2025屆高考數(shù)學試卷專項練習16概率統(tǒng)計含解析

概率統(tǒng)計解答題43．（2024·山東棗莊市·高三二模）天問一號火星探測器于2024年2月10日勝利被火星捕獲，實現(xiàn)了中國在深空探測領(lǐng)域的技術(shù)跨越.為提升探測器健康運轉(zhuǎn)的管理水平，西安衛(wèi)星測控中心組織青年科技人員進行探測器遙控技能學問競賽，已知某青年科技人員甲是否做對每個題目相互獨立，做對，，三道題目的概率以及做對時獲得相應的獎金如表所示.題目做對的概率0.80.60.4獲得的獎金/元100020003000規(guī)則如下：依據(jù)，，的依次做題，只有做對當前題目才有資格做下一題.（1）求甲獲得的獎金的分布列及均值；（2）假如變更做題的依次，獲得獎金的均值是否相同？假如不同，你認為哪個依次獲得獎金的均值最大？（不須要詳細計算過程，只需給出推斷）【答案】（1）分布列見解析，；（2）依據(jù)題目，，的依次做題，得到獎金的期望值最大.【解析】（1）由題意，的可能取值為0，1000，3000，6000，計算每個取值的概率，寫出分布列，最終計算均值即可；（2）依據(jù)均值的性質(zhì)以及概率的性質(zhì)進行推斷即可.【詳解】（1）解：分別用，，表示做對題目，，的事務，則，，相互獨立.由題意，的可能取值為0，1000，3000，6000.；；；.所以甲獲得的獎金的分布列為：01000300060000.20.320.2880.192.（2）變更做題的依次，獲得獎金的均值互不相同.決策的原則是選擇期望值大的做題依次，這稱為期望值原則.做對的概率大表示題目比較簡潔，做對的概率小表示題目比較難.猜想：依據(jù)由易到難的依次做題，即依據(jù)題目，，的依次做題，得到獎金的期望值最大.44．（2024·遼寧高三二模（理））新冠疫情爆發(fā)以來，在黨和政府的領(lǐng)導下，社區(qū)工作人員做了大量的工作，為總結(jié)工作中的閱歷和不足，設計了一份調(diào)查問卷，滿分100分，隨機發(fā)給100名男性居民和100名女性居民，分數(shù)統(tǒng)計如下：100位男性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)3127285合計100100位女性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)5156479合計100（Ⅰ）求這100位男性居民評分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民評分聽從正態(tài)分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若規(guī)定評分小于70分為不滿足，評分大于等于70分為滿足，能否有99%的把握認為居民是否滿足與性別有關(guān)?附：，，，.參考公式，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.2046.6357.87910.828【答案】（Ⅰ）75，52；（Ⅱ）0.8186；（Ⅲ）沒有.【解析】（Ⅰ）依據(jù)頻率分布表數(shù)據(jù)，干脆計算求均值和方差即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即可求，又，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性及已知信息求值即可；（Ⅲ）依據(jù)頻率分布表得到列聯(lián)表，應用卡方檢驗公式求k值，比照參考值確定是否有99%的把握認為居民是否滿足與性別有關(guān).【詳解】（Ⅰ）由頻率分布表可知：，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，則，.為0.8186（Ⅲ）由已知條件可得：列聯(lián)表如下：滿足不滿足合計男性8515100女性8020100合計16535200，，沒有99%的把握認為是否滿足與性別有關(guān).45．（2024·山東煙臺市·高三一模）某品牌餐飲企業(yè)為滿足人們餐飲需求?豐富產(chǎn)品花色?提高企業(yè)競爭力，研發(fā)了一款新產(chǎn)品.該產(chǎn)品每份成本元，售價元，產(chǎn)品保質(zhì)期為兩天，若兩天內(nèi)未售出，則產(chǎn)品過期報廢.由于烹制工藝困難，該產(chǎn)品在最初推廣階段由企業(yè)每兩天統(tǒng)一生產(chǎn)?集中配送一次.該企業(yè)為決策每兩天的產(chǎn)量，選取旗下的直營連鎖店進行試銷，統(tǒng)計并整理連續(xù)天的日銷量(單位：百份)，假定該款新產(chǎn)品每日銷量相互獨立，得到右側(cè)的柱狀圖：

（1）記兩天中銷售該新產(chǎn)品的總份數(shù)為(單位：百份)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）以該新產(chǎn)品兩天內(nèi)獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天生產(chǎn)配送百份?百份兩種方案中應選擇哪種？【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學期望：；（2）選擇每兩天生產(chǎn)配送百份.【解析】（1）依據(jù)相互獨立事務概率計算公式，計算出的分布列并求得數(shù)學期望.（2）分別計算出配送百份、配送百份所獲利潤，由此作出決策.【詳解】（1）依據(jù)題意可得，的全部可能取值為.的分布列如下：（2）當每兩天生產(chǎn)配送百份時，利潤為百元.當每兩天生產(chǎn)配送百份時，利潤為.百元.由于所以選擇每兩天生產(chǎn)配送百份.46．