2022年秋高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何測評試題新人教A版選擇性必修第一冊

第一章測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.(2021湖北黃岡檢測)設點〃(1,1,1),4(2,1,-1),0(0,0,0).若初57=荏，則點8的坐標為()

A.(1,0,-2)B.(3,2,0)

C.(1,0,2)D.(3,-2,0)

2.已知A,B,C,D,E是空間中的五個點,其中點A,B,C不共線,則“存在實數(shù)％%使得屁荏+畫”

是“瓦■〃平面4%'的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.(2021安徽蕪湖期中)已知點4(4,1,3),6(2,3,1),<7(5,7,3),又點P(x,T,3)在平面48C內,則x

的值為()

A.14B.13

C.12D.11

4.在平行六面體ABCD-ABCD中，其中AB=BC=BB\=1,ZABBxABC=Z,AE則

陽￡7=()

A.25B.5C.14D.V14

5.(2021廣東廣州期中)如圖，也N分別是四面體OT6c的棱OA,6c的中點,設瓦?田，而力，沅三,若

MN=更貝ljx+y-z=()

也

A

C

A.-B.iC.-

222

6.（2021北京宜城期中）我國古代數(shù)學名著《九章算術》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵

是底面為直角三角形的直三棱柱.在塹堵ABC-ABC、中，4%4M42,一為BC的中點，則宿?

麗=（）

A.6B.-6C.2D.-2

7.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，皿」底面ABC,AA^,AB=AC=BC^,則44與平面ABC所成角的大小

為（)

A.30°B.45°

8.如圖，己知四棱錐產力的底面力靦是等腰梯形,AB//CD,且ACLBD,然與初交于0,尸。，底面

ABCD,PO2仍2夜,E,尸分別是AB,小的中點.則平面乃與平面OEA夾角的余弦值為（）

A.eB.更C.巫D.漁

3333

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.有下列四個命題，其中是真命題的有（）

A.若p-Aa+vb,則p與a,b共面

B.若p與a,b共面,則p=Aa+/b

C.若麗=加5+施瓦則P,M,46共面

D.若P,JZA,8共面，貝1］麗=;而?+.硒

10.（2021安徽黃山期中）如圖,在空間四邊形OABC^,G〃分別是△/陽△戚的重心,設

65恐,赤下列結論正確的是（）

o

A.OG=i(a+b+c)

B.若瓦彳A.~BCfOBLACt貝1AB

C.OG=-a+-b+-c

333

D.GH=-a

3

11.已知在平行六面體ABCD-A\BCD\中，N4AD=/AMB=NBAD$0°,AAx=AB=AD,E為44的中點.給出

下列四個說法:

①/及①為異面直線AD與CC、所成的角;

②三棱錐4T劭是正三棱錐；

③血平面BB\D\D;

?CE=^AD-AB+AA^.

其中正確的說法有（）

A.①B.②

C.③D.④

12.（2021湖北黃岡期中）如圖，在菱形ABCD中,AB2NBAI）$0°,將△/（即沿對角線劭翻折到4

質位置,連接尸C則在翻折過程中，下列說法正確的是（）

A.PC與平面及力所成的最大角為45°

B.存在某個位置，使得PBLCD

C.存在某個位置，使得5到平面如C的距離為百

D.當二面角P-BD-C的大，卜為90°時,夕小逐

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2021北京順義區(qū)檢測）已知空間向量a=（2,3,1）,b=（Y,2,*）,且a±b,則/b/=.

14.在四面體ABCD中,已知后為線段回上的點，0為線段場上的點,且熊=^BC,DO=|屁,若

1W=XAB+yAC+zAD,貝?。輝yz的值為.

15.（2021上海青浦期末）一個圓錐的側面展開圖是圓心角為子,半徑為18cm的扇形，則圓錐的母線

與底面所成角的余弦值為.

16.（2021浙江諸暨期中）如凰在三棱柱ABC-A^a中,AB,AC,兩兩互相垂直,AB=AC=AAhM,N分另ij

是側棱BB“CG上的點,平面4町與平面4鴕的夾角為g則當⑻〃最小時，NAMB=_________.

6

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（2021湖北武漢期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，點D為棱重上一點,且CD^IBD,點M為線

段/〃的中點.

