2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-1.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式

1.3等比數(shù)列

1.3.1等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式

1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一等比數(shù)列的概念

1.（多選）下列說法正確的有（）

A.等比數(shù)列中的項(xiàng)不能為0

B.等比數(shù)列的公比的取值范圍是R

C.若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則其公比為1

D.22,416585…成等比數(shù)列

2.設(shè)an=（-l）n（n￡N+）,則數(shù)列m11｝是（）

A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列

C.遞增數(shù)列D.遞減數(shù)列

3.（2021湖北黃石第二中學(xué)一模）已知函數(shù)f（x）=logkx（k為常數(shù),k〉0且kWl）.下列條

件中，能使數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列的是（填序號）.

①數(shù)列｛f（an）｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列，⑶）｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列｛f（an）｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.

題組二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

4.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q為正數(shù)，且a3a9=2哈a2=l,則ai=()

A.|B噂

22

C.V2D.2

5.已知數(shù)歹U｛an｝滿足ai=l,an+i=2an(n￡N+).若amW128,則正整數(shù)m的最大值是

()

A.7B.8

C.9D.10

6.(2022湖南長沙一中期中)在等比數(shù)列｛aQ中,ai=l,a2a3=8,則經(jīng)”=()

A.8B.6C.4D.2

7.已知數(shù)歹U｛an｝,若ai=2,an+i+an=2n+l,則a2020=()

A.2017B.2018C.2019D.2020

8.已知數(shù)列｛an｝滿足ai=l,nan+i=2(n+l)an,設(shè)bn斗.

(1)求bi,b2,b3；

(2)判斷數(shù)列｛bn｝是不是等比數(shù)歹U,并說明理由；

(3)求｛aQ的通項(xiàng)公式.

題組三等比中項(xiàng)

9.等比數(shù)列｛aj中,ai[,q=2,則沏與a8的等比中項(xiàng)為（）

O

A.4B.-4C.±4D.±2

10.（2022湖南益陽期中）設(shè)數(shù)列｛an｝的每一項(xiàng)都不為零，且對任意n￡N+滿足

an+i=an,a2,若a3=3,則a2=（）

A.±3B.±V3

C.3D.V3

11.已知a,b,c成等差數(shù)列,a+l,b,c和a,b,c+2都分別成等比數(shù)列，則b的值為（）

A.16B.15C.14D.12

題組四等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

12.（2021廣東廣州期末）在等比數(shù)列｛an｝中，若ai+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3，則

a7+a8+a9=（）

3

A.24B.j

C.73D.--27

48

13.（2022北京昌平期末）若｛aQ是無窮等比數(shù)列，則"0<a2<ai”是“｛an｝為遞減數(shù)

列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

14.在等比數(shù)列｛aQ中,aia2a3=2,an-2an〃an=4,且aia2a3.....an=64,則數(shù)列｛an侑

項(xiàng).

15.(2022湖南株洲月考)在等比數(shù)列｛aj中,as.是方程x2+llx+5=0的兩根，則皿2

a13

的值為.

16.在等比數(shù)列｛an｝中,ai〉l,公比q>0.設(shè)bn=log2an,且bi+b3+b5=6,bib3b5=0.

(1)求證:數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；

(2)求｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn及｛an｝的通項(xiàng)公式.

能力提升練

題組一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.(多選)(2020浙江湖州期末)設(shè)數(shù)列｛an｝為等比數(shù)歹(J,則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列

的是()

A.｛2an｝｝

a

C.｛2-｝D.｛log2|an|)

2.(2022湖南懷化一中月考)已知數(shù)列｛an｝滿足砥=122=2丹+2=(1+

c°s?￡)an+sin2/(n￡N+),則ai9Tog2a20的值為.

3.(2021安徽六安期中)已知數(shù)列｛aQ中,ai=72吟3an+尸an-1,則滿足不等式ai-ak<0

的k的值為.

2

4.(2021廣東深圳、汕頭、潮州、揭陽名校聯(lián)考)從①前n項(xiàng)和Sn=n+p(pGR),②a6=l1

且2an+i=an+an+2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答.

在數(shù)列｛an｝中,ai=l,淇中n￡N+.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵若ai,an,am構(gòu)成等比數(shù)列淇中m,n￡N+,且m〉n>l,求m的最小值.