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知某班有50位學生，現(xiàn)對該班關(guān)于“舉辦辯論賽”的看法進行調(diào)查，，他們綜合評價成果的頻數(shù)分布以及對“舉辦辯論賽”的贊成人數(shù)如下表：綜合評價成果（單位：分）[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812431（1）請依據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答：是否有95%的把握認為“綜合評價成果以80分位分界點”對“舉辦辯論賽”的看法有差異？綜合評價成果小于80分的人數(shù)綜合評價成果不小于80分的人數(shù)合計贊成不贊成合計（2）若采納分層抽樣在綜合評價成果在[60，70)，[70，80)的學生中隨機抽取10人進行追蹤調(diào)查，并選其中3人擔當辯論賽主持人，求擔當主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【答案】（1）表格見解析，不能；（2）.【解析】（1）由已知完成列聯(lián)表，結(jié)合公式計算依據(jù)參考數(shù)據(jù)即可推斷結(jié)果；（2）由分層抽樣得在里面抽6個，里面抽4個，再用對立事務求解概率即可.【詳解】（1）綜合評價成果小于80分的人數(shù)綜合評價成果不小于80分的人數(shù)合計贊成28432不贊成12618合計401050做個皮爾遜卡方檢驗的話，有故此不能推翻零假設，不能認定成果和看法有關(guān).（2）這樣分層抽樣，會在里面抽6個，里面抽4個，設為沒有人在[60，70)內(nèi)的事務，則概率即為47．（2024·河南高三月考（理））為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強環(huán)境的治理和生態(tài)的修復，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個縣的27個行政村中各隨機選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進行了檢測，并依據(jù)國家土壤重金屬污染評價級標準（清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進行分級，繪制了如圖所示的條形圖（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個數(shù)；（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從（1）中抽取的6個行政村中任選3個，污染度的得分之和記為X，求X的數(shù)學期望．【答案】（1）從輕度污染的行政村中抽取個，從中度污染的行政村中抽取個，從重度污染的行政村中抽取個；（2）5．【解析】（1）依據(jù)題意，輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個，再依據(jù)分層抽樣分別算出所抽取的輕度污染、中度污染、重度污染行政村的個數(shù)即可；（2）X的全部可能取值為3，4，5，6，7，寫出每算出一個數(shù)據(jù)的概率，得出分布列，再依據(jù)期望公式即可得解.【詳解】（1）輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個，所以從輕度污染的行政村中抽取個，從中度污染的行政村中抽取個，從重度污染的行政村中抽取個．（2）X的全部可能取值為3，4，5，6，7．，，，，．所以X的分布列為X34567P所以．48．（2024·山東濱州市·高三一模）國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個重點城市在2024年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上．截至2024年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%．某市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)產(chǎn)生的垃圾數(shù)量超過28（噸/天）的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量頻數(shù)56912864（1）在頻數(shù)分布表中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，求這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值（精確到0.1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量大致聽從正態(tài)分布，其中，分別近似為（1）中樣本的平均值，方差，經(jīng)計算約為5.2．請利用正態(tài)分布學問估計這320個社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3）通過探討樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)覺，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府確定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)支配在這8個“超標”社區(qū)中隨機抽取5個進行跟蹤調(diào)查，設為抽到的這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，則，,．【答案】（1）這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸；（2）估計這320分社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數(shù)為51；（3）分布列見解析，.