函數(shù)的單調(diào)性10種常見(jiàn)考法歸類

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性10種常見(jiàn)考法歸類1、增函數(shù)、減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且I?D，如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論則稱y＝f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)則稱y＝f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減)圖示自左向右圖像逐漸上升自左向右圖像逐漸下降注：(1)“區(qū)間I?D”說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，不一定是定義域．(2)x1，x2的三個(gè)特征：①同區(qū)間性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可用區(qū)間I上的兩個(gè)特殊值代替x1，x2；③有序性，即需要區(qū)分大小，通常規(guī)定x1<x2.(3)自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系：①單調(diào)遞增：x1＜x2?f(x1)＜f(x2)，x1＞x2?f(x1)＞f(x2).②單調(diào)遞減：x1＜x2?f(x1)＞f(x2)，x1＞x2?f(x1)＜f(x2).即可以利用單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化．(4)若f(x)在區(qū)間I上為增(減)函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間I上的對(duì)應(yīng)部分自左向右逐漸上升(下降).2、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間I上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間I上具有單調(diào)性．區(qū)間I稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．如果一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)具有單調(diào)性，則稱此函數(shù)是單調(diào)函數(shù)．注：(1)由于函數(shù)在單獨(dú)的一個(gè)x值處不存在單調(diào)性，因此寫單調(diào)區(qū)間時(shí)可以包括區(qū)間端點(diǎn)，也可以不包括，但單調(diào)區(qū)間一定不包括使函數(shù)無(wú)意義的x的值．(2)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或逗號(hào)連接．3、函數(shù)的最大(小)值名稱定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn)．函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)其圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn)．函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)其圖像最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．說(shuō)明：最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)．4、函數(shù)的最值和值域的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對(duì)的是整個(gè)定義域．(2)區(qū)別：①函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最大(小)值不一定存在；②若函數(shù)的最值存在，則最值一定是值域中的元素；③若函數(shù)的值域是開(kāi)區(qū)間(兩端點(diǎn)都取不到)，則函數(shù)無(wú)最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值．5、函數(shù)的平均變化率（1）直線的斜率一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(y2－y1,x2－x1)為直線AB的斜率；當(dāng)x1＝x2時(shí)，稱直線AB的斜率不存在．①直線AB的斜率反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度．②若記Δx＝x2－x1，相應(yīng)的Δy＝y(tǒng)2－y1，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率可記為k＝eq\f(Δy,Δx).6、平均變化率一般地，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時(shí))或[x2，x1](x1＞x2時(shí))上的平均變化率．利用上述結(jié)論，我們可以證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性．(1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負(fù)．(2)注意自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，公式中，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，則Δy＝f(x1)－f(x2).(3)平均變化率可正可負(fù)，也可為零．但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說(shuō)明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等．比如，f(x)＝x2在區(qū)間[－2，2]上的平均變化率為0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的圖像先下降后上升，值域是[0，4].(4)平均變化率eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)圖像上的兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))連線所在直線的斜率．(5)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺(jué)化”．利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢(shì)和快慢程度，但效果是“粗糙不精確的”．只有當(dāng)Δx＝x2－x1無(wú)限變小時(shí)，這種量化才由“粗糙”逼近“精確”．7、圖像法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)作圖：作出函數(shù)的圖像．(2)結(jié)論：上升圖像對(duì)應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間，下降圖像對(duì)應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間．8、利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟注：作差變形是解題關(guān)鍵9、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)時(shí)，常用的變形技巧：（1）因式分解：當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，作差后的變形通常進(jìn)行因式分解；（2）當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，作差后往往進(jìn)行通分，然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解；（3）配方：當(dāng)原函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，作差后可以考慮配方，便于判斷符號(hào)；（4）分子有理化：當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí)，作差后往往考慮分子有理化。10、“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為I”與“函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)”的區(qū)別單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念，說(shuō)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．所以我們?cè)诮鉀Q函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義．11、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時(shí)，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡(jiǎn)記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.12、圖像法求最值的一般步驟13、利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．14、函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的那一個(gè)．15、函數(shù)的平均變化率①若eq\f(Δy,Δx)的絕對(duì)值大，則說(shuō)明自變量從x1變化到x2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的差的絕對(duì)值大，也就是函數(shù)y＝f(x)變化得快，如圖①所示．①②②若eq\f(Δy,Δx)的絕對(duì)值小，則說(shuō)明自變量從x1變化到x2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的差的絕對(duì)值小，也就是函數(shù)y＝f(x)變化得慢，如圖②所示．考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象求單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明考點(diǎn)三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)四由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍考點(diǎn)五利用單調(diào)性解不等式考點(diǎn)六利用單調(diào)性比較大小考點(diǎn)七圖像法求函數(shù)的最值考點(diǎn)八利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小值)考點(diǎn)九根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)考點(diǎn)十函數(shù)不等式恒成立、能成立問(wèn)題考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象求單調(diào)區(qū)間1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象直接確定遞增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知：該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.故選：B2．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）如圖為的圖象，則它的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】和【分析】由單調(diào)性定義結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解.【詳解】由單調(diào)性定義可得的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故答案為：和3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間有．【答案】，，【分析】利用定義結(jié)合函數(shù)圖象分析可得答案；【詳解】由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間有，.故答案為：，；，4．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域?yàn)椋痉治觥浚?）根據(jù)分段函數(shù)中兩段函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征，即可畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象直接求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.【詳解】（1）圖象如圖所示：（2）由圖可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域?yàn)椋?．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是.【答案】【分析】畫出函數(shù)的圖像，從圖像上即可得結(jié)論.