2025屆高考數(shù)學(xué)試卷專項(xiàng)練習(xí)16概率統(tǒng)計(jì)含解析

概率統(tǒng)計(jì)解答題43．（2024·山東棗莊市·高三二模）天問一號(hào)火星探測器于2024年2月10日勝利被火星捕獲，實(shí)現(xiàn)了中國在深空探測領(lǐng)域的技術(shù)跨越.為提升探測器健康運(yùn)轉(zhuǎn)的管理水平，西安衛(wèi)星測控中心組織青年科技人員進(jìn)行探測器遙控技能學(xué)問競賽，已知某青年科技人員甲是否做對每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對，，三道題目的概率以及做對時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示.題目做對的概率0.80.60.4獲得的獎(jiǎng)金/元100020003000規(guī)則如下：依據(jù)，，的依次做題，只有做對當(dāng)前題目才有資格做下一題.（1）求甲獲得的獎(jiǎng)金的分布列及均值；（2）假如變更做題的依次，獲得獎(jiǎng)金的均值是否相同？假如不同，你認(rèn)為哪個(gè)依次獲得獎(jiǎng)金的均值最大？（不須要詳細(xì)計(jì)算過程，只需給出推斷）【答案】（1）分布列見解析，；（2）依據(jù)題目，，的依次做題，得到獎(jiǎng)金的期望值最大.【解析】（1）由題意，的可能取值為0，1000，3000，6000，計(jì)算每個(gè)取值的概率，寫出分布列，最終計(jì)算均值即可；（2）依據(jù)均值的性質(zhì)以及概率的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.【詳解】（1）解：分別用，，表示做對題目，，的事務(wù)，則，，相互獨(dú)立.由題意，的可能取值為0，1000，3000，6000.；；；.所以甲獲得的獎(jiǎng)金的分布列為：01000300060000.20.320.2880.192.（2）變更做題的依次，獲得獎(jiǎng)金的均值互不相同.決策的原則是選擇期望值大的做題依次，這稱為期望值原則.做對的概率大表示題目比較簡潔，做對的概率小表示題目比較難.猜想：依據(jù)由易到難的依次做題，即依據(jù)題目，，的依次做題，得到獎(jiǎng)金的期望值最大.44．（2024·遼寧高三二模（理））新冠疫情爆發(fā)以來，在黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)下，社區(qū)工作人員做了大量的工作，為總結(jié)工作中的閱歷和不足，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，滿分100分，隨機(jī)發(fā)給100名男性居民和100名女性居民，分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下：100位男性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)3127285合計(jì)100100位女性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)5156479合計(jì)100（Ⅰ）求這100位男性居民評分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民評分聽從正態(tài)分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若規(guī)定評分小于70分為不滿足，評分大于等于70分為滿足，能否有99%的把握認(rèn)為居民是否滿足與性別有關(guān)?附：，，，.參考公式，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.2046.6357.87910.828【答案】（Ⅰ）75，52；（Ⅱ）0.8186；（Ⅲ）沒有.【解析】（Ⅰ）依據(jù)頻率分布表數(shù)據(jù)，干脆計(jì)算求均值和方差即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即可求，又，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性及已知信息求值即可；（Ⅲ）依據(jù)頻率分布表得到列聯(lián)表，應(yīng)用卡方檢驗(yàn)公式求k值，比照參考值確定是否有99%的把握認(rèn)為居民是否滿足與性別有關(guān).【詳解】（Ⅰ）由頻率分布表可知：，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，則，.為0.8186（Ⅲ）由已知條件可得：列聯(lián)表如下：滿足不滿足合計(jì)男性8515100女性8020100合計(jì)16535200，，沒有99%的把握認(rèn)為是否滿足與性別有關(guān).45．（2024·山東煙臺(tái)市·高三一模）某品牌餐飲企業(yè)為滿足人們餐飲需求?豐富產(chǎn)品花色?提高企業(yè)競爭力，研發(fā)了一款新產(chǎn)品.該產(chǎn)品每份成本元，售價(jià)元，產(chǎn)品保質(zhì)期為兩天，若兩天內(nèi)未售出，則產(chǎn)品過期報(bào)廢.由于烹制工藝?yán)щy，該產(chǎn)品在最初推廣階段由企業(yè)每兩天統(tǒng)一生產(chǎn)?集中配送一次.該企業(yè)為決策每兩天的產(chǎn)量，選取旗下的直營連鎖店進(jìn)行試銷，統(tǒng)計(jì)并整理連續(xù)天的日銷量(單位：百份)，假定該款新產(chǎn)品每日銷量相互獨(dú)立，得到右側(cè)的柱狀圖：

（1）記兩天中銷售該新產(chǎn)品的總份數(shù)為(單位：百份)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）以該新產(chǎn)品兩天內(nèi)獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天生產(chǎn)配送百份?百份兩種方案中應(yīng)選擇哪種？【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）選擇每兩天生產(chǎn)配送百份.【解析】（1）依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）分別計(jì)算出配送百份、配送百份所獲利潤，由此作出決策.【詳解】（1）依據(jù)題意可得，的全部可能取值為.的分布列如下：（2）當(dāng)每兩天生產(chǎn)配送百份時(shí)，利潤為百元.當(dāng)每兩天生產(chǎn)配送百份時(shí)，利潤為.百元.由于所以選擇每兩天生產(chǎn)配送百份.46．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知某班有50位學(xué)生，現(xiàn)對該班關(guān)于“舉辦辯論賽”的看法進(jìn)行調(diào)查，，他們綜合評價(jià)成果的頻數(shù)分布以及對“舉辦辯論賽”的贊成人數(shù)如下表：綜合評價(jià)成果（單位：分）[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812431（1）請依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答：是否有95%的把握認(rèn)為“綜合評價(jià)成果以80分位分界點(diǎn)”對“舉辦辯論賽”的看法有差異？綜合評價(jià)成果小于80分的人數(shù)綜合評價(jià)成果不小于80分的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)（2）若采納分層抽樣在綜合評價(jià)成果在[60，70)，[70，80)的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行追蹤調(diào)查，并選其中3人擔(dān)當(dāng)辯論賽主持人，求擔(dān)當(dāng)主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【答案】（1）表格見解析，不能；（2）.【解析】（1）由已知完成列聯(lián)表，結(jié)合公式計(jì)算依據(jù)參考數(shù)據(jù)即可推斷結(jié)果；（2）由分層抽樣得在里面抽6個(gè)，里面抽4個(gè)，再用對立事務(wù)求解概率即可.【詳解】（1）綜合評價(jià)成果小于80分的人數(shù)綜合評價(jià)成果不小于80分的人數(shù)合計(jì)贊成28432不贊成12618合計(jì)401050做個(gè)皮爾遜卡方檢驗(yàn)的話，有故此不能推翻零假設(shè)，不能認(rèn)定成果和看法有關(guān).