【解析】(1)由頻數(shù)分布表依據(jù)要求計算；（2）由，利用正態(tài)分布頻率公式可計算出概率，從而得“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3）求得的可能取值為1，2，3，4，然后計算概率得概率分布列，再由期望公式可得期望．【詳解】（1）由頻數(shù)分布表得，所以這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸．（2）由（1）知．因為約為5.2，所以取．所以．又，所以估計這320分社區(qū)一天中“超標”社區(qū)的個數(shù)為51．（3）由頻數(shù)分布表知：8個“超標”社區(qū)中這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個，所以的可能取值為1，2，3，4，，，，，所以的分布列為1234所以．49．（2024·山東德州市·高三一模）2024年春晚首次采納“云”傳播，“云”互動形式，實現(xiàn)隔空連線心愿相通，全球華人心連心“云團聚”，共享新春氛圍，“云課堂”亦是一種真正完全突破時空限制的全方位互動性學習模式．某市隨機抽取200人對“云課堂”倡議的了解狀況進行了問卷調(diào)查，記表示了解，表示不了解，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：（表一）了解狀況人數(shù)14060（表二）男女合計8040合計（1）請依據(jù)所供應的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并推斷是否有99％的把握認為對“云課堂”倡議的了解狀況與性別有關(guān)系;（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，在男性市民和女性市民中各隨機抽取4人，記“4名男性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為，“4名女性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為．試求出與，并比較與的大小．附：臨界值參考表的參考公式，其中）【答案】（1）表格見解析，有；（2），，.【解析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)干脆填寫，然后依據(jù)公式計算即可.（2）先計算男性了解“云課堂”倡議的概率，女性了解“云課堂”倡議的概率，然后可得，進行比較即可.【詳解】（1）男女合計8060140204060合計100100200．比照臨界值表知，有99％的把握認為對“云課堂”倡議了解狀況與性別有關(guān)系．（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，依據(jù)列聯(lián)表得出，男性了解“云課堂”倡議的概率為，女性了解“云課堂”倡議的概率為：，故，，明顯．50．（2024·江蘇高三專題練習）為加強進口冷鏈食品監(jiān)管，某省于2024年底在全省建立進口冷鏈食品集中監(jiān)管專倉制度，在口岸、目的地市或縣（區(qū)、市）等進口冷鏈食品第一入境點，設立進口冷鏈食品集中監(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預防性全面消毒工作，為了進一步確定某批進口冷凍食品是否感染病毒，在入關(guān)檢疫時須要對其采樣進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒，對于，（）份樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需檢驗次：二是混合檢驗，將份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這份全為陰性，因而檢驗一次就夠了；假如檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份原委哪些為陽性，就須要對它們再次取樣逐份檢驗，則份檢驗的次數(shù)共為次，若每份樣本沒有該病毒的概率為（），而且樣本之間是否有該病毒是相互獨立的.（1）若，求2份樣本混合的結(jié)果為陽性的概率；（2）若取得4份樣本，考慮以下兩種檢驗方案：方案一：采納混合檢驗；方案二：平均分成兩組，每組2份樣本采納混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”，試問方案一、二哪個更“優(yōu)”？請說明理由.【答案】（1）；（2）當時，方案一更“優(yōu)”；當時，方案一、二一樣；理由見解析.【解析】（1）依據(jù)相互獨立事務的概率求出該混合樣本陰性的概率，依據(jù)對立事務原理，能求出陽性的概率．（2）分別求出方案一、二的分布列及數(shù)學期望，即可推斷；【詳解】解：（1）該混合樣本陰性的概率是，依據(jù)對立事務可得，陽性的概率為.（2）方案一：混在一起檢驗，方案一的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為1，5；.其分布列為：則，15方案二：由題意分析可知.每組2份樣本混合檢驗時.若陰性則檢測次數(shù)為1，概率為，若陽性，則檢測次數(shù)為3.概率為，方案二的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為2，4，6，；；；其分布列為：246則，，當時，可得，所以方案一更“優(yōu)”當時，可得，所以方案一、二一樣；51．（2024·山東高三專題練習）某商場每年都會定期答謝會員，允許年度積分超過指定積分的會員參與特價購物贈券活動．