尸

(1)以｛荏，而，而｝為一組基底表示向量麗；

⑵若AB=AC^>,AP=A,NBAC=/PAC$Q°,求麗■AC.

18.(12分)(2021河北保定期中)已知a=(3,5,"),b=(2,1,8).

⑴求a?b;

⑵求X,〃的值使得/la+〃b與z軸垂直，且(Xa+〃b),(a+b)與3.

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面/靦為矩形,側棱為，底面ABCD,AB=?BC=\,PA2E

為陽的中點.

⑴求cos乖，而，的值;

⑵在側面場歷內找一點A；使平面PAC,并求出N到四和肝的距離.

20.(12分)在平行六面體ABCD-ABC心中，底面48繆是邊長為1的正方形，/厲14=/

DAA\AC\726.

(1)求側棱的長;

(2)必N分別為"G,CB的中點,求宿?標及兩異面直線/G和的夾角.

21.（12分）（2021黑龍江哈爾濱期中）如圖，在四棱錐E-ABCD中,平面加幻_平面ABCD,0,M分別為線

段AD,應'的中點.四邊形以力。是邊長為1的正方形,小=加；AELDE.

（1）求證：〃平面ABE;

（2）求直線如與平面/跖所成角的正弦值.

22.（12分）（2021云南大理期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中,四邊形力比?是等腰梯形，且

AD^AB^BC^CD,E,尸分別是線段怨然的中點,PA=PD,平面處〃1平面ABCD.

⑴證明：”平面"G9;

（2）求平面/I位與平面4龍所成夾角的取值范圍.

第一章測評

1.B設8(*,必z),則荏=(*-2,yT,z+1).

因為麗=萬，麗=(1,1,1),

所以(1,1,l)=(x-2,y-l,z+l),

所以"3,片2,z=0,即點8為(3,2,0).

2.B根據(jù)題意，若存在實數(shù)x,必使得麗=%荏+函，則應1〃平面ABC或DEu平面ABC,

反之,若彼〃平面ABC,則向量屁與荏，前共面,又由點A,6C不共線,故一定存在實數(shù)局％使得

屁=xAB+yAC,

故“存在實數(shù)x,%使得屁=x荏+限”是“Z應〃平面4必’的必要不充分條件.

3.B因為點4(4,1,3),8(2,3,1),以5,7,-5),P{x,-1,3),

所以屏=(xY,-2,0),荏=(-2,2,-2),尼=(1,6,-8).

因為點P(x,-1,3)在平面業(yè)心內，

則存在實數(shù)叫",使得標="詞+嬴，

所以(xM,-2,0)=z?(-2,2,-2)+n{\,6,-8),

x-4=-2m+n,

-2=2m+6n,

I0=-2m-8n,

解得x=13.

4.B在平行六面體ABCD-A\BC"中，其中AB=BC=BB、=\,/45?產/4笫=/a6＜胃,荏之西,

瓦石=瓦彳+族=C^D+2BD^=京+方+2（正+方+西）-2就+3萬+西，

2

O2=（2就+3CD+西）2=4BC2%而2+西+2/2BC/?/3CD/cos60°+2/2BC/?西/cos60°

+2/3而/?E/COS60°H為+1與吆+3=25,

陽切三瓦瓦/力^石.

5.A因為分別是四面體OT6C的棱力,歐的中點,

所以麗=HlA+AC+CN=^OA+(OC-0^4)+而=1a+c-a^(OB-而)=**b*,

又MN-AStrb+zc,

所以x=T，T，z韋

貝I」x+y-z=^+1-2T.

6.A根據(jù)塹堵的幾何性質可知,4U_/CAA^AB,AA^AC,

因為宿=m+何，而=西+=痂+"前一而）,

-AB)J^4C-Z47+17C2-^AC-AB+~AA^+|^4C?

所以宿?前=（元+京）?IAA1+^(AC

A^-iAA^-AB=2M=6.