（2）這樣分層抽樣，會(huì)在里面抽6個(gè)，里面抽4個(gè)，設(shè)為沒有人在[60，70)內(nèi)的事務(wù)，則概率即為47．（2024·河南高三月考（理））為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強(qiáng)環(huán)境的治理和生態(tài)的修復(fù)，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個(gè)縣的27個(gè)行政村中各隨機(jī)選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進(jìn)行了檢測，并依據(jù)國家土壤重金屬污染評價(jià)級標(biāo)準(zhǔn)（清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進(jìn)行分級，繪制了如圖所示的條形圖（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個(gè)，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個(gè)數(shù)；（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從（1）中抽取的6個(gè)行政村中任選3個(gè)，污染度的得分之和記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）從輕度污染的行政村中抽取個(gè)，從中度污染的行政村中抽取個(gè)，從重度污染的行政村中抽取個(gè)；（2）5．【解析】（1）依據(jù)題意，輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個(gè)，再依據(jù)分層抽樣分別算出所抽取的輕度污染、中度污染、重度污染行政村的個(gè)數(shù)即可；（2）X的全部可能取值為3，4，5，6，7，寫出每算出一個(gè)數(shù)據(jù)的概率，得出分布列，再依據(jù)期望公式即可得解.【詳解】（1）輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個(gè)，所以從輕度污染的行政村中抽取個(gè)，從中度污染的行政村中抽取個(gè)，從重度污染的行政村中抽取個(gè)．（2）X的全部可能取值為3，4，5，6，7．，，，，．所以X的分布列為X34567P所以．48．（2024·山東濱州市·高三一模）國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)重點(diǎn)城市在2024年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上．截至2024年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．某市在實(shí)施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)產(chǎn)生的垃圾數(shù)量超過28（噸/天）的確定為“超標(biāo)”社區(qū)：垃圾量頻數(shù)56912864（1）在頻數(shù)分布表中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，求這50個(gè)社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值（精確到0.1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量大致聽從正態(tài)分布，其中，分別近似為（1）中樣本的平均值，方差，經(jīng)計(jì)算約為5.2．請利用正態(tài)分布學(xué)問估計(jì)這320個(gè)社區(qū)一天中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）通過探討樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)覺，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府確定對這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)支配在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中隨機(jī)抽取5個(gè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)為抽到的這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，,．【答案】（1）這50個(gè)社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸；（2）估計(jì)這320分社區(qū)一天中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為51；（3）分布列見解析，.【解析】(1)由頻數(shù)分布表依據(jù)要求計(jì)算；（2）由，利用正態(tài)分布頻率公式可計(jì)算出概率，從而得“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）求得的可能取值為1，2，3，4，然后計(jì)算概率得概率分布列，再由期望公式可得期望．【詳解】（1）由頻數(shù)分布表得，所以這50個(gè)社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸．（2）由（1）知．因?yàn)榧s為5.2，所以取．所以．又，所以估計(jì)這320分社區(qū)一天中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為51．（3）由頻數(shù)分布表知：8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個(gè)，所以的可能取值為1，2，3，4，，，，，所以的分布列為1234所以．49．（2024·山東德州市·高三一模）2024年春晚首次采納“云”傳播，“云”互動(dòng)形式，實(shí)現(xiàn)隔空連線心愿相通，全球華人心連心“云團(tuán)聚”，共享新春氛圍，“云課堂”亦是一種真正完全突破時(shí)空限制的全方位互動(dòng)性學(xué)習(xí)模式．某市隨機(jī)抽取200人對“云課堂”倡議的了解狀況進(jìn)行了問卷調(diào)查，記表示了解，表示不了解，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：（表一）了解狀況人數(shù)14060（表二）男女合計(jì)8040合計(jì)（1）請依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并推斷是否有99％的把握認(rèn)為對“云課堂”倡議的了解狀況與性別有關(guān)系;（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，在男性市民和女性市民中各隨機(jī)抽取4人，記“4名男性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為，“4名女性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為．試求出與，并比較與的大?。剑号R界值參考表的參考公式，其中）【答案】（1）表格見解析，有；（2），，.【解析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)干脆填寫，然后依據(jù)公式計(jì)算即可.（2）先計(jì)算男性了解“云課堂”倡議的概率，女性了解“云課堂”倡議的概率，然后可得，進(jìn)行比較即可.【詳解】（1）男女合計(jì)8060140204060合計(jì)100100200．比照臨界值表知，有99％的把握認(rèn)為對“云課堂”倡議了解狀況與性別有關(guān)系．（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，依據(jù)列聯(lián)表得出，男性了解“云課堂”倡議的概率為，女性了解“云課堂”倡議的概率為：，故，，明顯．50．