今年活動的主題為“購物三選一，真情暖心里”，符合條件的會員可以特價購買禮包（十斤肉類）禮包（十斤蔬菜）和禮包（十斤雞蛋）三類特價商品中的隨意一類，并且依據(jù)購買的禮包不同可以獲贈價值不等的代金券依據(jù)以往閱歷得知，會員購買禮包和禮包的概率均為．（1）預料今年有400名符合條件的會員參與活動，求商場為此活動須要打算多少斤雞蛋合理；（2）在促銷活動中，若有甲、乙、丙三位會員同時參與答謝活動，各人購買禮包相互獨立，已知購買禮包或禮包均可以獲得50元商場代金券，購買禮包可以獲得25元商場代金券，設是三人獲得代金券金額之和．求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（斤）；（2）分布列見解析；期望為．【解析】（1）計算出買禮包的概率，然后簡潔計算即可.（2）寫出的全部可能取值并計算出相對應的概率，然后列出分布列，最終依據(jù)期望公式計算即可.【詳解】（1）會員購買禮包的概率為，∴打算雞蛋：（斤）（2）的全部可能取值為：150，125，100，75，，∴的分布列如．52．（2024·全國高三專題練習）某校針對高一學生支配社團活動，周一至周五每天支配一項活動，活動支配表如下：時間周一周二周三周四周五活動項目籃球國畫排球聲樂書法要求每位學生選擇其中的三項，學生甲確定選擇籃球，不選擇書法；乙和丙無特別狀況，任選三項.（1）求甲選排球且乙未選排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人選擇排球的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）設事務，分別求出甲、乙同學選排球的概率，由相互獨立事務同時發(fā)生的概率，即可得出結(jié)果.（2）求出丙同學選排球的概率，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出概率，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）設A表示事務“甲同學選排球”B表示事務“乙同學選排球”則因為事務A，B相互獨立，所以甲同學選排球且乙同學未選排球的概率為：（2）設C表示事務“丙同學選排球”，則X的可能取值為0，1，2，3則；X的分布列為X0123P數(shù)學期望為53．（2024·全國高三專題練習）為快速限制新冠病毒的傳播，全球多家公司進行新冠疫苗的研發(fā).某生物技術(shù)公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測其質(zhì)量指標，從中抽取了100支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計質(zhì)量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求所抽取的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（2）將頻率視為概率，若某家庭購買4支該疫苗，記這4支疫苗的質(zhì)量指標值位于內(nèi)的支數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：.【解析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)；（2）首先求出每支滅活疫苗的質(zhì)量指標值位于內(nèi)的概率，可得，即可求出隨機變量的分布列和數(shù)學期望；【詳解】解：（1）依據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率：；的頻率為：，∴.（2）依據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標值位于內(nèi)的概率為，所以，的可能取值為：0，1，2，3，4，，，，，，∴的分布列為：01234∴.54．（2024·河北唐山市·高三二模）改革開放是我國發(fā)展的最大“紅利”，自1978年以來，隨著我國社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善，我國人口平均預期壽命接著延長，國民整體健康水平有較大幅度的提高．下表數(shù)據(jù)反應了我國改革開放三十余年的人口平均預期壽命變更．人口平均預期壽命變更表單位：歲年份年份代碼人口平均預期壽命1981199020002010（1）散點圖如上圖所示，可用線性回來模型擬合與的關(guān)系，已知回來方程中的斜率，且，求；（2）關(guān)于2024年我國人口平均預期壽命的統(tǒng)計數(shù)據(jù)迄今暫未公布，依據(jù)線性回來方程，對進行預料并給出預料值（結(jié)果保留兩位小數(shù)），結(jié)合散點圖的發(fā)展趨勢，估計與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；；答案見解析．【解析】（1）先求出，再把樣本中心點的坐標代入回來方程即得解；（2）2024年對應的年份代碼，求出即得解.【詳解】解：（1），．（2）2024年對應的年份代碼，．從散點圖的發(fā)展趨勢可以得出：隨著年份代碼增加，人口平均預期壽命提高的越快．因此，估計．55．（2024·山東高三專題練習）某公司對項目進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：項目投資金額（單位：百萬元）所獲利潤（單位：百萬元）（1）請用線性回來模型擬合與的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）該公司支配用百萬元對、兩個項目進行投資．若公司對項目投資百萬元所獲得的利潤近似滿足：，求、兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大？附：①對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回來直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．