2022年高中數(shù)學(xué)人教必修第一冊同步練習：2基本不等式

2.2基本不等式

課后篇鞏固提升

A級合格考達標練

1.已知正實數(shù)a、b滿足a+b="伍則ab的最小值為)

A.lB.V2C.2D.4

ggD

|解析當且僅當a-h-1時取等號，故ab的最小值為4.

2.已知O<xvl,則當x（l-x）取最大值時，尤的值為（）

1112

CD

A.3-2-4-3-

答案|B

|解析l-x>0.；.x（l-x）W（巨產(chǎn)）=；，當且僅當x=l-x,即x=T時，等號成立.

3.（多選題）下列不等式一定成立的是（）

-1

A.X2+->X（-^>0）

1

B.x+-^2（x>0）

C.f+122bl（x￡R）

D4>l（xGR）

答案|BC

解析A中，當時，所以A不一定成立；

B中，當x>0時/+92,當且僅當x=l時，等號成立，所以B一定成立；

C中,不等式*+l-2|x|=（|x|-l）2》0,即W+INZIN恒成立，所以C一定成立；

D中，因為所以0<告W1,所以D不成立.

4.（2020江蘇南菁高級中學(xué)高一月考）如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，會標是根

據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.教

材中利用該圖作為一個說法的一個幾何解釋，這個說法正確的是（）

A.如果a>b>0,那么a>b

B.如果a>6>0,那么a1>b1

C.對任意正實數(shù)a和b,有當且僅當a=b時，等號成立

D.對任意正實數(shù)a和6,有而，當且僅當a=b時，等號成立

H]c

朝依題意，圖中的四個直角三角形是全等的直角三角形,設(shè)直角三角形的長直角邊為a,短直角邊為

b,則大正方形的邊長為必不廬，如題圖，整個正方形的面積大于或等于這四個直角三角形的面積和，

即〃2+/24乂3必=2",當a=h時，中間空白的正方形消失，即整個正方形與四個直角三角形重合.故選

C.

5.（多選題）設(shè)x>O,）>O/y=x+y+〃淇中。為參數(shù).下列選項正確的是（）

A.當。=0時j+y的最大值為4

B.當?=0時\x+y的最小值為4

C.當。=3時對的最小值為9

D.當a=3時的最大值為3

答案|BC

|解析|當4=0時R>0,y>0Ky=x+y,???工4--=1.

xy

x+y=（x+y）（：++2+（+調(diào)2+2聆|=4,當且僅當（=卞且=+：=1,即x=總時，等號成立j+y

取得最小值4,A錯誤,B正確；

當a=3時/y=x+y+322C^+3,當且僅當尸y時，等號成立，解得，即孫29,故孫的最小值

為9,C正確,D錯誤.故選BC.

6.已知,0,則號i的最小值為.

gg-1

畫耳里力+；322舊-3=-1,當且僅當f=l時，等號成立.

7.己知正實數(shù)x,y滿足x+2y=4,則孫的最大值為,j2x（y+1）的最大值為.

答案|23

|解析|正實數(shù)x,y滿足x+2y=4,則肛=$一2y號x卓咨）=2,當且僅當x=2y即x=2,y=\時，等號成立，故

?的最大值為2.

J2x(y+1)=x如++])W2xJx+；+l=3,當且僅當%=y+1，且x+2y=4,

即x=3j=g時，等號成立.

8.設(shè)〃>0力>0,且不等式工+：+嚏20恒成立，求實數(shù)k的最小值.

abQ+匕

廨因為“>0力>0,所以原不等式可化為后-（工+P（a+b）,所以右-（2+P-2.因為2+122,當且僅當

1——1ababab

a-b-\時，等號成立.所以-（2+J-2的最大值為-4.所以欄?4,即左的最小值為-4.

ab

9.已知a,h,c為正數(shù)，求證:管+竽+歲》3.