（2024·江蘇高三專題練習(xí)）為加強(qiáng)進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称繁O(jiān)管，某省于2024年底在全省建立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉制度，在口岸、目的地市或縣（區(qū)、市）等進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称返谝蝗刖滁c(diǎn)，設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預(yù)防性全面消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷凍食品是否感染病毒，在入關(guān)檢疫時(shí)須要對其采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒，對于，（）份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次：二是混合檢驗(yàn)，將份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這份全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；假如檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份原委哪些為陽性，就須要對它們再次取樣逐份檢驗(yàn)，則份檢驗(yàn)的次數(shù)共為次，若每份樣本沒有該病毒的概率為（），而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的.（1）若，求2份樣本混合的結(jié)果為陽性的概率；（2）若取得4份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：方案一：采納混合檢驗(yàn)；方案二：平均分成兩組，每組2份樣本采納混合檢驗(yàn).若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”，試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”？請說明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，方案一更“優(yōu)”；當(dāng)時(shí)，方案一、二一樣；理由見解析.【解析】（1）依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的概率求出該混合樣本陰性的概率，依據(jù)對立事務(wù)原理，能求出陽性的概率．（2）分別求出方案一、二的分布列及數(shù)學(xué)期望，即可推斷；【詳解】解：（1）該混合樣本陰性的概率是，依據(jù)對立事務(wù)可得，陽性的概率為.（2）方案一：混在一起檢驗(yàn)，方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為1，5；.其分布列為：則，15方案二：由題意分析可知.每組2份樣本混合檢驗(yàn)時(shí).若陰性則檢測次數(shù)為1，概率為，若陽性，則檢測次數(shù)為3.概率為，方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為2，4，6，；；；其分布列為：246則，，當(dāng)時(shí)，可得，所以方案一更“優(yōu)”當(dāng)時(shí)，可得，所以方案一、二一樣；51．（2024·山東高三專題練習(xí)）某商場每年都會(huì)定期答謝會(huì)員，允許年度積分超過指定積分的會(huì)員參與特價(jià)購物贈(zèng)券活動(dòng)．今年活動(dòng)的主題為“購物三選一，真情暖心里”，符合條件的會(huì)員可以特價(jià)購買禮包（十斤肉類）禮包（十斤蔬菜）和禮包（十斤雞蛋）三類特價(jià)商品中的隨意一類，并且依據(jù)購買的禮包不同可以獲贈(zèng)價(jià)值不等的代金券依據(jù)以往閱歷得知，會(huì)員購買禮包和禮包的概率均為．（1）預(yù)料今年有400名符合條件的會(huì)員參與活動(dòng)，求商場為此活動(dòng)須要打算多少斤雞蛋合理；（2）在促銷活動(dòng)中，若有甲、乙、丙三位會(huì)員同時(shí)參與答謝活動(dòng)，各人購買禮包相互獨(dú)立，已知購買禮包或禮包均可以獲得50元商場代金券，購買禮包可以獲得25元商場代金券，設(shè)是三人獲得代金券金額之和．求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（斤）；（2）分布列見解析；期望為．【解析】（1）計(jì)算出買禮包的概率，然后簡潔計(jì)算即可.（2）寫出的全部可能取值并計(jì)算出相對應(yīng)的概率，然后列出分布列，最終依據(jù)期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）會(huì)員購買禮包的概率為，∴打算雞蛋：（斤）（2）的全部可能取值為：150，125，100，75，，∴的分布列如．52．（2024·全國高三專題練習(xí)）某校針對高一學(xué)生支配社團(tuán)活動(dòng)，周一至周五每天支配一項(xiàng)活動(dòng)，活動(dòng)支配表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五活動(dòng)項(xiàng)目籃球國畫排球聲樂書法要求每位學(xué)生選擇其中的三項(xiàng)，學(xué)生甲確定選擇籃球，不選擇書法；乙和丙無特別狀況，任選三項(xiàng).（1）求甲選排球且乙未選排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人選擇排球的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）設(shè)事務(wù)，分別求出甲、乙同學(xué)選排球的概率，由相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，即可得出結(jié)果.（2）求出丙同學(xué)選排球的概率，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出概率，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)A表示事務(wù)“甲同學(xué)選排球”B表示事務(wù)“乙同學(xué)選排球”則因?yàn)槭聞?wù)A，B相互獨(dú)立，所以甲同學(xué)選排球且乙同學(xué)未選排球的概率為：（2）設(shè)C表示事務(wù)“丙同學(xué)選排球”，則X的可能取值為0，1，2，3則；X的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望為53．（2024·全國高三專題練習(xí)）為快速限制新冠病毒的傳播，全球多家公司進(jìn)行新冠疫苗的研發(fā).某生物技術(shù)公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測其質(zhì)量指標(biāo)，從中抽取了100支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求所抽取的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）將頻率視為概率，若某家庭購買4支該疫苗，記這4支疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的支數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)；（2）首先求出每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的概率，可得，即可求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：（1）依據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率：；的頻率為：，∴.（2）依據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的概率為，所以，的可能取值為：0，1，2，3，4，，，，，，∴的分布列為：01234∴.54．（2024·河北唐山市·高三二模）改革開放是我國發(fā)展的最大“紅利”，自1978年以來，隨著我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善，我國人口平均預(yù)期壽命接著延長，國民整體健康水平有較大幅度的提高．下表數(shù)據(jù)反應(yīng)了我國改革開放三十余年的人口平均預(yù)期壽命變更．人口平均預(yù)期壽命變更表單位：歲年份年份代碼人口平均預(yù)期壽命1981199020002010（1）散點(diǎn)圖如上圖所示，可用線性回來模型擬合與的關(guān)系，已知回來方程中的斜率，且，求；（2）關(guān)于2024年我國人口平均預(yù)期壽命的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)迄今暫未公布，依據(jù)線性回來方程，對進(jìn)行預(yù)料并給出預(yù)料值（結(jié)果保留兩位小數(shù)），結(jié)合散點(diǎn)圖的發(fā)展趨勢，估計(jì)與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；；答案見解析．