②線性相關(guān)系數(shù)．一般地，相關(guān)系數(shù)的肯定值在以上（含）認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱．參考數(shù)據(jù)：對項目投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中，，．【答案】（1）；答案見解析；（2）對、項目分別投資百萬元，百萬元時，獲得總利潤最大．【解析】（1）計算出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回來直線方程，并計算出相關(guān)系數(shù)的值，可得出結(jié)論；（2）求得，利用基本不等式可求得的最大值，利用等號成立求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）對項目投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行計算，有，，，所以，，所以回來直線方程為：.線性相關(guān)系數(shù)，這說明投資金額與所獲利潤之間的線性相關(guān)關(guān)系較強，用線性回來方程對該組數(shù)據(jù)進行擬合合理；（2）設對項目投資百萬元，則對項目投資百萬元．所獲總利潤，當且僅當，即時取等號，所以對、項目分別投資百萬元，百萬元時，獲得總利潤最大．56．（2024·江蘇常州市·高三一模）某地發(fā)覺6名疑似病人中有1人感染病毒，須要通過血清檢測確定該感染人員，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性表示沒感染.擬采納兩種方案檢測：方案甲：將這6名疑似病人血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；方案乙：將這6名疑似病人隨機分成2組，每組3人.先將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果為陰性，則對另一組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止，（1）求這兩種方案檢測次數(shù)相同的概率；（2）假如每次檢測的費用相同，請預料哪種方案檢測總費用較少？并說明理由.【答案】（1）；（2）乙方案，理由見解析.【解析】設甲方案檢測的次數(shù)，記乙方案檢測的次數(shù)，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事務A，依據(jù)獨立事務的概率的乘法公式，即可求解；（2）分別求得隨機變量和的期望，結(jié)合期望的大小，即可求解.【詳解】由題意可設甲方案檢測的次數(shù)是X，則，記乙方案檢測的次數(shù)是，則，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事務A，則，所以兩種方案檢測的次數(shù)相同的概率為.（2）由，所以，，則，因為，所以采納乙方案.57．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）下圍棋既熬煉思維又愉悅身心，有益培育人的耐性和細心，舒緩大腦并讓其得到充分休息.現(xiàn)某學校象棋社團為豐富學生的課余生活，實行象棋大賽，要求每班選派一名象棋愛好者參賽.現(xiàn)某班有位象棋愛好者，經(jīng)協(xié)商確定實行單循環(huán)方式進行競賽，(規(guī)則采納“中國數(shù)目法”，沒有和棋.)即每人進行輪競賽，最終靠積分選出第一名去參與校級競賽.積分規(guī)則如下(每輪競賽實行局勝制，競賽結(jié)束時，取勝者可能會出現(xiàn).三種賽式).或3:1勝者積分分分負者積分分分輪過后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計積分分，乙累計積分分.第輪甲和丙競賽，設每局競賽甲取勝的概率均為，丙獲勝的概率為，各局競賽結(jié)果相互獨立.（1）①在第輪競賽中，甲所得積分為，求的分布列;②求第輪結(jié)束后，甲的累計積分的期望;（2）已知第輪乙得分，推斷甲能否提前一輪獲得累計積分第一，結(jié)束競賽.(“提前一輪”即競賽進行輪就結(jié)束，最終一輪即第輪無論乙得分結(jié)果如何，甲累計積分最多)?若能，求出相應的概率;若不能，請說明理由.【答案】（1）①分布列見解析，②；（2）.【解析】（1）①求得隨機變量的可能取值，利用獨立重復試驗的公式，求得相應的概率，即可得出分布列，②求得隨機變量的可能取值，利用公式，即可求得積分的期望；由，得到甲輪后的總積分和第輪和第輪都得分，進而求得提前一輪結(jié)束競賽的概率.【詳解】（1）①由題意，隨機變量的可能取值為，則，，，，所以的分布列為②隨機變量的可能取值為，則若，則甲輪后的總積分為分，乙即便第輪和第輪都得分，則輪過后的總積分是分，，所以甲假如第輪積分，則可提前一輪結(jié)束競賽，其概率為.58．（2024·全國高三專題練習）某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊全部的產(chǎn)品就可以贈送元旦禮品．而每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個．（1）記事務：一次性購買個甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事務：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒．通過統(tǒng)計發(fā)覺：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復，記某人第次購買甲系列的概率為．