，所以，，所以，，因?yàn)?，所以平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于B：由選項(xiàng)C知：平面，所以平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于D：因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選項(xiàng)D不正確故選：ABC.12．已知是橢圓（）和雙曲線（）的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．的最小值為12．BD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)可判斷A，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義及余弦定理可判斷B；由分析B中所得結(jié)論可判斷C；利用“1”的變形及均值不等式即可判斷D.【詳解】由題意可得，所以錯(cuò)誤；可設(shè)是第一象限的點(diǎn)，，，由橢圓的定義可得，，解得，，又，因?yàn)?，在△中，由余弦定理可得，化為，則，故正確；由，可得，即有，故錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)，即有的最小值為，故正確．故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線：，：，若，則m的值為【答案】-1或2【詳解】：因?yàn)?，所以解得：或已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，當(dāng)最大時(shí)，則線段的長(zhǎng)度為.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，如下圖所示：當(dāng)最大時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，15.已知點(diǎn)、、、、，如果直線、的斜率之積為，記，，則___________.【答案】【解析】由題意，化簡(jiǎn)可得，在橢圓中，，，，所以，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，因此，.故答案為：.16.已知三棱錐滿足底面，在中，，，，是線段上一點(diǎn)，且．球?yàn)槿忮F的外接球，過(guò)點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面積為.【解析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的中心為，設(shè)球的半徑為，，則球心到平面的距離為，即，連接，則，∴，在中，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，∴．在中，，由題意得到當(dāng)截面與直線垂直時(shí)，截面面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大為，∴，，球的表面積為．(或?qū)⑷忮F補(bǔ)成長(zhǎng)四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，已知P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三角形周長(zhǎng)為定值.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若P的軌跡上有一點(diǎn)滿足，求的值.解：（1）依題可知，，所以，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去兩點(diǎn)），由，，所以，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則有，且，，，即①，而點(diǎn)在橢圓C上，則②，取立①②消去，得，所以.18.（12分）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．（1）滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（2）請(qǐng)?jiān)冢?）所有組合中任選一組，求對(duì)應(yīng)的面積．【答案】（1）序號(hào)組合為①②③，①②④（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】（1）對(duì)于③，；對(duì)于④，，即，且，則，故③，④不能同時(shí)存在，則滿足有解三角形的序號(hào)組合為①②③，①②④．（2）選①②③：時(shí)，由余弦定理：，整理得：且，則，的面積為．選①②④：時(shí)，由余弦定理：，整理得：，則，的面積．19（12分）．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)、B(2,2)，并且直線m：3x－2y＝0平分圓C.（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D(0,1)，且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k的值．[解析](1)線段AB的中點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))，kAB＝eq\f(3－2,1－2)＝－1，故線段AB的中垂線方程為y－eq\f(5,2)＝x－eq\f(3,2)，即x－y＋1＝0…………….1分因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的中垂線上．又因?yàn)橹本€m：3x－2y＝0平分圓C，所以直線m經(jīng)過(guò)圓心．由即x－y＋1＝0與3x－2y＝0的交點(diǎn)即圓心所以圓心的坐標(biāo)為C(2,3)…………………..2分而圓的半徑r＝1………………3分………………….5(2)直線l的方程為y＝kx＋1.圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))，—————6分d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，兩邊平方整理得：3k2－8k＋3<0，解之得：eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)。。，，，…………………7分將直線l的方程與圓C的方程組成方程組得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1①,(x－2)2＋(y－3)2＝1②))將①代入②得：(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1＋x2＝eq\f(4(1＋k),1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)，—————9分而y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(1＋k2)·eq\f(7,1＋k2)＋k·eq\f(4(1＋k),1＋k2)＋1＝eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8，……………………..11分故有eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k2，解得k＝1.此時(shí)有Δ>0，所以k值為1………….12分20．（12分）已知雙曲線E：的離心率為2，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線PA，PB的斜率之和.20．（1）；（2）.【詳解】（1）由已知可得，∴，解得①又∵點(diǎn)在E上，∴②由①②可得，.∴雙曲線E的方程為........3分（2）過(guò)點(diǎn)的直線l斜率顯然存在，設(shè)l的方程為：，，，將l的方程代入雙曲線E的方程并整理得，.......5分依題意，且，所以且，......6分因此，可得，........7分∴........12分21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，△為等邊三角形，平面底面，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）在線段（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)．【詳解】（1）取的中點(diǎn)連，∵，∴，又面面，面面，面，∴面，.......2分法一：面，則，在正方形內(nèi)，分別為的中點(diǎn)，∴，則有，又，∴，∴，，∴平面，.......4分又平面，∴．.......5分法二：取的中點(diǎn)，連，則兩兩垂直，∴分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，.......3分∴，，則有，∴．.......5分（2）由（1）中法二，所得空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，則，.......6分設(shè)面的法向量為，則，即，令，則．.......8分設(shè)直線與平面所成角的為，，......9分∴整理得：.......10分，即．.......11分∴在上存在點(diǎn)，使得直線與平面成角的正弦值為，此時(shí)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)，即．.......12分22．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)為（1,0），過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試證明：直線過(guò)定點(diǎn)．22．（1）；（2）存在，；（3）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）橢圓右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，橢圓的方程為：．.......2分（2）設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，恒成立．設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，，則，，.......4分由，得：，直線為直線的垂直平分線，直線的方程為：，.......5分令得：點(diǎn)的橫坐標(biāo)，......6分，，．線段上存在點(diǎn)，使得，其中．.......7分（3）證明：設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，由，得：，設(shè)，，，，，，則，，.......9分則直線的方程為，令得：.......10分．直線過(guò)定點(diǎn)．.......12分22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線