【解析】（1）先求出，再把樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回來方程即得解；（2）2024年對應(yīng)的年份代碼，求出即得解.【詳解】解：（1），．（2）2024年對應(yīng)的年份代碼，．從散點(diǎn)圖的發(fā)展趨勢可以得出：隨著年份代碼增加，人口平均預(yù)期壽命提高的越快．因此，估計(jì)．55．（2024·山東高三專題練習(xí)）某公司對項(xiàng)目進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：項(xiàng)目投資金額（單位：百萬元）所獲利潤（單位：百萬元）（1）請用線性回來模型擬合與的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）該公司支配用百萬元對、兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資．若公司對項(xiàng)目投資百萬元所獲得的利潤近似滿足：，求、兩個(gè)項(xiàng)目投資金額分別為多少時(shí)，獲得的總利潤最大？附：①對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回來直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，．②線性相關(guān)系數(shù)．一般地，相關(guān)系數(shù)的肯定值在以上（含）認(rèn)為線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱．參考數(shù)據(jù)：對項(xiàng)目投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表中，，．【答案】（1）；答案見解析；（2）對、項(xiàng)目分別投資百萬元，百萬元時(shí)，獲得總利潤最大．【解析】（1）計(jì)算出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回來直線方程，并計(jì)算出相關(guān)系數(shù)的值，可得出結(jié)論；（2）求得，利用基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）對項(xiàng)目投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，有，，，所以，，所以回來直線方程為：.線性相關(guān)系數(shù)，這說明投資金額與所獲利潤之間的線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，用線性回來方程對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合合理；（2）設(shè)對項(xiàng)目投資百萬元，則對項(xiàng)目投資百萬元．所獲總利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以對、項(xiàng)目分別投資百萬元，百萬元時(shí)，獲得總利潤最大．56．（2024·江蘇常州市·高三一模）某地發(fā)覺6名疑似病人中有1人感染病毒，須要通過血清檢測確定該感染人員，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性表示沒感染.擬采納兩種方案檢測：方案甲：將這6名疑似病人血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止；方案乙：將這6名疑似病人隨機(jī)分成2組，每組3人.先將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果為陰性，則對另一組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止，（1）求這兩種方案檢測次數(shù)相同的概率；（2）假如每次檢測的費(fèi)用相同，請預(yù)料哪種方案檢測總費(fèi)用較少？并說明理由.【答案】（1）；（2）乙方案，理由見解析.【解析】設(shè)甲方案檢測的次數(shù)，記乙方案檢測的次數(shù)，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事務(wù)A，依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率的乘法公式，即可求解；（2）分別求得隨機(jī)變量和的期望，結(jié)合期望的大小，即可求解.【詳解】由題意可設(shè)甲方案檢測的次數(shù)是X，則，記乙方案檢測的次數(shù)是，則，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事務(wù)A，則，所以兩種方案檢測的次數(shù)相同的概率為.（2）由，所以，，則，因?yàn)?，所以采納乙方案.57．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）下圍棋既熬煉思維又愉悅身心，有益培育人的耐性和細(xì)心，舒緩大腦并讓其得到充分休息.現(xiàn)某學(xué)校象棋社團(tuán)為豐富學(xué)生的課余生活，實(shí)行象棋大賽，要求每班選派一名象棋愛好者參賽.現(xiàn)某班有位象棋愛好者，經(jīng)協(xié)商確定實(shí)行單循環(huán)方式進(jìn)行競賽，(規(guī)則采納“中國數(shù)目法”，沒有和棋.)即每人進(jìn)行輪競賽，最終靠積分選出第一名去參與校級競賽.積分規(guī)則如下(每輪競賽實(shí)行局勝制，競賽結(jié)束時(shí)，取勝者可能會(huì)出現(xiàn).三種賽式).或3:1勝者積分分分負(fù)者積分分分輪過后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計(jì)積分分，乙累計(jì)積分分.第輪甲和丙競賽，設(shè)每局競賽甲取勝的概率均為，丙獲勝的概率為，各局競賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）①在第輪競賽中，甲所得積分為，求的分布列;②求第輪結(jié)束后，甲的累計(jì)積分的期望;（2）已知第輪乙得分，推斷甲能否提前一輪獲得累計(jì)積分第一，結(jié)束競賽.(“提前一輪”即競賽進(jìn)行輪就結(jié)束，最終一輪即第輪無論乙得分結(jié)果如何，甲累計(jì)積分最多)?若能，求出相應(yīng)的概率;若不能，請說明理由.【答案】（1）①分布列見解析，②；（2）.【解析】（1）①求得隨機(jī)變量的可能取值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式，求得相應(yīng)的概率，即可得出分布列，②求得隨機(jī)變量的可能取值，利用公式，即可求得積分的期望；由，得到甲輪后的總積分和第輪和第輪都得分，進(jìn)而求得提前一輪結(jié)束競賽的概率.【詳解】（1）①由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，則，，，，所以的分布列為②隨機(jī)變量的可能取值為，則若，則甲輪后的總積分為分，乙即便第輪和第輪都得分，則輪過后的總積分是分，，所以甲假如第輪積分，則可提前一輪結(jié)束競賽，其概率為.58．（2024·全國高三專題練習(xí)）某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊全部的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送元旦禮品．而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè)．（1）記事務(wù)：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事務(wù)：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，且購買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒．通過統(tǒng)計(jì)發(fā)覺：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為．①；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過許多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)打算甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè)．