2023-2024學(xué)年福建省福州市山海聯(lián)盟協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建省福州市山海聯(lián)盟協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為(

)A.1 B.?1 C.?i D.i2.已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是(

)A.平均數(shù)>第60百分位數(shù)>眾數(shù) B.平均數(shù)<第60百分位數(shù)<眾數(shù)

C.第60百分位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù) D.平均數(shù)=第60百分位數(shù)=眾數(shù)3.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩向量a=(?2,2)，b=(1,λ)，則“λ>1”是“向量a與b夾角為銳角”的_____條件.(

)A.充分必要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要4.已知一正方形在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖的面積是182，則該正方形的面積為(

)A.36 B.362 C.72 5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分)，現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，AA1，BB1，CC1，DD1均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和A.15π2+2 B.15π2+4 C.6.在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=5，AB=AC=BC=3，則三棱錐P?ABCA.9π B.152π C.4π 7.已知向量a，b滿足|b|=1，|a+b|=17，向量a在向量A.3 B.10 C.2 D.8.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是(

)A.若b2+c2?a2>0，則△ABC為銳角三角形

B.若△ABC為銳角三角形，有A+B>π2，則sinA>cosB

C.若a=8，c=10，B=60°二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC中，AB=AC，BC=4，D為BC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是(

)A.BD?AD=AB B.AD=110.某圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則下列關(guān)于此圓錐的說(shuō)法正確的是(

)A.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為3π2

B.圓錐的體積為97π

C.過(guò)圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為811.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1A.AC⊥BE

B.EF//平面ABCD

C.三棱錐A?BEF的體積為定值

D.△AEF的面積與△BEF的面積相等三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一只田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56名，女運(yùn)動(dòng)員有42名，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本.如果樣本按比例分配，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取______名、女運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取______名.13.在5張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_____．14.已知a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且2absinC+3(a2+b2?c2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a=(1,3),|b|=3,(2a?3b)?(a+2b)=?43．

(1)求a與b的夾角θ16.(本小題15分)

在△ABC中，a=4，b=5，cosC=18．

(1)求△ABC的面積；

(2)求c及sinA17.(本小題15分)

習(xí)近平總書(shū)記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取n位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分(滿分100分)從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評(píng)分在[70,80)的市民為400人．

(1)求n的值及頻率分布直方圖中t的值；

(2)在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在[40,50)的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為14，調(diào)查評(píng)分在[50,60)的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為13，若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的3人中，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？

(3)心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門(mén)設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=問(wèn)卷調(diào)查評(píng)分

18.(本小題17分)

如圖所示，正四棱錐P?ABCD中，O為底面正方形的中心，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為62(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；(3)在(2)的條件下，問(wèn)在棱AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由．19.(本小題17分)

在復(fù)數(shù)集中有這樣一類(lèi)復(fù)數(shù)：z=a+bi與z?=a?bi(a,b∈R)，我們把它們互稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù)，b≠0時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：

(1)z+z?=2a∈R

(2)z?z?=2bi(當(dāng)b≠0時(shí)，為純虛數(shù))

(3)z=z??z∈R

(4)(z?)?=z

(5)z?z?=a2+b2=|z|2=|z?|2．

(6)兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商(分母非零)的共軛復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商．

請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：

(1)參考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.16

12

13.2514.315.解：(1)因?yàn)閍=(1,3),|b|=3,(2a?3b)?(a+2b)=?43，

所以2a2+a?b?6b2=?43，

所以8?6×9+a?b=?43，

所以a?b=3，

所以cosθ=a?b|a||b|16.解：(1)由cosC=18且0<C<π，則sinC=378，

所以S△ABC=12absinC=157417.解：(1)∵調(diào)查評(píng)分在[70,80)的市民為400人，

∴n=4000.02×10=2000，

∵每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距10為1，

∴0.84+80t=1，解得t=0.002．

(2)∵調(diào)查評(píng)分在[40,50)的頻率為0.002，調(diào)查評(píng)分在[50,60)的頻率為0.004，

∴調(diào)查評(píng)分在[40,50)的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在[50,60)人數(shù)的12，

若按分層抽樣抽取3人，則查評(píng)分在[40,50)的人數(shù)為1人，調(diào)查評(píng)分在[50,60)人數(shù)為2人，

∵經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，

∴選出的3人經(jīng)過(guò)心里輔導(dǎo)后，心里等級(jí)均達(dá)不到的概率為34×23×23=13，

∴經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為P=1?13=23．18.解：(1)取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，

因?yàn)镻O⊥面ABCD，所以PO⊥AD，

依條件可知AD⊥MO，PO∩OM=O,PO,OM?平面POM，

所以AD⊥平面POM，則AD⊥PM，

則∠PMO為所求二面角P?AD?O的平面角．

又∵PO⊥面ABCD，

∴∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO=62，

設(shè)AB=a，AO=22a，

∴PO=AO?tan∠POA=32a，

tan∠PMO=POMO=3．

∴∠PMO=60°.

(2)連接AE，OE，

∵OE/?/PD，

∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角(或其補(bǔ)角).

∵AO⊥BD，AO⊥PO，PO∩BD=O,PO,BD?平面PBD，

∴AO⊥平面PBD．

又OE?平面PBD，

∴AO⊥OE．

∵OE=12PD=12PO2+DO2=54a，

∴tan∠AEO=AOEO=2