畫左邊W+M嗚+今吒+51

=（知）+（知）+（對”

,:a,b,c為正數(shù)，

.?弓+夢2（當且僅當“=%時,等號成立）；

?+222（當且僅當a=c時,等號成立）；

2+g22（當且僅當b=c時,等號成立）.

從而（，+號）+（：+9+C+'）26（當且僅當a=b=c時，等號成立）.

即處之+c+a-b+詠》3.

ab

B級一等級考提升練

10.（多選題）若正實數(shù)。力滿足4+8=1,則下列說法錯誤的是（）

\.ah有最小值*B.VH+仍有最小值企

C；+U有最小值1D./+/有最小值4

4a4b2

國剽ABD

|解析卜a>0,6>0,且67+/?=1,/.\=a+b^2y[ab,

.?.abWa當且僅當4=6=5時，等號成立.

，M有最大值"，，選項A錯誤;（6+A/F）2=〃+/?+2A/HK=1+26FW1+24=2,，JH+A/F＜V2,

當且僅當〃斗二；時，等號成立.所以6+VF有最大值企,；.B項錯誤+*==熹21，當且僅當

時，等號成立.工；+上有最小值1,CJL,a2+tr=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2x^=當且僅當

z4a404Z

°=6=2時,等號成立.，a2+Z?2的最小值是不是D錯誤.

11.（2021安徽宣城高一期末）已知。＞0力＞0,若不等式工+：2鼻恒成立，則實數(shù)m的最大值為（）

“UC4IU

A.10B.9C.8D.7

ggc

|解析［因為。＞0力＞0,則mWg+§（2。+。），

所以弓+3（2a+b）=4+g+奈＞4+2J”=8,當且僅當：=與，即6=2“時，等號成立，要使不等式

恒成立，所以“W8.

即實數(shù)，”的最大值為8.故選C.

12.（多選題）對于。＞0力＞0,下列不等式中正確的是)

場1122

<-+-a+b

A.2QbB.obW

2

|答案|BCD

當。＞0力＞0時，因<Vab,

O1-1

所以島工：+本當且僅當Ci=b時，等號成立，故A不正確;顯然BCD均正確.

13.已知當時，代數(shù)式上4+端心:>-1)取得最小值"則a+b=()

A.-3B.2C.3D.8

ggc

|解析|y=x-4T—^r=x+1H一［-5,由x>-1,得x+1>0，TY>0,所以由基本不等式得y=x+1H?—與-

IJLA.IXA-IX人IX

5^2I(x+1>標75=1,當且僅當x+l=4p即x=2時，等號成立.所以a=2,b=\,a+h=3.

14.(多選題)(2021江蘇南通中學(xué)高二期中)若實數(shù)。>0力>0,。6=1,則下列選項的不等式中，正確的是

()

A.a+b22+

C.a2+b2^2D2+M2

ab

皆氟ABC

|解析因為實數(shù)”>0力>0,必=1,所以a+h^2yfab=2成立，當且僅當a=h時等號成立，故A正確；

Va+\[b2\lVa-VF=2成立,當且僅當a-b時等號成立，故B正確；

cr^tr^2ab=2成立,當且僅當a-b時等號成立，故C正確；

g=2成立，當且僅當a=6時等號成立，故D不正確.故選ABC.

15.已知Qb>c,則J(a-b)(b-c)與號的大小關(guān)系是.

解J(a-b)(b-c)S號

麗。.*a>h>c,a-h>0,h-c>0,

.?.號=曳號』而砸4

當且僅當6=羅時，等號成立.

16.直角三角形的周長等于2,則這個直角三角形面積的最大值為.

答案|3-2四

畫設(shè)直角三角形的兩直角邊長為“力,則斜邊長為必不至,面積為S,周長乙=2,由于

a+b+y/a2+b2-L>2\[ab+V2ab，當且僅當a-b時，等號成立，

=3-2V2.

17.已知不等式(x+y)G+3)9對任意正實數(shù)x,y恒成立，求正實數(shù)a的最小值.

阿；(x+)，)G+?=1+*+y,

又x>0,y>0,tz>0,

.?？+令22第=2G，

%yy