【詳解】由，如圖所示：由圖可知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是：，故答案為：.6．（2023秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】和【分析】對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)或時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，作出的圖象如圖所示，由圖可知單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：和考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明7．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）證明：在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，?故在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；【答案】函數(shù)在上單調(diào)遞減，理由見(jiàn)詳解【分析】利用定義法即可證明函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減；理由如下：取，規(guī)定，則，因?yàn)?，，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；【答案】證明見(jiàn)解析；【分析】根據(jù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟即可求解.【詳解】證明：任取，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)減函數(shù)10．（2023秋·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由函數(shù)有意義的條件，求函數(shù)的定義域；（2），證明即可.【詳解】（1）函數(shù)有意義，則，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）任取，，由，，得，即，所以在上單調(diào)遞增.11．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)(1)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用定義法得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，從而求出函數(shù)在上的值域.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，理由如下：，且，則，因?yàn)椋?，所以，故，故，所以函?shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增；（2）由（1）知在區(qū)間上的單調(diào)遞增，所以，其中，所以的值域?yàn)?12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.【答案】在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【分析】利用定義法證明，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減．證明：設(shè)任意的且，則．∵，∴，，，∴，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減．13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，設(shè)，則，得證.【詳解】設(shè)，則，從而，即，又，即，故f（x）在R上是增函數(shù).考點(diǎn)三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性14．【多選】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是上的增函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷方法，可知，在上單調(diào)遞增，故A正確，B錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD15．（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：，即或，根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故選：C.16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則：“同增異減”即可求解.【詳解】令，解得的定義域?yàn)樵谏线f增，在上遞減，函數(shù)在上為增函數(shù)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為故選：D17．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解函數(shù)的定義域，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的增減區(qū)間即可；【詳解】由函數(shù)有意義得，解得.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.18．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽省無(wú)為襄安中學(xué)校考期中）關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【分析】求出的定義域，根據(jù)在內(nèi)的單調(diào)性與值域判斷的單調(diào)性與值域.【詳解】因?yàn)橛幸饬x，所以，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，D正確；在上有最大值4，最小值故的值域?yàn)?，故A、C錯(cuò)誤.故選：D.19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是復(fù)合函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減原則來(lái)判斷單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】令，則在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減原則得的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：C．考點(diǎn)四由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合定義法求實(shí)數(shù)的取值范圍，【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則任取，都有，即，由，有，，所以，由，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：21．（2023秋·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)分式函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，故若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.故答案為：22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上，且以為對(duì)稱軸，則，解不等式即可得出答案.【詳解】函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上，且以為對(duì)稱軸，若在上單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.23．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)單調(diào)性列式求解作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則有或，即有或，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.24．（2023秋·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】已知是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，要使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則必須，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.25．（2023秋·江蘇南京·高一?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸方程，得到不等式，求出答案.【詳解】開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，要想在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則.故選：D26．（2023秋·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此可知對(duì)稱軸，且，解得.故答案為：27．（2023秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）是函數(shù)在單調(diào)遞減的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，進(jìn)而結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】，顯然函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；若函數(shù)在單調(diào)遞減，則，所以是函數(shù)在單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.28．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是R上的增函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.29．【多選】（2023秋·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┮阎瘮?shù)是上的增函數(shù)，則a的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性即可得，即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象開(kāi)口朝下，對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值可以是，.故選：BC.30．（2023秋·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】要求分段函數(shù)每一段上均單調(diào)遞增，且分段處，右端函數(shù)值大于等于左端函數(shù)值，從而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：31．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】由分段函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，根據(jù)其是由函數(shù)向右平移1個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得到，則在上單調(diào)遞減，由題意得，解得，則的取值范圍為.故答案為：.考點(diǎn)五利用單調(diào)性解不等式32．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知為上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以由，得：，即，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.33．（2023秋·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且，求a的取值范圍．【答案】【分析】結(jié)合定義域與單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意，，解得，又函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且，則，解得，故a的取值范圍為.34．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的增函數(shù)，且，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由，因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，所以有，故選：A35．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由單調(diào)性的定義直接證明即可；（2）結(jié)合單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于m的不等式求解．【詳解】（1）證明：，，任取，可知，因?yàn)?，所以，，，所以，即，故在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知：在上單調(diào)遞增，所以，可得，解得故實(shí)數(shù)m的范圍是．