【答案】（1），；（2）①；②應(yīng)打算甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè)．【解析】（1）依據(jù)題意，集齊，，玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類狀況：，，玩偶中，每個(gè)均有出現(xiàn)兩次、，，玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次，一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次、，，玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次探討計(jì)算，并依據(jù)古典概率計(jì)算即可；對于，先考慮一次性購買個(gè)乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率再求解.（2）①依據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，再依據(jù)數(shù)列學(xué)問計(jì)算即可；②由①得購買甲系列的概率近似于，故用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，再依據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題意基本領(lǐng)件共有：種狀況，其中集齊，，玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類狀況，，，玩偶中，每個(gè)均有出現(xiàn)兩次，共種；，，玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次，一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次，共種；，，玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次，共種；故.依據(jù)題意，先考慮一次性購買個(gè)乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率，即，所以.（2）①由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，∴，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的100人都已購買過許多次，所以，對于每一個(gè)人來說，某天來購買盲盒時(shí)，可以看作n趨向無窮大，所以購買甲系列的概率近似于，假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，所以，即購買甲系列的人數(shù)的期望為40，所以禮品店應(yīng)打算甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè)．59．（2024·全國高三專題練習(xí)）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參與學(xué)問競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在學(xué)問競賽中的狀況，實(shí)行分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，依據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)采納分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列列聯(lián)表，并推斷是否有％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)（參考公式：，期中）【答案】（1），中位數(shù)650，眾數(shù)600；（2）分布列見解析；期望為；（3）填表見解析；有．【解析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得,每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以頻率相加得均值；（2）由頻率分布直方圖知從，中抽取7人，從，中抽取3人，隨機(jī)變量的全部可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；（3）樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費(fèi)群”的25人，其中女生10人，由頻率分布直方圖求出高消費(fèi)群人數(shù)，可得高消費(fèi)群中男生人數(shù)，從而可填寫列聯(lián)表，并計(jì)算出后可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，隨機(jī)變量的全部可能取值有0，1，2，3．，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（3）由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓10人；得出以下列聯(lián)表；屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生152540女生105060合計(jì)2575100，所以有％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)．60．（2024·山東高三專題練習(xí)）為確保我國如期全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，某玩具廠對原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，為了更好地對比升級前和升級后的效果，其中甲生產(chǎn)線接著運(yùn)用舊的生產(chǎn)模式，乙生產(chǎn)線采納新的生產(chǎn)模式．質(zhì)檢部門隨機(jī)抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，依據(jù)檢測結(jié)果將它們分為“A”、“B”、“C”三個(gè)等級，等級都是合格品，C等級是次品，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：等級ABC頻數(shù)1007525（表二）合格品次品合計(jì)甲80乙5合計(jì)在相關(guān)政策扶持下，確保每件合格品都有對口銷售渠道，但從平安起見，全部的次品必需由廠家自行銷毀．（1）請依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并推斷是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)？（2）每件玩具的生產(chǎn)成本為20元，等級產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為m元、40元．若甲生產(chǎn)線抽檢的玩具中有35件為A等級，用樣本的頻率估計(jì)概率，若進(jìn)行技術(shù)升級后，平均生產(chǎn)一件玩具比技術(shù)升級前多盈利12元，則A等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為多少元？附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)；（2）60元.【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，依據(jù)卡方檢驗(yàn)公式計(jì)算卡方值，結(jié)合比照表即可推斷產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級的相關(guān)程度；（2）法一：由甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)確定它們?nèi)〉貌煌麧櫟姆植剂?，依?jù)分布列求各自利潤的期望值，由求參數(shù)m即可；法二：依據(jù)甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)，結(jié)合均值的求法求它們的平均值，結(jié)合求參數(shù)m即可；【詳解】解：（1）依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：合格品次品合計(jì)甲8020100乙955100合計(jì)17525200設(shè)產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級無關(guān)．