2021-2022學(xué)年福建省泉州市泉港一中等高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，為圖象的對(duì)稱中心，若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是（）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則的面積是（）A． B． C． D．4．公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．6．已知方程表示的曲線為的圖象，對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則由方程所確定；則正確命題序號(hào)為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④7．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，，則（）A． B．C． D．9．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．10．據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CPI（居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn)．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.14．六位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有________種（用數(shù)字回答）.15．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．16．設(shè)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①，②，③中的兩個(gè)補(bǔ)充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.21．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．22．（10分）在直角坐標(biāo)系x0y中，把曲線α為參數(shù))上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，求|MN|的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點(diǎn)，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.2．A【解析】

結(jié)合已知可知，可求，進(jìn)而可求，代入，結(jié)合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，即，，，且，，，，，，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，而．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用．3．B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4．D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，注意為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

分四類情況進(jìn)行討論，然后畫出相對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在圖象；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分；（4）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對(duì)于①，在上單調(diào)遞減，所以①正確；對(duì)于②，函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，即沒有零點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.7．B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計(jì)算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.8．D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.9．C【解析】

設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點(diǎn)為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．10．D【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%，與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判斷.C.食品占19.9%，再看第二個(gè)圖，分清2.5%是在CPI一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權(quán)重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權(quán)重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點(diǎn)，則，在圓上，到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題.12．A【解析】

先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計(jì)算．【詳解】由題意，．由得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，解題時(shí)要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間．14．135【解析】

根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有種選擇，再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來的位置，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有種選擇.再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法原理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15．【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16．【解析】

先求出，從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．即可得的最大值為，令，得函數(shù)取得最小值，由有實(shí)數(shù)解，，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．所以的最大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）存在，為中點(diǎn)【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量方法得，解得，所以為中點(diǎn)．【詳解】（1）由于為中點(diǎn)，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因?yàn)槊妫婷?，面面，故面，又面，所以面面．?）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點(diǎn)為中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18．（1）；（2）.【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補(bǔ)充兩個(gè)條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進(jìn)而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點(diǎn).設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點(diǎn)，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).此時(shí)，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.20．（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）依題意，得，，，故橢圓C的方程為.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，所以，由，則，.由于，故當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，故，又點(diǎn)在圓T上，代入圓的方程得到.故圓T的方程為：（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，代入上式得：，所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