新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第37講 平面向量的應(yīng)用（原卷版）

第37講平面向量的應(yīng)用1、向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義．(2)證明線段平行，三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運(yùn)用向量平行(共線)的條件，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)?x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(4)求夾角問(wèn)題：利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(5)用向量方法解決幾何問(wèn)題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2、向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)直線的傾斜角、斜率與平行于該直線的向量之間的關(guān)系．設(shè)直線l的傾斜角為α，斜率為k，向量a＝(a1，a2)平行于l，則k＝tanα＝eq\f(a2,a1)；如果已知直線的斜率為k＝eq\f(a2,a1)，則向量(a1，a2)與向量(1，k)一定都與l平行．(2)與a＝(a1，a2)平行且過(guò)P(x0，y0)的直線方程為y－y0＝eq\f(a2,a1)(x－x0)，過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)且與向量a＝(a1，a2)垂直的直線方程為y－y0＝－eq\f(a1,a2)(x－x0)．1、設(shè)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.1 B.2 C.4 D.52、已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為________．1、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心2、在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的形狀一定是________三角形．()A.等邊B.等腰C.直角D.等腰直角3、若O為△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形4、已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－9，則λ的值為()A.2B.3C.4D.5考向一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例1、（1）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的______心．（2）等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝________.變式1、如圖，正六邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最大值和最小值分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9 B．10 C．11 D．12變式2、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.方法總結(jié)：利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題1、若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)考向二平面向量與三角綜合例2、已知a＝(cosx，2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，f(x)＝a·b.(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)a≠0，a與b共線時(shí)，求f(x)的值．變式1、本題中，求|a－b|的最大值．變式2、SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng).方法總結(jié)：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)，然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，有時(shí)還加入?yún)?shù)，考查分類討論的思想方法．(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時(shí)，通常以向量為表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問(wèn)題，所以要靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解．(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯(cuò)誤．考向三平面向量與解析幾何例3(1)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線的斜率，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)的直線方程為________________．(2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為________．變式1、（多選題）已知點(diǎn)A(4，3)在以原點(diǎn)O為圓心的圓上，B，C為該圓上的兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則（）A．直線BC的斜率為SKIPIF1<0 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面積為SKIPIF1<0 D．B、C兩點(diǎn)在同一象限方法總結(jié)：向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算，脫去“向量外衣”；(2)工具作用，對(duì)于解析幾何中出現(xiàn)的垂直可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積等于0，對(duì)于共線的線段長(zhǎng)度乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積等．1、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設(shè)初始正方形ABCD的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（）A．2 B．4 C．6 D．83、已知點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、（多選題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、（多選題）折紙發(fā)源于中國(guó)．SKIPIF1<0世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院