新教材數(shù)學(xué)人教A選擇性必修第一冊(cè)課件2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)給定直線與圓的方程,判定直線與圓的位置關(guān)系.2.利用圓的幾何性質(zhì)探索解決直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)問(wèn)題的方法.3.能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=

,由

消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.1|直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)①2

1②0

幾何法③

d<r

④

d=r

d>r代數(shù)法Δ>0⑤

Δ=0

⑥

Δ<0

1.若點(diǎn)在圓外,則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線;2.若點(diǎn)在圓上,則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線,且此點(diǎn)是切點(diǎn);3.若點(diǎn)在圓內(nèi),則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線.2|圓的切線1.若直線與圓有公共點(diǎn),則直線與圓相交.

(

?)提示:直線與圓有公共點(diǎn),它們可能相交,也可能相切,故結(jié)論不正確.2.若直線與圓相交,則相交弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓的圓心.(√)提示:由直線與圓的相交弦的性質(zhì)知結(jié)論正確.3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓的方程聯(lián)立得到的方程組無(wú)解.

(√)提示:圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓相離,方程組一定無(wú)解,故結(jié)論正確.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.4.過(guò)點(diǎn)P和圓相切的直線有兩條.

(

?

)提示:當(dāng)點(diǎn)P在圓的外部時(shí),有兩條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí),有一條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)

時(shí),沒(méi)有切線.因此結(jié)論錯(cuò)誤.5.設(shè)直線l:y=kx+m與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的交點(diǎn)分別為A、B,d為圓心C(a,b)到直線l的距離,則弦長(zhǎng)|AB|=2

.

(√)提示:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D,則|CD|=d,在直角三角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,從而|

AB|=2|AD|=2

.因此結(jié)論正確.1|直線與圓的位置關(guān)系的判定

1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.主要區(qū)別是直線與圓的公共點(diǎn)

的個(gè)數(shù).2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的組數(shù)來(lái)判斷.(3)直線系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn),則通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓

的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系.已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當(dāng)k分別為何值時(shí),直線與圓的位置關(guān)系滿足下

列條件:①相交;②相切;③相離.解析

解法一(代數(shù)法):聯(lián)立

消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).①當(dāng)直線與圓相交時(shí),Δ>0,即-

<k<

;②當(dāng)直線與圓相切時(shí),Δ=0,即k=±

;③當(dāng)直線與圓相離時(shí),Δ<0,即k<-

或k>

.解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d=

=

.由題意知,圓的半徑r=1.①當(dāng)直線與圓相交時(shí),d<r,即

<1,解得-

<k<

;②當(dāng)直線與圓相切時(shí),d=r,即

=1,解得k=±

;③當(dāng)直線與圓相離時(shí),d>r,即

>1,解得k<-

或k>

.

過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點(diǎn)P在圓上,求點(diǎn)P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率

為-

;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.(2)若點(diǎn)P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半

徑r,解出k即可(若僅求出一個(gè)k值,則有一條斜率不存在的切線).

切線長(zhǎng)的求法過(guò)圓外一點(diǎn)P,可作圓的兩條切線,我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)稱為切線長(zhǎng).

切線長(zhǎng)可由勾股定理來(lái)計(jì)算.如圖,從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的切線,則切線長(zhǎng)為

.2|與圓的切線相關(guān)問(wèn)題的求法

過(guò)圓上一點(diǎn)的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)

(y0-b)=r2;(3)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y

0y+D·

+E·

+F=0.(1)由直線y=x+1上任一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線,則該切線長(zhǎng)的最小值為

(

C)A.1

B.2

C.

D.3(2)過(guò)點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長(zhǎng)為

.4解析

(1)由題意得,圓心(3,0)到直線y=x+1的距離d=

=2

,圓的半徑為1,故切線長(zhǎng)的最小值為

=

=

.(2)由題意得圓心C的坐標(biāo)為(3,1).設(shè)切點(diǎn)為B,則△ABC為直角三角形,又|AC|=

=

,|BC|=1,所以|AB|=

=

=4,所以切線長(zhǎng)為4.

