2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評第九章9.7.2利用空間向量求二面角與空間距離理含解析北師大版

PAGE4-核心素養(yǎng)測評五十一利用空間向量求二面角與空間距離1.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA1.(1)求證:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求點C到平面B1DP的距離.【解析】(1)連接AB1,交BA1于點O,連接OD.因為B1P∥平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P∩平面BA1D=OD,所以B1P∥OD.又因為O為B1A的中點,所以D為AP的中點.因為C1D∥AA1,所以C1為A1P的中點.所以DC1=QUOTEAA1=QUOTECC1,所以C1D=CD.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz,則B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,QUOTE,所以QUOTE=(1,0,0),QUOTE=(1,0,1),QUOTE=0,1,QUOTE.設(shè)平面BA1D的一個法向量為n=(x1,y1,z1).由QUOTE得QUOTE令z1=2,則x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又QUOTE=(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量,所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.由圖形可知二面角A-A1D-B為銳角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為QUOTE.(3)因為C(0,1,1),D0,1,QUOTE,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以QUOTE=0,0,-QUOTE,QUOTE=1,-1,-QUOTE,QUOTE=0,1,-QUOTE.設(shè)平面B1DP的一個法向量為m=(x2,y2,z2).由QUOTE得QUOTE令z2=2,則x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以點C到平面B1DP的距離d=QUOTE=QUOTE.2.(2024·咸陽模擬)如圖,在多面體ABCDE中,已知四邊形BCDE為平行四邊形,平面ABC⊥平面ACD,M為AD的中點,AC⊥BM,AC=BC=1,AD=4,CM=QUOTE.(1)求證:BC⊥平面ACD.(2)求二面角D-BM-E的余弦值.【解析】(1)在△MAC中,因為AC=1,CM=QUOTE,AM=2,所以AC2+CM2=AM,所以由勾股定理的逆定理,得MC⊥AC,又AC⊥BM,BM∩CM=M,所以AC⊥平面BCM,因為BC平面BCM,所以BC⊥AC,因為平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,BC平面ABC,所以BC⊥平面ACD.(2)因為BC⊥平面ACD,所以BC⊥CM.又BC⊥AC,MC⊥AC,故以點C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,所以AQUOTE,BQUOTE,MQUOTE,DQUOTE,EQUOTE,所以=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE.設(shè)平面DBM的法向量為m=QUOTE.由得QUOTE取z1=1,所以m=QUOTE.設(shè)平面EBM的法向量為n=QUOTE.由得QUOTE取z2=1,所以n=QUO