專題2.3 相似三角形中的六種模型-中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）（解析版）

題型一：（雙）A字模型相似1．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，進(jìn)而求得；（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三種，可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）當(dāng)CF＝BM時，，此時△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當(dāng)0＜x＜3時，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如圖3，當(dāng)3＜x＜4.5時，由得，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如圖4，∵，∴，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當(dāng)BM＝BE＝5時，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當(dāng)EM＝EB＝5時，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=，如圖6，當(dāng)EM＝BM時，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝，∴BM＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，綜上所述：x＝2或或．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海嘉定·二模）已知點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM、CM．（1）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（2）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：；（3）如果點(diǎn)P不在線段CM上（如圖12），當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的正切值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，△APC是等邊三角形，∠PBD=120°，則∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位線定理解決問題即可．（3）延長BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，可證△CBG是等邊三角形且點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如圖1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）結(jié)論：tan∠BCM=．理由如下：如圖2，延長BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等邊三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等邊三角形，∵GM=BM，∴∠BCM=∠BCG=30°，∴tan∠BCM=．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長線段交邊于點(diǎn)，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分別求出CD，BC，BD，證明，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解；（2）先證明，再證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（2）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意確定相似三角形，并根據(jù)相似性質(zhì)解題．題型二：（雙）8型相似1．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A’、B’、D’，當(dāng)A’落在邊CD的延長線上時，邊A’D’與邊AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為____．【答案】【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D=A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，對應(yīng)邊成比例即可求出DE的長，再由△A'DF∽△CDE求出DF的長，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4∴由勾股定理可知：A'C=，∴A'D=A'C-CD=2，又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，∴△ECD∽△A'CB'，∴，代入數(shù)據(jù)：，∴，又A'F∥CE，∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，∴△A'DF∽△CDE，，代入數(shù)據(jù)：，∴，在Rt△DFC中由勾股定理可知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解決此題的關(guān)鍵.2．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計(jì)算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．3．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點(diǎn)G，GF的延長線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，且BC2＝CE?CA．（1）求證：AD＝DE；（2）過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，求證：CE2＝AE?AF．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠CAB，根據(jù)等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE?EF，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AF＝EF，證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BC2＝CE?CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；（2）過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)F，如圖，∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE?EF，∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE?AF．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型三：母子型相似1.（2022徐匯一模25題）如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時，求的值；（2）求證：；（3）當(dāng)時，求．

【小問1詳解】解：過D作DH⊥AB于H，在△ABC中，，，設(shè)，，∴，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=AC=，∴S△ADB=12∴DH=AD在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；【小問2詳解】證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；【小問3詳解】解：由可設(shè)，，則DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．2.（2022虹口一模25題）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，點(diǎn)D是邊BC延長線上的點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得∠ADE＝∠ABC．過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，求證：＝；（2）在（1）題的條件下，設(shè)CD＝x，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEF∽△AGF時，求CD的長．

【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝，設(shè)AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，當(dāng)x＝0時，此時DE⊥AB，由S△ABC＝得，10?DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如圖1，當(dāng)G在線段AC上時，延長AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16?CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如圖2，當(dāng)G點(diǎn)在AC的延長線上時，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴這種情形不存在，∴CD＝3．3（2022長寧一模25題）已知,在△ABC中,,點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，且,射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1,如果,求S△ADES△ODB（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時,聯(lián)結(jié),求線段的長．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，∴，∴S△ADES（2）∵是以為腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴設(shè)AE＝OE＝OC=x，由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；則的長是為．（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，∴A、B、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，設(shè)OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），則的長是為．4.【2021松江二模】如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進(jìn)而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結(jié)論．（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點(diǎn)E是BC的黃金分割點(diǎn)，可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．（3）解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點(diǎn)E是BC黃金分割點(diǎn)，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解題的關(guān)鍵．題型四：旋轉(zhuǎn)型相似1．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【分析】（1）先證明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行線性質(zhì)可推出∠ADE＝∠DCE，進(jìn)而證得△ADE∽△ECD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)可得G為AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可證得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根據(jù)△ABE∽△AED且相似比為3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，進(jìn)而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，進(jìn)而求得：CF＝EF，再結(jié)合題意得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB?AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE?DC；（2）解：如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G為AE的中點(diǎn)，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB?AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比為3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如圖3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE?DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝，定義域?yàn)?＜x＜9．【點(diǎn)評】本題是相似三角形綜合題，考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2010秋?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得對應(yīng)線段成比例，又有以對應(yīng)角相等，即可判定其相似．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．（2）△ABD∽△ACE．證明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，∴AB×AE＝AC×AD，∴，∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握．3．（2008秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE（1）求證：；（2）當(dāng)∠BAC＝90°時，求證：EC⊥BC．【分析】（1）根據(jù)∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE即可求證△BAC∽△DAE，即可求證，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以求證△ABD∽△ACE，即可求得∠ACE＝∠B，即可求得∠DCE＝90°，即可解題．【解答】證明：（1）∵∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴，（2）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠B，又∵∠B+∠ACB＝90°∴∠ACE+∠ACB＝∠DCE＝90°，∴EC⊥BC．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的證明，考查了相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD∽△ACE是解題的關(guān)鍵．4．（2018·上海民辦浦東交中初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間是t秒.將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得點(diǎn)，點(diǎn)隨點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，連接.(1)請用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求為何值時，的面積最大，最大為多少?(3)在點(diǎn)從向運(yùn)動的過程中，能否成為直角三角形?若能，求的值:若不能，請說明理由.(4)請直接寫出整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)所經(jīng)過的長度.【答案】；；能，2或；【分析】（1）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)及三角形的面積公式直接求解即可；（3）先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；（4）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動路線與OB平行且相等即可解決【詳解】（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動設(shè)CP的中點(diǎn)為F，過點(diǎn)D作DE⊥OA，垂足為E，∵∵F繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D又（2）∵∴當(dāng)時，最大，為4（3）能構(gòu)成直角三角形當(dāng)時，由勾股定理得，即解得或（舍去）當(dāng)時，此時點(diǎn)D在AB上即∴綜上所述，或時，能成為直角三角形（4）當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O處時，對應(yīng)的當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時，直線的斜率，即無論點(diǎn)D如何運(yùn)動，直線的斜率為固定值，即點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡始終在直線上，∴點(diǎn)D的運(yùn)動路線與OB平行當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到A時，，此時的坐標(biāo)為即點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡為線段∵點(diǎn)與點(diǎn)B,C共線∴軸∵四邊形為平行四邊形∴點(diǎn)D的運(yùn)動路線與OB平行且相等∵∴點(diǎn)D運(yùn)動路線的長為【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合問題，掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．題型五：K字型相似1．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，，，平分．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果點(diǎn)在對角線上，聯(lián)結(jié)并延長，交邊于點(diǎn)，交線段的延長線于點(diǎn)（點(diǎn)可與點(diǎn)重合），，設(shè)長度是是常數(shù)，且，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)是等腰三角形時，求的長（計(jì)算結(jié)果用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）；（3）或時，為等腰三角形【分析】（1）由題意先判斷出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，進(jìn)而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出結(jié)論；（2）由題意先判斷出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意分三種情況，①當(dāng)CE=EG時，判斷出點(diǎn)F，G和點(diǎn)D重合，即：AF=AB，即可得出結(jié)論，②當(dāng)CG=CE時，先判斷出∠FDG=∠FGD，得出FG=F