新高考一輪復習導學案第60講 兩條直線的位置關(guān)系（原卷版）

第60講兩條直線的位置關(guān)系知識梳理1.斜率存在的兩條直線平行與垂直若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2?k1·k2＝－1；l1與l2重合?k1＝k2，b1＝b2．2.直線的一般式方程中的平行與垂直條件若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同時為0，A2，B2不同時為0)，則l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．3.兩直線的交點直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．(1)相交?方程組有一組解；(2)平行?方程組無解；(3)重合?方程組有無數(shù)組解．4.已知兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離為d＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．5.設(shè)點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，則點P到直線l的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax0＋By0＋C)),\r(A2＋B2))．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0)之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1－C2)),\r(A2＋B2))．7.五種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．點(0，﹣1)到直線SKIPIF1<0距離的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．21、已知a∈R，則直線l1：x＋ay－1＝0與直線l2：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要條件是()A.a≠0B.a＝0C.a＝－1D.a＝0或a＝－12、已知直線l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，則a的值為()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－33、已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為________．4、若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則a的值為________．考向一兩條直線的位置關(guān)系例1、(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，則a等于()A．1 B．eq\f(1,3)C．0 D．0或eq\f(1,3)變式1、已知直線l1：ax＋2y＋3＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)當l1∥l2時，求實數(shù)a的值；(2)當l1⊥l2時，求實數(shù)a的值．變式2、（1）“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件（2）“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件方法總結(jié)：(1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．考向二兩條直線的交點問題例2、已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是__________．變式1、三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個三角形，則k的取值范圍是()A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1變式2、求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．方法總結(jié)：(1)求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．(2)求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，常用的直線系方程如下：①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考向三兩直線及點到直線的距離問題例3、已知點P(2，－1)．(1)求過點P且與原點距離為2的直線l的方程．(2)求過點P且與原點距離最大的直線l的方程，并求出最大距離．(3)是否存在過點P且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．變式1、若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0變式2、(1)已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2，2)，點B(4，－2)的距離相等，則直線l的方程為.(2)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(,13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為.變式3、已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與直線l2：x－2y＝0的交點P.(1)若點A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點A(5，0)到直線l距離的最大值．方法總結(jié)：1．點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．考向四直線的對稱性例4、已知直線l：x＋2y－2＝0.(1)求直線l關(guān)于點A(1，1)對稱的直線方程；(2)求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程．變式1、已知△ABC的兩個頂點A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，則BC邊所在的直線方程為______________；變式2、如圖，已知點A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上，再經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是________．變式3、已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．方法總結(jié)：對稱性問題有三類：一是點關(guān)于點對稱；二是點關(guān)于線對稱；三是線關(guān)于線對稱；點關(guān)于點對稱問題比較簡單，只要用中點坐標公式即可；點關(guān)于線對稱要用到兩個條件，一是已知點和對稱點的連線與已知直線垂直，二是已知點和對稱點的中點在已知直線上；線關(guān)于線對稱問題，一般是在某一條直線上找兩個點，求出這兩個點關(guān)于另一條直線的對稱點，然后用兩點式求出其方程．通常情況下會用到兩直線的交點．1、在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為eq3x－4y＋c\s\do(1)＝0，eq3x－4y＋c\s\do(2)＝0，則|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝A．eq2\r(,3)B．eq2\r(,5)C．2D．42、已知兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運動，則SKIPIF1<0的最小值為（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.4 D.53、已知，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4、（多選題）已知直線SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，過點A作直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點B，且SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論不正確的是()A．不論a為何值時，l1與l2都互相垂直B．當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(－1,0)C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．