新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第45講 數(shù)列的綜合運(yùn)用（解析版）

第45講數(shù)列的綜合運(yùn)用1、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．?dāng)?shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用2、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識(shí)去解決．1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第n項(xiàng)an與第n＋1項(xiàng)an＋1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n＋1項(xiàng)和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．1、（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列SKIPIF1<0，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)的和為．【答案】48；384．【解析】SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公比SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)的和為SKIPIF1<0．故答案為：48；384．2、（2023?新高考Ⅱ）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故原式得證．3、（2022?新高考Ⅰ）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，①，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以SKIPIF1<0．證明：（2）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4、（2021?乙卷（文））設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后，相遇的時(shí)間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 D.14【答案】：B【解析】：設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意得2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）定義SKIPIF1<0，已知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【詳解】依題意得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．3、對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．【答案】：－2【解析】：利用導(dǎo)數(shù)求得曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它與x軸交于點(diǎn)(xn，0)，則有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝lgxn＝lgeq\f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．4、(2022·江蘇南京市二十九中學(xué)高三10月月考)(多選題)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有SKIPIF1<0個(gè)球，第二層有SKIPIF1<0個(gè)球，第三層有SKIPIF1<0個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由題意知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，故B正確；SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤；故選：BC考向一數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用例1、（1）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）黃山市歙縣三陽(yáng)鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列SKIPIF1<0時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式SKIPIF1<0就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即SKIPIF1<0，如果該數(shù)列SKIPIF1<0的前兩項(xiàng)分別為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.（2）（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為SKIPIF1<0，2到20的全部素?cái)?shù)和為SKIPIF1<0，所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為SKIPIF1<0.故選：B.（3）（2023·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【詳解】設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為奇數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為偶數(shù)數(shù)；所以SKIPIF1<0，故選:B.變式1、（1）(2022·青島期初考試)《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七，借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為A．8B．11C．14D．16【答案】B【解析】由題意可知，這位公公9個(gè)兒子的年齡從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則可設(shè)年齡最小的兒子年齡為a1，則公差為d＝3，由題意，eqS\s\do(9)＝9a\s\do(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\do(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為11，故答案選B．（1）、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)影子的長(zhǎng)度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長(zhǎng)之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)之和為10.5尺，則立秋的晷長(zhǎng)為（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為d，根據(jù)題意列出方程組求解即可.【詳解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長(zhǎng)依次成等差數(shù)列SKIPIF1<0，設(shè)其首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為d，根據(jù)題意SKIPIF1<0，∴立秋的晷長(zhǎng)為SKIPIF1<0.故選：D（3）、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】設(shè)該女子第一天織布SKIPIF1<0尺，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0前SKIPIF1<0天織布的尺數(shù)為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的最小值為8．故選：SKIPIF1<0．考向二數(shù)列中的含參問題例2、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若對(duì)任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，不等式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，不等式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為奇數(shù)且SKIPIF1<0），易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0變式1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為1，公差SKIPIF1<0，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得SKIPIF1<0.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）法一：由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0（舍），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不合題意；SKIPIF1<0滿足條件的SKIPIF1<0有三組.法二：由（1）得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.存在滿足條件的SKIPIF1<0有三組.變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．給定SKIPIF1<0，記集合SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，集合SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，集合SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0=2001<2022，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0=4039>2022，記SKIPIF1<0，顯然數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以所求SKIPIF1<0的最小值是11.考向三數(shù)列中的“定義型問題”例3、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）定義：對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0(SKIPIF1<0=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”；不論數(shù)列SKIPIF1<0是否具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，如果存在數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是同一數(shù)列，且SKIPIF1<0滿足下面兩個(gè)條件：（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個(gè)排列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”.給出下面三個(gè)數(shù)列：①數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5；③數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5，6.具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”的為________；具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”的為_________.【答案】①②【詳解】解：對(duì)于①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，2，3，SKIPIF1<0為完全平方數(shù)SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”；對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”，數(shù)列SKIPIF1<0為3，2，1，5，4，具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”；對(duì)于③，SKIPIF1<0，1都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，SKIPIF1<0，2，3，4，5，6，不具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”．故答案為：①；②．變式1、(2022·江蘇如皋中學(xué)高三10月月考)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，定義使SKIPIF1<0為整數(shù)SKIPIF1<0叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而分奇、偶數(shù)項(xiàng)求通項(xiàng)公式，再合并即可得答案；（2）根據(jù)題意得SKIPIF1<0，故設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再解不等式SKIPIF1<0即可得區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的“幸福數(shù)”，再求和即可得答案.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①﹣②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，且公差均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為奇數(shù))SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為偶數(shù))∴SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的“幸福數(shù)”為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0∴所有“幸福數(shù)”的和為SKIPIF1<0.變式2、(2022·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測(cè))若數(shù)列{an}中不超過f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù)．已知an＝2n，且f(m)＝m，數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm，若Sm＝30，則m的值為()A．9B．11C．12D．14【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可得2n≤m，則bm＝eq\f(m,2)；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可得2n≤m－1，則eqb\s\do(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ\B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m為奇數(shù)),\F(m,2)(m為偶數(shù))))，則當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq\f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq\f(1,2)×eq\f(m,2)＝EQ\F(m\S(2),4)，則EQ\F(m\S(2),4)＝30，因?yàn)閙∈N*，所以無解；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ\F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq\f(m＋1,2)＝EQ\F(m\S(2)－1,4)，所以EQ\F(m\S(2)－1,4)＝30，因?yàn)閙∈N*，所以m＝11，故答案選B．考向四數(shù)列與不等式等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合例4（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，數(shù)列SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），兩式相減得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0適合上式，故SKIPIF1<0．另解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0為常數(shù)列，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.變式1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，因此，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）證明：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，綜上可得SKIPIF1<0．1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）傳說國(guó)際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國(guó)王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國(guó)王讓人在他發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（

）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C【解析】64個(gè)格子放滿麥粒共需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0麥子大約20000粒，1噸麥子大約SKIPIF1<0粒，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：C.2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┬±钤?022年1月1日采用分期付款的方式貸款購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值SKIPIF1<0元的家電，在購(gòu)買1個(gè)月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為SKIPIF1<0．按復(fù)利計(jì)算，則小李每個(gè)月應(yīng)還（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元【答案】A【解析】設(shè)每月還SKIPIF1<0元，按復(fù)利計(jì)算，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0，故選：A3、（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】6【解析】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其公比SKIPIF1<0，令數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此人在第六天行走的路程SKIPIF1<0（里）.故答案為：64、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0（說明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）(1)請(qǐng)寫出你的選擇，并求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選①，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.選②，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）證明：由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0．5、（2023·云南·統(tǒng)考一模）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求m的最小值．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不