直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)求法如圖所示:

3|直線與圓相交的弦長(zhǎng)及圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題幾何法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長(zhǎng)l之間的

關(guān)系r2=d2+

解題交點(diǎn)法若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出,則直接用兩點(diǎn)間

的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)公式法設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),

將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)

的關(guān)系得弦長(zhǎng)l=

|x1-x2|=

圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題(1)如講解1中的圖,線段AB是圓C的弦,D是弦AB的中點(diǎn),則在解題中可應(yīng)用以下性

質(zhì):①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,則kAB·kCD=-1;②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x0=

,y0=

.(2)解決與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題,有下列三種常見(jiàn)方法:①利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo);②設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程利用作差法求出斜率,此法即為點(diǎn)差

法;③利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問(wèn)題.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,5),且和圓C:x2+y2=25相交于A,B兩點(diǎn),截得的弦長(zhǎng)為4

,求直線l的方程.思路點(diǎn)撥通過(guò)討論直線斜率不存在的情況,可知不符合題意,則可直接設(shè)出直線的點(diǎn)斜式

方程.思路一:聯(lián)立直線與圓的方程,消去y,得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系

數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式,求出k,進(jìn)而求出l的方程;思路二:求出圓心到直線l的距離,利用半徑長(zhǎng)、半弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離之間

的關(guān)系求解.解析

若直線l的斜率不存在,則l:x=5,與圓C相切,不合題意,所以直線l的斜率存

在.設(shè)直線l的方程為y-5=k(x-5),且與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2).解法一:由

消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.又因?yàn)閤1+x2=-

,x1x2=

,所以|AB|=

=

=4

.兩邊平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=

或k=2,均符合題意.故直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.解法二:將直線方程y-5=k(x-5),整理成一般式為kx-y+5(1-k)=0.設(shè)圓心(0,0)到直線l的距離為d,則d=

,又d=

=

=

,所以

=

,解得k=

或k=2.所以直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.易錯(cuò)警示設(shè)直線斜率求直線方程時(shí),要注意斜率不存在的情況,若斜率不存在時(shí)的直線符

合題意,則要注意補(bǔ)充.

解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)閱讀理解,認(rèn)真審題,了解問(wèn)題的實(shí)際情境,把握問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),具體分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,正確建立數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題(數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果.(4)轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題,作出解答.

用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的思維過(guò)程

4|利用直線、圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題與平面幾何問(wèn)題一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào),臺(tái)風(fēng)中心位于輪

船正西70km處,受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域,已知港口位于臺(tái)風(fēng)中

心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?信息提取①臺(tái)風(fēng)影響的范圍是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心、30km為半徑的圓形區(qū)域;②輪船從臺(tái)

風(fēng)中心正東70km處,向位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處的港口航行.數(shù)學(xué)建模以航海中的實(shí)際問(wèn)題,航線及受臺(tái)風(fēng)影響的范圍為背景,建立直線與

圓位置關(guān)系的模型.建立平面直角坐標(biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探索圓與直線是否相交,

只需用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.解析

以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示),

其中取10km為單位長(zhǎng)度,則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為x2+y2=9,港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0),則輪船航線所在直線l的方程為

+

=1,即4x+7y-28=0,圓心(0,0)到l:4x+7y-28=0的距離d=

=

,因?yàn)?/p>

>3,所以直線與圓相離.故輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.解題模板解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟1.審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.2.建系:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.3.求解:利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知.4.還原:將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中去.

利用圓的方程解決最值問(wèn)題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析

幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題,常涉及的幾何量有:①關(guān)于x、y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率;②關(guān)于x、y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距;③關(guān)于x、y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換,若點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)

(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識(shí)求最值.5|如何解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題已知圓C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)為圓C上任一點(diǎn).(1)求

的最大值與最小值;(2)求x-2y的最大值與最小值.思路點(diǎn)撥(1)形如u=

形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(x,y)和(a,b)的動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題;(2)形如l=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線y=-

x+

的截距的最