7.A取46的中點以4A的中點￡連接?！ㄙ挤謩e以為,九龐所在直線為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標系,

可得4(1,0,0),4(1,0,3),故苑=(0,0,3),而4(T,0,3),6(0,V3,3),設平面ABC的法向量為

m=(a,b,c),

根據(jù)m,AB1=0,m,AC[=G,解得m=(3,rjG,2),cos<in,44；〉=巾,""=2.故加?與平面ABiG所成角

|WI||AA7I

的大小為30°,故選A.

8.B由題意，以。為坐標原點，微％”所在直線分別為“軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直

角坐標系，由題知，0A=0B=2,則4(0,-2,0),8(2,0,0),尸(0,0,2),

/.Ml,-1,0),Mo,-1,1),

...麗=(1,T,0),歷^(O,T,1),設平面向正■的法向量為m=(x,y,z),

則1m?絲=°,即二「令*=1，可得m=(l,1,1),易知平面面￡■的一個法向量為n=(0,0,1),

tm?OF=0,(少+z=0,

則cos<in,2=更設平面R應與平面OEA夾角為0、則cos0-/cos<m,n>/—.

|m||n|V333

9.AC若p=xa±yb,則p與a,b肯定在同一平面內，故A正確；

當p與a,b共面時,若a與b共線,則p就不一定能用a,b表示，故B錯誤；

同理,D錯誤;

若而=麗?土而及則而，拓?，麗三向量在同一平面內，所以2M,A,6共面,故C正確.

10.ABD對于A和C選項，是△/a'的重心，

：.0G=OA+AG,AG=^AD,AD=OD-OA.OD=；(OB+OC),

：.0G=OA+l^(OB+OC)-OA\="瓦？+而+況)W(a+b+c),故A正確,C錯誤；

對于B,若"1BC,OB1.AC,則力?BC^,OB-AC^,

：.0C-AB=(OB+FC)?(AC+CB)-AC+'OBCB+JC-AC+~BC-'CB=OC-'CB+'BC-

AC=~BC?(AC-OC^^BC-AO=Q,

...沆_L而，故B正確；

GH=OH-OG,OH=^OD,OD=；(OB+OC),

.,.GH=[(b+c)-(a+b+c)=3a,故D正確.

11.BD①N6CG=120°,而異面直線/〃與陽所成的角為60°,故①錯誤；

②三棱錐4T朋的每個面都為正三角形,故為正四面體,故②正確；

④根據(jù)向量加法的三角形法則,CE=CB+BA+AA^+7^E=^AD-AB+AA^+^AD^AD-AB+

彳否,故④正確；

③因為前=AD-AB,

所以無.麗=^AD-AB+7^)?(AD-AB')\ADf-^AD-AB-AB-AD+IABF+AA1-AD-

甌?同而/*|而f卞而，尸+同行|而『T\AD號麗/WO,

所以龍與劭不垂直，又Bg平面BBQD,故應與平面8退〃〃不垂直,故③錯誤.

12.BD選項A,如圖，取劭的中點0,連接OP,0C,則OP=OC^i.

D■紇總Cc

由題可知I,△臉和48切均為等邊三角形，

由對稱性可知,在翻折的過程中,凡?與平面靦所成的角為/尸內

當尸66時，△幽為等邊三角形，此時N/T0=60°乂5°,即選項A錯誤.

選項B,當點P在平面6曲內的投影為△時的重心點。時,有平面BCD,BQLCD,J.PQVCD,

又BQCPQ=Q,BQ,Pg平面PBQ,：.C?_L平面PBQ,

,:P吐平面PBQ,C.PBLCD,即選項B正確.

選項C,取徵的中點A；連接BN,PN,個氏

如果6到平面門笫的距離為8,則以工平面PCD,

<PB2BN=y[3,：.PN=1,DN=\,所以PD電,顯然不可能，故C錯誤.

選項D,當二面角尸-加七的大小為90°時,平面分平面BCD,取物的中點0,連接OP,OC.

'：PB=PD,：.OPLBD,

?平面WPI平面BCD=BD,

例1平面BCD,：.OPVOC,

又8=。。=百，...△△%為等腰直角三角形，

：.PC^[2OP^[6,即選項D正確.

