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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系中,四面體各頂點坐標分別為:.假設螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.2.已知復數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.3.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.4.設(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.5.若集合,則=()A. B. C. D.6.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.數(shù)列滿足:,則數(shù)列前項的和為A. B. C. D.8.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值9.甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個,每個景點去一人.已知:①甲不在遠古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠古村寨;③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點的同學是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.11.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.12.設函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB14.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個元素,則實數(shù)a的值為_______.15.在平面直角坐標系中,圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點,與圓相切于點.若,則直線的斜率為_____________.16.已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為,側(cè)面積為,則該棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).18.(12分)已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)網(wǎng)絡看病就是國內(nèi)或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機器故障進行查找詢問、診斷治療、檢查修復的一種新興的看病方式.因此,實地看病與網(wǎng)絡看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機構調(diào)研了患者對網(wǎng)絡看病,實地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對網(wǎng)絡看病,實地看病兩種方式進行滿意度測評,根據(jù)患者的評分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對于網(wǎng)絡看病、實地看病那種方式的滿意度更高?并說明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計網(wǎng)絡看病實地看病總計并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關?(3)從網(wǎng)絡看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,其前項和為,,若,,成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設,設數(shù)列的前項和,證明:.22.(10分)平面直角坐標系中,曲線:.直線經(jīng)過點,且傾斜角為,以為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系.(1)寫出曲線的極坐標方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,求實數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.2、A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生運算能力,是一道容易題.3、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎題.4、A【解析】
先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用,以及復數(shù)的模計算公式的應用,屬于容易題.5、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎題.6、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函數(shù)的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關于的不等式,即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當時,由,得,解得,此時;②當時,由,得.所以,不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當時,,則,此時;當時,,此時.綜上所述,函數(shù)的值域為,由于在定義域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù),同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應用,考查分類討論思想的應用,屬于中等題.7、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進而可知,利用裂項相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項的和為,故選A.點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點,常見的裂項技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.8、B【解析】
根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)演繹推理進行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨,必有丙同學去了遠古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點的同學是?。蔬x:D.【點睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎.10、D【解析】
利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.11、D【解析】
取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當時,最?。藭r由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.12、A【解析】
由求出范圍,結合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關系,即可求解.【詳解】當時,,∵在上有且僅有5個零點,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-7【解析】
由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點睛】突破本題的關鍵是抓住題中所給圖形的特點,利用平面向量基本定理和向量的加減運算,將所給向量統(tǒng)一用AC,14、2【解析】
利用AB中有且只有一個元素,可得,可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,集合交集的運算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15、【解析】
設:,:,利用點到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據(jù)垂徑定理的應用,可列式得到,解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用,并結合圓的方程,垂徑定理的基本知識,屬于中檔題.16、【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可?!驹斀狻浚?)當時,由復合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當時,有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗符合;②當在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點睛】本題主要考查學生的應用意識,利用所學知識分析解決新定義問題。18、(1);(2).【解析】
(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點坐標即可得在點處的切線方程;(2)令,然后利用導數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】(1),,∴,又,∴切線方程為,即.(2)令,,①若,則在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立.②若,令,∴,易知與在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,,當即時,在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,當即時,使,∴在遞增,此時,∴,∴在遞增,∴,不合題意.綜上,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義及構造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題,第二問的難點是構造函數(shù)后二次求導問題,對分類討論思想及化歸與等價轉(zhuǎn)化思想要求較高,難度較大,屬拔高題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,結合三角形中位線和長度關系,為平行四邊形,進而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點,連結,因為為中點,,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因為,所以;(2)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,易知面的法向量為設面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關鍵,屬于中檔題.20、(1)實地看病的滿意度更高,理由見解析;(2)列聯(lián)表見解析,有;(3).【解析】
(1)對實地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨立性檢驗得有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關;(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對實地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡看病中,有的患者滿意度評分低于80分;在實地看病中,有的患者評分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡看病滿意度評分的中位數(shù)為73分,實地看病評分的中位數(shù)為87分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡看病的滿意度評分平均分低于80分;實地看病的滿意度的評分平均分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡看病的滿意度評分在莖6上的最多,關于莖7大致呈對稱分布;實地看病的評分分布在莖8,上的最多,關于莖8大致呈對稱分布,又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同,故可以認為實地看病評分比網(wǎng)絡看病打分更高,因此實地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.(2)參加網(wǎng)絡看
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