5.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程anx2-an+ix+l=0(n=l,2,3,…)有兩實(shí)數(shù)根a和且滿足

6a-2a0+6|3=3.

(1)試用an表示an+i；

(3)當(dāng)ai=：時(shí),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

6

題組二等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用

6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列⑶｝的公比為3,若aman=9及，則/5的最小值等于

()

A.l13C.7D.；3

242

7.(2021江蘇宿遷桃州中學(xué)調(diào)研)已知等比數(shù)列⑸｝滿足an>0,n=l,2,…，且

as?a2n-5=22n(n23),則當(dāng)nel時(shí),log2ai+log2a3+…+log2a2n-i=()

A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-l)2

8.(2021江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)期末)2020年12月17日凌晨1時(shí)59分，嫦娥

五號返回器攜帶月球樣品成功著陸，這是我國首次實(shí)現(xiàn)地外天體采樣返回,標(biāo)志著

中國航天向前又邁出了一大步.月球距離地球約38萬千米，有人說:在理想狀態(tài)下,

若將一張厚度約為01毫米的紙對折n次，其厚度就可以超過從地球到達(dá)月球的距

離,那么至少對折的次數(shù)n是（1g2^0.3,lg3.8^0.6）（）

A.40B.41C.42D.43

9.（2022湖南常德期末）音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格

的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載埼創(chuàng)立了十二平均律，他是

第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，

把八度分成十二個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音的頻率的比值為常數(shù)，如下表所示，其中

由他,…,ai3表示這些半音的頻率，它們滿足log2管曠小心,…,12）.若某一半音

與D#的頻率的比值為冠，則該半音為（）

頻率aia2H3a4H5a6a7

半音cc#DD#EFF#

頻率asa9aioanai2ai3

c

半音GG#AA#B

（八度）

A.F*B.GC.G*D.A

10.（2021河南焦作期末）已知｛aQ是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)歹U,則下列結(jié)論中正確

的個(gè)數(shù)為（）

①a2a4=aia5；

②ai+a522a3；

③ai+a52a2+初;

④若a5>a3,則a4>a2.

A.lB.2C.3D.4

11.(2022河南鄭州期中)在等比數(shù)列｛an｝中,ai=-16,初=-2.記

Tn=aia2.....an(n=1,2,???,!!),則數(shù)列｛Tn｝()

A.有最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

D.無最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

12.已知｛aQ是等差數(shù)列，滿足ai=2,a4=14,數(shù)列｛悅｝滿足bi=l,b4=6,且｛an-bn｝是等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對任意n￡N+,都有bnWbk成立，求正整數(shù)k的值.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.AC

2.A

3.答案②

解析①中，f(an)=2n,即10gkan=2n,得仁小，

2幾+1

???%i=.=k2nw常數(shù)，，數(shù)列⑶｝不是等比數(shù)列；

ank

2n+2

②中，f(an)=4+(n-l)x2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k,MaLk,WO,

?.?皿=￡；=k2，且k2為非零常數(shù),數(shù)列⑶｝是以k4為首項(xiàng)、k2為公比的等比數(shù)

ank“十”

列；

22n(n+1)

③中，f(an)=2n+^^x2=n+n,BPlogkan=n+n,^#an=k,

,/皿=與2=卜如+1)W常數(shù),I.數(shù)列｛an｝不是等比數(shù)列?

4.Bq>0,a3a9=2ci5-al,a6=V^a5,/.q=V2.a2=aiq=l,ai=?.

5.B由題意得皿=2,所以數(shù)列｛aQ是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以

%

an=aiqn-i=2~i.

若amW128,則2m4W128,所以m-1W7,解得m<8,

故正整數(shù)m的最大值是8.

6.A由題設(shè)知a2a3=?；?=8,又,..ai=l,；.q=2,...至0=2±^=差=8,

。1+。2a]+tZ]q3

故選A.

7.C*.,an+i+an=2n+l,an+i-(n+l)=-(an-n),又WO,

???數(shù)列｛an-n｝是以1為首項(xiàng)、-1為公比的等比數(shù)列,???an-n=(-l)n-i,

.?.an=n+(-l)n-\，a2020=2020-1=2019.