由，可得．，故有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)．（2）法一：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級，45件等級，20件等級，對于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級，30件等級，5件等級；對于乙生產(chǎn)線，單位產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，依題意．，，所以，等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元．法二：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級，45件等級，20件等級，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級，30件等級，5件等級；因?yàn)橛脴颖镜念l率估計(jì)概率所以對于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤對于乙生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤依題意．，，所以，等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元．61．（2024·廣東廣州市·高三一模）某中學(xué)實(shí)行籃球趣味投籃競賽，競賽規(guī)則如下：每位選手各投5個(gè)球，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，投不進(jìn)球得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，投不進(jìn)球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在區(qū)和區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為和，且各次投籃的結(jié)果互不影響.（1）若甲投籃得分的期望值不低于7分，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是多少個(gè)？（2）若甲在區(qū)投3個(gè)球且在區(qū)投2個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率.【答案】（1）3；（2）【解析】（1）先求出甲在區(qū)和在B區(qū)投一次得分的期望，設(shè)在區(qū)投次，計(jì)算出總的期望，列出不等式可求；（2）可得甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的狀況有5種狀況，分別求出概率，相加即可得出.【詳解】（1）甲在區(qū)進(jìn)球的概率為，投進(jìn)一球得2分，則在區(qū)投一次得分的期望為，同理在B區(qū)投一次得分的期望為，設(shè)在區(qū)投次，在B區(qū)投次，則總的期望值，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是3個(gè)；（2）由題可得甲在區(qū)投3個(gè)球，得分可能是0，2，4，6，在區(qū)投2個(gè)球，得分可能是0，3，6，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的狀況有：A區(qū)2分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)3分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)3分，概率為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率為.62．（2024·全國高三專題練習(xí)）垃圾分類收集處理是一項(xiàng)利國利民的社會(huì)工程和環(huán)保工程．搞好垃圾分類收集處理，可為政府節(jié)約開支，為國家節(jié)約能源，削減環(huán)境污染，是建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)的一個(gè)重要內(nèi)容．為推動(dòng)垃圾分類收集處理工作，A市通過多種渠道對市民進(jìn)行垃圾分類收集處理方法的宣揚(yáng)教化，為了解市民能否正確進(jìn)行垃圾分類處理，調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）：能正確進(jìn)行垃圾分類不能正確進(jìn)行垃圾分類總計(jì)55歲及以下903012055歲以上503080總計(jì)14060200（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，推斷是否有90%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從A市55歲及以下的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“不能正確進(jìn)行垃圾分類”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量的分布列和均值．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）有90%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)；（2）答案見解析.【解析】（1）依據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，再依據(jù)臨界值參考數(shù)據(jù)比較大小，即得結(jié)論；（2）由條件可知，依據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由列聯(lián)表可知，因?yàn)?，所以?0%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)．（2）由題意可知，從該市55歲及以下的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，不能正確進(jìn)行垃圾分類的頻率為，所以，的全部可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以．63．（2024·湖北荊門市·高三月考）為落實(shí)中心“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素養(yǎng)教化，強(qiáng)化體育熬煉”的指示精神，小明和小亮兩名同學(xué)每天利用課余時(shí)間進(jìn)行羽毛球競賽.規(guī)定每一局競賽中獲勝方記2分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，競賽結(jié)束.假設(shè)每局競賽小明獲勝的概率都是.（1）求競賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率；（2）若現(xiàn)在是小明6：2的比分領(lǐng)先，記表示結(jié)束競賽還需打的局?jǐn)?shù)，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用事務(wù)的獨(dú)立性，分兩種狀況，恰好打了7局小明獲勝和恰好打了7局小亮獲勝，再概率相加即可.（2）的可能取值為2，3，4，5，利用二項(xiàng)分布，分別求出其相應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）恰好打了7局小明獲勝的概率是，恰好打了7局小亮獲勝的概率為，∴競賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率為.（2）的可能取值為2，3，4，5，，，，或.∴的分布列如下：2345.64．（2024·全國高三專題練習(xí)）某校將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投次，先在處投一次三分球，投進(jìn)得分，未投進(jìn)不得分，以后均在處投兩分球，每投進(jìn)一次得分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在處和處各投次，依據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)狀況分別得到如圖表：