13.2V6：a=(2,3,l),b=(W2,x)^a_Lb,

/.a,b=-8陽

解得x2

.?.b=I,2,2),

,b/R(-4)2+22+2224

14.展因為￡為線段a'上的點，。為線段應'上的點,且麗=^BC.DO=

所以而=而+前=而+|DE=而+|（而+直）金+|（而+討）=^4D+|^AB-AD+

乙前―都）上近+三AC+-AD,

33555

又方=xAB+yAC-f-zAD,

所以X3,片2等

所以入彩囁.

15.|設母線長為/，底面圓的半徑為r,

因為圓錐的側面展開圖是圓心角為仔,半徑為18cm的扇形，

所以7—18,且18X^-=2Jtr,

解得r=12,

設圓錐的母線與底面所成角為0,

則cos，q=葛=|,

ilo3

所以圓錐的母線與底面所成角的余弦值為|.

16.y以點A為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖所示，

4

A

設CN=b,BM=a,AB=AC=AAi=lt

則N(0,1,3,Ml,0,力4(0,0,0),B(l,0,0),

所以府二(1,0,⑷，前二(0,1").

設平面的法向量為n=(x,y,z),

則，i?~AM=%+QZ=0,

(n,AN=y+bz=0,

令z=l,則n=(-a,-6,1),

平面4%的法向量為m=（0,0,1）,

因為平面刃邠與平面力應■所成的夾角為3

6

所以cosg=/cos血n)/」m；7=/：="化簡可得3才+3。泊,

6|m||n|y/a2+b2+l2

當/仇"/最小時,則b$,BM=a^

所以X.w\Z.AMB=—=-i-=V3,

BMv3

則

17.解(1)為線段/〃的中點,

：.AM=-AD.

2

"：CD=2BD,：.BD=^BC,

-->-，,1i———，1-――，1/■—■■■?1———?\”.―一1IAB+^(BA+

：.PM=PA+4M=P4+^AD=P4++BD)=PA+=Pi4+|

］赤+?荏后而+［而)=一而+：荏+,前.

AC)

⑵而?前=(次+工荏+忘)?AC=--AP?AC+-AB?AC+-AC2=-/AP//AC/?cosZ

3636

PA0\ABI[AC/cos4BAC2\ACX3X-+iX3X3"+三X32-6足+--3.

36232622

18.解⑴因為a=(3,5,-4),b=(2,1,8),

所以a?b=3X2當X1MX8=-21.

⑵取z軸上的單位向量n=(0,0,1),又a+b=(5,6,4),由題意,得卜加+西飛=°,

l(Aa+?(a+b)=53,

匕匕［、」(34+2〃,52+/z,-4A+84)?(0,0,1)=0,

所以《

1(32+2出54+^-42+8〃)?(5,6,4)=53,

即*瑞大3解得八咦

19.解在四棱錐PT靦中，底面四切為矩形，

側棱川，底面ABCD"B5,BC=1,PAAE為"的中點.

以4為坐標原點所在直線為x軸，川9所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,

如圖,

則力(0,0,0),如后,1,0),尸(0,0,2),6(遮,0,0),

⑴，前二(b,1,0),而=(我,0,-2),

cos加,而>=空/里=.

\AC\\PB\V4x5/714

(2)設在側面PAB內找一點N〈a,0,c),使A宏L平面PAC,〃(0,1,0),40彳,1),泥=

(口,2),存=(0,0,2),AC=(V3,1,0),

’而?而=2(l-c)=0,

解得a*,c=l,

NE-AC=-V3a+-=0,6

2

到4?的距離為1,N到/一的距離為，.

6

20.解⑴設側棱44=%

?.?在平行六面體ABCD-A\KCD\中，底面被力是邊長為1的正方形,且四W0°,

：.[AB/=郁f=\…麗『=丸AB-AD=0,ABAAi=^,AD-AA1=

又宿=AB+AD+AA^,

.'.ACi=(AB+AD+AA^^,ABADAAt/^2AB-AD^2AB-AA^2AD-AA^G,

：.x+2x-24-0,'：x>0,：.x^i,

即側棱44N.

⑵?.,碣=AB+AD+AA1,MN=^DB=1(XB-AD),

：.ACi-l^N=^(AB-AD)?(AB+AD+AA^)(AB2-AD2+AB-AA^-AD-AA1)=i(1-1+2-

2)=0,

兩異面直線/G和腑的