8.解析(1)由條件可得a.尸竺趣a。.

n

令n=l,得a2=4ai=4.

令n=2,得a3=3a2=12.

從而bi=l,b2=2,b3=4.

(2)｛bn｝是等比數(shù)列理由如下:

由條件可得皿=也，即bn+l=2bn,

n+1n

又因?yàn)閎i=lWO,

所以｛bn｝是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列.

(3)由⑵可得&=bn=l義2『1=2叫

n

所以an=n?2n-1.

9.C由題意得a4=aiq3=*x23=l,a8=aiq7=!x27=16,J初與as的等比中項(xiàng)為土WE=±4.

88

10.B令n=l,貝！Ja2=aia2,：a2W0,，ai=l.由an+i=an,a2得皿=a2,即｛aQ是首項(xiàng)為1、

an

公比為a2的等比數(shù)歹U,故脛=aia3=3,解得a2=±B.故選B.

11.D由題意得2b=a+c,b?=(a+l)?c,b2=a,(c+2),聯(lián)立可得b=12.

12.B設(shè)等比數(shù)列⑸｝的公比為q,則a4+a5+a6=q3,(ai+az+a3),即6q3=-3,可得q3=-^,

因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=(-；)x(-3)=；.故選B.

13.A充分性:因?yàn)椋鸻j為無窮等比數(shù)列,0<a2<ai,所以公比q滿足0<q==l,所以

ai

an>an+i=anq,即｛a/為遞減數(shù)列.必要性:若無窮等比數(shù)列為｝是遞減數(shù)列，則它的第

一項(xiàng)和第二項(xiàng)可以為負(fù)，如-1,-2,…，所以不一定得到0<a2<ai.所以“0<a2<ai

842

是“｛an｝為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.

14.答案12

解析由題意及等比數(shù)列的性質(zhì)得aia2a3an-2?an-ian=(aian>=8,即aian=2,則

aia2a3.....an=64=26=(aianA,故｛an｝有12項(xiàng).

15.答案-亞

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得a5+a2i=-ll,a5a21=5,則a7al9=a%=a5a21=5,且a5,azi同為

負(fù)值,ai3=-V5,

a13

16.解析(1)證明:因?yàn)閎n=10g2an,

所以bn+l-bn=log2an+|-log2an=log2—=log2q為常數(shù),

an

所以數(shù)列｛bn｝是公差為log2q的等差數(shù)列.

(2)設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d,

因?yàn)閎i+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2.

因?yàn)閍i>l,

所以bi=log2al>0,

又因?yàn)閎ib3b5=0,所以b5=0,

所以曙生流制bi=%

d=-1,

因此￡=4n+等《一1尸吟

由(1)可知d=log2q=-l,解得q=j

由bi=log2al=4,解得ai=16,

n_15n

所以an=aiq=2_(nGN+).

能力提升練

l.AB設(shè)數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為ai,公比為q.

對于A,2an=2aiqn」,所以數(shù)歹！J｛2an｝是公比為q的等比數(shù)列；

對于B,欣=0可止2=山@)市所以數(shù)列｛欣｝是公比為q2的等比數(shù)列；

n-1

對于。2心=2的產(chǎn);所以當(dāng)n22時(shí),以工三=2?！慨a(chǎn)“產(chǎn)2不是一個(gè)非零常數(shù)所以

2an-12°iq

數(shù)列｛2久｝不是等比數(shù)列；

對于D,當(dāng)n22時(shí),上辿=皿嗎,不是一個(gè)非零常數(shù)，所以數(shù)列｛log2|aj｝不是等比

log2MliI

數(shù)列.

故選AB.

2.答案100

解析當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2=an+L數(shù)列｛aQ隔項(xiàng)成等差數(shù)列.設(shè)n=2k-l,則a2k-i=k，故

ai9=l。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2=2an,數(shù)列｛an｝隔項(xiàng)成等比數(shù)列.設(shè)n=2k,則a2k=2、故a2o=210.

故ai9?log2a20=10x10=100.

3.答案8

解析由3an+i=an-l得an+i+；W（a九+；）,因?yàn)閍i+；=729,所以數(shù)歹“。八+'是首項(xiàng)為

729、公比為和等比數(shù)列，所以an+；=729xQ「,所以ad?..