36．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而得到，即可求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，又，所以，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.37．（2023秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，，若，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可知在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】由，得，又，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得，故答案為：.考點(diǎn)六利用單調(diào)性比較大小38．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由為減函數(shù)可得，再利用函數(shù)為減函數(shù)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，得，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，故選：B39．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是函數(shù)的增區(qū)間，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的增區(qū)間，所以，故A正確；由于無(wú)法確定、的取值情況，故無(wú)法判斷的符號(hào)，故B、C、D錯(cuò)誤；故選：A40．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不確定【答案】B【分析】由已知結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。驹斀狻恳?yàn)?，又是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，所以.故選：B．41．【多選】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)函數(shù)在上為減函數(shù)，則（

）A．B．C．D．E．【答案】BE【分析】取特殊值，可判斷ACD選項(xiàng)；利用作差法比較和、和的大小，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷BE選項(xiàng).【詳解】由題意，函數(shù)在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，，則，，，故ACD錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于E，因?yàn)?，所以，故E正確.故選：BE.42．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單調(diào)性求解.【詳解】是減函數(shù)，，；故選：D.考點(diǎn)七圖像法求函數(shù)的最值43．（2023秋·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給定函數(shù).(1)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，(2)若表示中的較小者，例如.記.（i）請(qǐng)分別用圖像法和解析法表示函數(shù)，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（ii）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（i），圖象答案見(jiàn)解析，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（ii），【分析】（1）根據(jù)解析式直接畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可，（2）（i）結(jié)合（1）作出的圖象求解即可，（ii）結(jié)合圖象求出，比較可求出其最值.【詳解】（1）函數(shù)，圖象如下：（2）（i）由，得，解得或，則由題意可知：，的圖象如下：由圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和；的單調(diào)遞減區(qū)間為；（ii）因?yàn)?，結(jié)合圖象可知在上連續(xù)，且，，，，所以，，44．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）給定函數(shù)，，．，用表示，中的最小者，記為．(1)請(qǐng)用圖象法和解析法表示函數(shù)；(2)根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性，并求此時(shí)函數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）求得的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的定義，將其寫成分段函數(shù)即可，再根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的圖象，畫圖即可；（2）數(shù)形結(jié)合，即可求得單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求得最值.【詳解】（1）令，即，解得，或．根據(jù)題意，故其函數(shù)圖象如下所示：.（2）數(shù)形結(jié)合可知，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．由，，，知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為8，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為1．考點(diǎn)八利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小值)45．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】最大值是8，最小值是【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】可知函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，比較，，，可知該函數(shù)在上的最大值是，最小值是，如圖所示．46．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)在上的最大值與最小值．【答案】最小值為4，最大值為5.【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解單調(diào)性，由單調(diào)性即可求解最值.【詳解】設(shè)，則，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則，所以，故在上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以在上是增函，故的最小值為,又因?yàn)?，所以的最大值?.47．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知(1)函數(shù)的值域；(2)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值，最小值【分析】（1）對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形后利用分式的性質(zhì)可求得答案，（2）任取，，且，然后作差變形，判斷符號(hào)，從而可證得結(jié)論，（3）由在上遞增，可求得其最值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因?yàn)椋?，所以的值域?yàn)椋?）任取，，且，則，，，，，即，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．（3）由知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，．48．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，，的最大值為16；(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可設(shè)，結(jié)合進(jìn)而可得的解析式；（2）由（1）知，對(duì)稱軸為，分情況討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，又的最大值為16，設(shè)，又，∴．∴；（2）由（1）知，圖象的對(duì)稱軸為，開(kāi)口朝下，若，則在上是減函數(shù)，最大值；若，即，則在上是增函數(shù)，；若，即，則；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)九根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)49．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)的最大值是3，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，然后再根據(jù)二次函數(shù)的最大值可求出的值．【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)有最大值，所以．又二次函數(shù)的最大值為，由題意得或，因?yàn)?，所以故選：A.50．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋以陂]區(qū)間有最大值3，最小值2，所以.故選：D.51．（2023春·浙江嘉興·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為負(fù)值，則a的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．a(chǎn)＞4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵的二次項(xiàng)系數(shù)為，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∵函數(shù)的最大值為負(fù)值，∴，∴.故選：B．52．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)在時(shí)有最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出，得出函數(shù)的最大值為，從而求出和的值．【詳解】解：因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以函數(shù)，解得，，所以．故選：C．53．（2023秋·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，最小值為，且．(1)求的解析式；(2)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組來(lái)求得，也即求得.（2）由分離常數(shù)，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）由為二次函數(shù)，可設(shè)∵圖象的對(duì)稱軸為，最小值為1，且，∴，∴，∴．（2）∵，即在上恒成立，又∵當(dāng)時(shí)，有最小值0，∴，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．54．（2023秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明.(2)若時(shí)函數(shù)的最大值與最小值的差為，求的值.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用定義法按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可；（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最大值為，最小值為，即可得到方程，解得即可.【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，即，解得.考點(diǎn)十函數(shù)不等式恒成立、能成立問(wèn)題55．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件，，則的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)于命題，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最大值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若，使得，則，可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，的一個(gè)必要不充分條件是.故選：A.56．（2023秋·天津?qū)幒印じ咭惶旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)），使得不等式成立，則的范圍是.【答案】【分析】，使得不等式，其中，即可得答案.【詳解】，使得不等式，其中.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.故答案為：.57．（2023秋·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是