課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題五平面向量2平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用試題文

PAGEPAGE11平面對(duì)量的數(shù)量積及平面對(duì)量的應(yīng)用探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)平面對(duì)量的數(shù)量積①理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義;②駕馭向量夾角概念及其范圍,駕馭向量長度的表示;③了解平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;④駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算;⑤理解數(shù)量積的性質(zhì),并能運(yùn)用2024課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分平面對(duì)量的數(shù)量積向量的模★★★2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分平面對(duì)量的數(shù)量積—平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用①能運(yùn)用數(shù)量積解決兩向量的夾角問題和長度問題;②會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)向量的平行、垂直關(guān)系;③會(huì)用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題、力學(xué)問題與一些實(shí)際問題2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分兩向量垂直的充要條件坐標(biāo)運(yùn)算★★☆2024課標(biāo)全國Ⅰ,8,5分平面對(duì)量的夾角向量的模2024課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分平面對(duì)量的夾角平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算分析解讀從近幾年的高考試題來看,高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以選擇題和填空題為主,考查平面對(duì)量的數(shù)量積及其幾何意義以及坐標(biāo)表示,用以解決有關(guān)長度、角度、垂直、推斷三角形形態(tài)等問題;考查形式除小題之外,還可能與函數(shù)、解析幾何等學(xué)問綜合在一起以解答題的形式出現(xiàn),主要考查學(xué)生的審題實(shí)力和學(xué)問遷移實(shí)力,難度適中.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2025屆寧夏銀川一中9月月考,5)已知向量a,b的夾角為銳角,|a|=3,|b|=11,且a與a-b夾角的余弦值為33A.4 B.5 C.6 D.7答案B2.(2024天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·OM的值為()A.-15 B.-9 C.-6 D.0答案C3.已知點(diǎn)A,B,C滿意|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+BC·CA+CA·AB的值為.

答案-25考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2025屆安徽A10聯(lián)盟摸底考試,6)在△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),且AD·CD=5,AB=6,則AC=()A.2 B.3 C.4 D.5答案C2.(2025屆湖北漢陽模擬,8)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿意(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,則△ABC為()A.直角三角形 B.一般等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案B3.(2024廣東普寧一中月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,則以向量OA,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為.

答案434.(2024廣東深圳外國語中學(xué)模擬,17)設(shè)向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.答案(1)b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ).∵a與b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)當(dāng)且僅當(dāng)sin2β=-1,即β=kπ-π4所以|b+c|的最大值為42.煉技法提實(shí)力【方法集訓(xùn)】方法1平面對(duì)量的模的求解方法1.(2024湖南湖北八市十二校第一次調(diào)研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于()A.1 B.3 C.4 D.5答案D2.(2025屆河南十所名校9月聯(lián)考,10)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為()A.2-1 B.1 C.2 D.2答案B方法2平面對(duì)量夾角的求解方法1.已知i、j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.-∞,12C.-2,23答案D2.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=.

答案-23.已知非零向量a,b滿意|a+b|=|a-b|=233|a|,則向量a+b與a-b的夾角為答案π方法3用向量法解決平面幾何問題1.(2024四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,則△ABC的形態(tài)是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.上述三種狀況都有可能答案B2.(2025屆黑龍江牡丹江調(diào)研考試,14)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,AB=(2,4),AC=(1,3),則|BD|=.

答案343.(2025屆湖南長沙一中月考,14)在平行四邊形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一點(diǎn),且AE=12AB+BC,|AB|=λ|AD|,若AC·EB=12答案2

【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B2.(2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案C考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案B2.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案7B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2024天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58 B.18 C.1答案B2.(2024上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|EF|=2,則AE·BF的最小值為.

答案-3考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

答案82.(2024北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為.

答案π3.(2024北京,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為.

答案64.(2024天津,14,5分)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則BD·AE=.

答案-15.(2024天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案36.(2024江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若AB·AC=6AO·EC,則ABAC的值是答案3C組老師專用題組考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分)設(shè)向量a,b滿意|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1 B.2 C.3 D.5答案A2.(2024浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案C3.(2010全國Ⅰ,11,5分)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點(diǎn),則PA·PB的最小值為()A.-4+2 B.-3+2C.-4+22 D.-3+22答案D4.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=.

答案95.(2024江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE·CE的值是.

答案76.(2024天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,則AE·答案297.(2013課標(biāo)Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則AE·BD=.

答案2考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30° B.45° C.60° D.120°答案A2.(2024重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿意|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.π3 B.π2 C.2π答案C3.(2024陜西,8,5分)對(duì)隨意平面對(duì)量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B4.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面對(duì)量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿意b2A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A5.(2024北京,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=.

答案-16.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

答案27.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案-28.(2024江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.

答案39.(2024浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面對(duì)量b滿意b·e1=b·e2=1,則|b|=答案210.(2024安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是.(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))

①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.答案①④⑤11.(2013課標(biāo)Ⅰ,13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=.

答案212.(2012課標(biāo)全國,15,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案32【三年模擬】時(shí)間:50分鐘分值:70分一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025屆山東夏季高考模擬,3)設(shè)向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,則λ=()A.3 B.2 C.-2 D.-3答案A2.(2024遼寧葫蘆島調(diào)研,9)若向量OA=(1,-1),|OA|=|OB|,OA·OB=-1,則向量OA與OB-OA的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案D3.(2025屆河南十所名校尖子生聯(lián)考,7)已知非零向量a,b滿意|a|=λ|b|,若a,b夾角的余弦值為1930A.-49 B.23 C.32或-答案D4.(2024湖北武漢模擬,9)已知向量a,b滿意|a|=4,b在a方向上的投影為-2,則|a-3b|的最小值為()A.12 B.10 C.10 D.2答案B5.(2025屆湖南衡陽摸底考試,11)若在△ABC中,BC=1,其外接圓圓心O滿意3AO=AB+AC,則AB·AC=()A.12 B.22 C.答案A6.(2024安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)PA2+PB2+PC2取得最小值時(shí),A.272 B.-272答案D7.(2025屆安徽六安一中第一次月考,11)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4,M是邊AB的中點(diǎn),N是CM的中點(diǎn),延長AN交BC于點(diǎn)D,則AD·AC=()A.-8 B.8 C.-9 D.9答案B8.(2024遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,11)平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,AB·AD=-1,點(diǎn)M在邊CD上,則MA·MB的最大值為()A.2 B.3-1C.0 D.2-1答案A二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2024河北衡水其次次調(diào)研,15)如圖所示,|AB|=5,|AE|=5,AB·AE=0,且AB=2AD,AC=3AE,連接BE,CD交于點(diǎn)F,則|AF|=.

答案14510.(2025屆江蘇高郵摸底考試,12)如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BD·AC=-12,則CE·AB答案-4三、解答題(共20分)11.(2025屆豫北六校對(duì)抗賽,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3