若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）求甲同學(xué)通過測試的概率；（2）在甲、乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）記甲同學(xué)累計(jì)得分為，計(jì)算出甲同學(xué)兩分球和三分球投籃命中的概率，進(jìn)而可計(jì)算得出，即為所求；（2）設(shè)“甲得分比乙得分高”為事務(wù)，“甲、乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事務(wù)，計(jì)算出、，利用條件概率公式可求得，即為所求.【詳解】（1）甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，所以，甲同學(xué)通過測試的概率為；（2）乙同學(xué)兩分球投籃命中率為，乙同學(xué)三分球投籃命中率為.設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為，則，，設(shè)“甲得分比乙得分高”為事務(wù)，“甲、乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事務(wù)，則，，由條件概率公式可得.65．（2024·山東菏澤市·高三一模）隨著生活質(zhì)量的提升，家庭轎車保有量逐年遞增.便利之余卻加劇了交通擁堵和環(huán)保問題.綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚，共享單車進(jìn)駐城市黃澤市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示.2024年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)市民運(yùn)用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示.若將共享單車用戶依據(jù)年齡分為“年輕人”(歲歲)和“非年輕人”(歲及以下或者歲及以上)兩類，將一周內(nèi)運(yùn)用的次數(shù)為次或次以上的常常運(yùn)用共享單車的稱為“單車族”.運(yùn)用次數(shù)為次或不足次的稱為“非單車族”.已知在“單車族”中有是“年輕人”.（1）現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“常常運(yùn)用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采納隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為的樣本，請你依據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為常常運(yùn)用共享單車與年齡有關(guān)?運(yùn)用共享單車狀況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計(jì)單車族非單車族合計(jì)（2）若將（1）中的頻率視為概率，從該市市民中隨機(jī)任取人，設(shè)其中既是“單車族”又是“非年輕人”的人數(shù)為隨機(jī)變量求的分布列與期望.參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表其中，(注:保留三位小數(shù)).【答案】（1）表格見解析，有；（2）分布列見解析，0.3.【解析】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表，利用公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）的列聯(lián)表可知，常常運(yùn)用單車的“非年輕人”的概率，即可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解隨機(jī)變量取每個(gè)數(shù)值的概率，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下:年輕人非年輕人合計(jì)單車族非單車族合計(jì)（要求保留三位小數(shù)，否則扣一分）即有的把握可以認(rèn)為常常運(yùn)用共享單車與年齡有關(guān).（2）由（1）的列聯(lián)表可知，既是“單車族”又是“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為即在抽取的用戶中既是“單車族”又是“非年輕人”的概率為隨機(jī)變量可取則的分布列為的數(shù)學(xué)期望.66．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）習(xí)近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”.為響應(yīng)總書記的號(hào)召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動(dòng).運(yùn)動(dòng)分為徒手運(yùn)動(dòng)和器械運(yùn)動(dòng)兩大類.該社區(qū)對參與活動(dòng)的人進(jìn)行了調(diào)查，其中男性人，女性人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:(單位:人)性別器械類徒手類合計(jì)男性女性合計(jì)（1）請將題中表格補(bǔ)充完整，并推斷能否有99%把握認(rèn)為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”?（2）為了檢驗(yàn)活動(dòng)效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動(dòng).競賽包括三個(gè)項(xiàng)目，一個(gè)是器械類，兩個(gè)是徒手類，規(guī)定參與者必需三個(gè)項(xiàng)日都參與.據(jù)以往閱歷，參賽者通過器械類競賽的概率是，通過徒手類競賽的概率都是，且各項(xiàng)目是否通過相互獨(dú)立.用表示某居民在這次競賽中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(參考數(shù)據(jù):)附:【答案】（1）表格見解析，有；（2）答案見解析，.【解析】（1）依據(jù)男性人，女性人和表中已有的數(shù)據(jù)完成表格即可；利用求得的值，再與臨界值標(biāo)比照下結(jié)論.（2）易知隨機(jī)變量的全部可能取值有，再分別求得相應(yīng)的概率，列出分布列，依據(jù)分布列再去期望.【詳解】（1）依據(jù)器械類總?cè)藬?shù)人，其中男性人，可得女性為人，依據(jù)總?cè)藬?shù)人，得到徒手類總?cè)藬?shù)人，其中女性人，可得男性人.完成表格如下:性別器械類徒手類合計(jì)男性女性合計(jì)所以，所以，有把握認(rèn)為“是否選擇物理類與性別有關(guān)”.（2）隨機(jī)變量的全部可能取值有.因?yàn)樗缘姆植剂袨樗詳?shù)學(xué)期望.67．（2024·全國高三專題練習(xí)）某市會(huì)展公司支配在將來一周組織5天廣場會(huì)展.若會(huì)展期間有風(fēng)雨天氣，則暫停該天會(huì)展.依據(jù)該市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得知，將來一周從周一到周五的5天時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)風(fēng)雨天氣狀況的概率是：前3天均為，后2天均為(假設(shè)每一天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣與否是相互獨(dú)立的).（1）求將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會(huì)展的概率；（2）求這次會(huì)展活動(dòng)展出的平均天數(shù).(結(jié)果精確到0.1)【答案】（1）；（2）平均天數(shù)是1.9天.【解析】(1)先求出將來一周5天都實(shí)行會(huì)展的概率，由此利用對立事務(wù)概率計(jì)算公式能求出至少有一天暫停會(huì)展的概率；(2)由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出會(huì)展的天數(shù)X的分布列，再求期望即可.【詳解】（1）記“將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會(huì)展”為事務(wù)，則事務(wù)表示將來一周5天展出會(huì)展，于是，，所以，將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會(huì)展的概率是.