當(dāng)n22時(shí),an-an4=（37f-；）（38f）=_2?375<0,所以數(shù)列｛aQ為遞減數(shù)列.

若a-?ak<0,則有伊二°'

（38~k-->0,

即…：得2?3，<3k<2?38,又因?yàn)閗￡N+,所以k=8.

37-k--<0,

2

4.解析（1）選擇條件①.

2

當(dāng)n=l時(shí)，由Si=ai=l,得p=0,故Sn=n.

2

當(dāng)n22時(shí)，有Sn-i=（n-l）,

所以an=Sn-Sn-i=2n-1（n^2）.

經(jīng)檢驗(yàn),ai=l符合上式，所以an=2n-l（n￡N+）.

選擇條件②.

由2an+l=an+an+2,得an+1-Hn—an+2-Hn+l,

所以數(shù)列｛an｝是等差數(shù)歹!J,設(shè)其公差為d.

因?yàn)閍i=l,a6=ai+5d=11,所以d=2.

所以an=ai+(n-1)d=2n-1(n￡N+).

⑵因?yàn)閍i,a?am構(gòu)成等比數(shù)列，

所以a^=aiam,即(2n-l)2=lx(2m-l),

化簡，得m=2n2-2n+l=2(7i-；)+；.

因?yàn)閙,n￡N+,且m>n>l,所以當(dāng)n-2時(shí),m取得最小值，最小值為5.

卜+6=皿，

5.解析(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得《1%

\ap=-,

\an

代入6a-2a0+60=3,

得—=3,所以an+i=-an+-.

anan23

(2)證明:因?yàn)閍n+l三an+g

所以an+l-：=：(冊-：).

22

若ang則方程anx-an+ix+l=0可化為*-京+1=0,即2x-2x+3=0,

止匕時(shí)A=(-2)2-4X2X3=-20<0,

所以anW；即an--^0.

33

所以數(shù)列｛%r：｝是以;為公比的等比數(shù)列.

(3)當(dāng)aiW時(shí),

632

所以

所以an=：+Q),n=l,2,3,….

m+n

6.C由題意得a2?3m-2.a2?3n3^9aj,

m+n=6,

.*.-+-=-(m+n)f-+-)=-(2+-+-+-)^-x(-+2)/,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=4時(shí)取等號.

m2n6\m2nJ62nm26\274

???，三的最小值為3

m2n4

7.C因?yàn)椋鸻n｝為等比數(shù)列，所以ai?a2n-l=a3,a2n-3=c=a5?a2n-5=22n,所以

nn2

log2ai+log2a3+…+log2a2n-l=log2（aia2n-lA=log2（22n）3=log22n=/故選Q

8.C設(shè)對折n次時(shí)，紙的厚度為加毫米,

由題意知，每次對折后，紙的厚度變?yōu)樵瓉淼?倍，則｛aQ是首項(xiàng)為0.1x2=02公比為

2的等比數(shù)歹U,

n1n

所以an=0.2x2-=0.1x2,

令an=O.lx2n238xl()4xio6,

即2n23.8x1()12,所以1g2n^lg3.8+12,

即0.3nN0.6+12,解得n2詈=42,

所以至少對折的次數(shù)n是42,故選C.

9.B依題意可知an>0(n=l,2「?,12,13).由于由翹,…,a”滿足

1哨(%)12=101,2「:12),則(如廣=20％=2之所以數(shù)列｛211｝(11=1,2「?,12,13)為等

\/\Qj/%

1

比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則q=2區(qū)D#對應(yīng)的頻率為初,又因?yàn)樗蟀胍襞cD#的頻率的

o_111

比值為近=2三(204,故所求半音對應(yīng)的頻率為a4-(204=a8.故選B.

10.D設(shè)｛an｝的公比為q(q〉0).

對于①，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a4=aia5,①正確；

對于②,ai+a5=a3(p+q2)2a3x2J,Xq?=2a3,當(dāng)且僅當(dāng)q=l時(shí)，等號成立，②正確；

對于③，因?yàn)閍i+a5-(az+a4)=a3+Q2-^-q)=^|(l-q)(l-q3