（2）設(shè)隨機(jī)變量表示會(huì)展展出的天數(shù)，則，1，2，3，4，5于是，，，，，，由（1）知，，所以，即這次會(huì)展活動(dòng)展出的平均天數(shù)是1.9天.68．（2024·全國高三專題練習(xí)）黨中心，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中心應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測范圍，著力提升檢測實(shí)力.依據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：個(gè)樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測實(shí)力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求例疑似病例中恰有例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，試比較以上三個(gè)方案中哪個(gè)最“優(yōu)”，并說明理由.【答案】（1）；（2）方案二最優(yōu)，理由見解析.【解析】（1）由題意可知，，再依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求出；（2）分別計(jì)算方案二，方案三須要化驗(yàn)的期望數(shù)，比較即可得出.【詳解】用表示例疑似病例中化驗(yàn)呈陽性的人數(shù)，則隨機(jī)變量由題意可知：.方案一：若逐個(gè)檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)次數(shù)為.方案二：混合一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為則.方案三：每組的兩個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則檢測次數(shù)為，其概率為,若結(jié)果呈陽性，則檢測次數(shù)為其概率為設(shè)方案三檢測次數(shù)為隨機(jī)變量則則由，知方案二最優(yōu).69．（2024·全國高三專題練習(xí)）某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費(fèi)用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

（1）從①；②；③三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用和年利潤額的回來類型，推斷哪個(gè)類型符合，不必說明理由；（2）依據(jù)（1）中選擇的回來類型，求出與的回來方程；（3）預(yù)料要使年利潤額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少廣告費(fèi)用？（結(jié)果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）選擇回來類型更好；（2）；（3）下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費(fèi)用．【解析】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖的形態(tài)可選擇合適的函數(shù)模型；（2）作變換，，將表格中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，進(jìn)而可得出關(guān)于的回來方程；（3）令，結(jié)合參考數(shù)據(jù)解出的范圍，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用和年利潤額的回來類型并不是直線型的，而是曲線型的，且與呈正相關(guān).所以選擇回來類型更好；（2）對兩邊取自然對數(shù)，得，，，則，由表中數(shù)據(jù)得，，所以，所以，所以年廣告費(fèi)用和年利潤額的回來方程為；（3）由（2），知，令，得，得，所以，所以（十萬元）．故下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費(fèi)用．70．（2024·全國高三專題練習(xí)）在一次大范圍的隨機(jī)學(xué)問問卷調(diào)查中，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參與問卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎(jiǎng)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)2050概率現(xiàn)有市民甲參與此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參與問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為41.25元.【解析】（1）依據(jù)題意干脆計(jì)算平均值即可，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性得到，即得a值；（2）先依據(jù)正態(tài)分布知獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為,再結(jié)合獲得隨機(jī)話費(fèi)的金額和概率狀況寫分布列，并計(jì)算期望即可.【詳解】解：（1）①由題意得：，，②，由正態(tài)分布曲線的對稱性得，，解得；（2）由題意得，，即獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為,故獲贈(zèng)話費(fèi)的的全部可能取值為20，40，50，70，100，，，，.的分布列為：20405070100元.所以的數(shù)學(xué)期望為41.25元.71．（2024·全國高三專題練習(xí)）某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明學(xué)問網(wǎng)絡(luò)競賽，全市市民均有且只有一次參賽機(jī)會(huì)，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀.競賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計(jì)得到樣本平均數(shù)為71，方差為81.假設(shè)該市有10萬人參與了該競賽活動(dòng)，得分Z聽從正態(tài)分布.（1）估計(jì)該市這次競賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人?（2）該市文明辦為調(diào)動(dòng)市民參與競賽的主動(dòng)性，制定了如下嘉獎(jiǎng)方案：全部參與競賽活動(dòng)者，均可參與“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參與者抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)（10，11，，99），若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可嘉獎(jiǎng)40元電話費(fèi)，否則嘉獎(jiǎng)10元電話費(fèi).假設(shè)參與競賽活動(dòng)的全部人均參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)嘉獎(jiǎng)的電話費(fèi)總額為多少萬元?參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】（1）1.6（萬人）；（2）150.8萬元.【解析】（1）由得標(biāo)準(zhǔn)差，所以優(yōu)秀者得分，由及正態(tài)分布的對稱性可得答案；（2）設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為X元可得X的取值及概率，計(jì)算出抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值，再算出抽獎(jiǎng)總次數(shù)可得答案.【詳解】（1）因得分，所以標(biāo)準(zhǔn)差，所以優(yōu)秀者得分，由得，，因此，估計(jì)這次參與競賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)為（萬人）.（2）設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為X元，則，所以抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值為，又由于10萬人均參與抽獎(jiǎng)，且優(yōu)秀者參與兩次