①；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過許多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應打算甲、乙兩個系列的盲盒各多少個．【答案】（1），；（2）①；②應打算甲系列盲盒40個，乙系列盲盒60個．【解析】（1）依據(jù)題意，集齊，，玩偶的個數(shù)可以分三類狀況：，，玩偶中，每個均有出現(xiàn)兩次、，，玩偶中，一個出現(xiàn)一次，一個出現(xiàn)兩次，一個出現(xiàn)三次、，，玩偶中，兩個出現(xiàn)一次，另一個出現(xiàn)四次探討計算，并依據(jù)古典概率計算即可；對于，先考慮一次性購買個乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率再求解.（2）①依據(jù)題意，，當時，，再依據(jù)數(shù)列學問計算即可；②由①得購買甲系列的概率近似于，故用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，再依據(jù)二項分布的期望計算即可.【詳解】解：（1）由題意基本領(lǐng)件共有：種狀況，其中集齊，，玩偶的個數(shù)可以分三類狀況，，，玩偶中，每個均有出現(xiàn)兩次，共種；，，玩偶中，一個出現(xiàn)一次，一個出現(xiàn)兩次，一個出現(xiàn)三次，共種；，，玩偶中，兩個出現(xiàn)一次，另一個出現(xiàn)四次，共種；故.依據(jù)題意，先考慮一次性購買個乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率，即，所以.（2）①由題意可知：，當時，，∴，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，②因為每天購買盲盒的100人都已購買過許多次，所以，對于每一個人來說，某天來購買盲盒時，可以看作n趨向無窮大，所以購買甲系列的概率近似于，假設用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，所以，即購買甲系列的人數(shù)的期望為40，所以禮品店應打算甲系列盲盒40個，乙系列盲盒60個．59．（2024·全國高三專題練習）某學校共有1000名學生參與學問競賽，其中男生400人，為了解該校學生在學問競賽中的狀況，實行分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，分數(shù)分布在分之間，依據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于750分的學生稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)采納分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列列聯(lián)表，并推斷是否有％的把握認為該校學生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計（參考公式：，期中）【答案】（1），中位數(shù)650，眾數(shù)600；（2）分布列見解析；期望為；（3）填表見解析；有．【解析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得,每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值乘以頻率相加得均值；（2）由頻率分布直方圖知從，中抽取7人，從，中抽取3人，隨機變量的全部可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；（3）樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費群”的25人，其中女生10人，由頻率分布直方圖求出高消費群人數(shù)，可得高消費群中男生人數(shù)，從而可填寫列聯(lián)表，并計算出后可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，隨機變量的全部可能取值有0，1，2，3．，所以隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望．（3）由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓10人；得出以下列聯(lián)表；屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生152540女生105060合計2575100，所以有％的把握認為該校學生屬于“高分選手”與性別有關(guān)．60．（2024·山東高三專題練習）為確保我國如期全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標打下了堅實的基礎．在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，某玩具廠對原有的生產(chǎn)線進行技術(shù)升級，為了更好地對比升級前和升級后的效果，其中甲生產(chǎn)線接著運用舊的生產(chǎn)模式，乙生產(chǎn)線采納新的生產(chǎn)模式．質(zhì)檢部門隨機抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，依據(jù)檢測結(jié)果將它們分為“A”、“B”、“C”三個等級，等級都是合格品，C等級是次品，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：等級ABC頻數(shù)1007525（表二）合格品次品合計甲80乙5合計在相關(guān)政策扶持下，確保每件合格品都有對口銷售渠道，但從平安起見，全部的次品必需由廠家自行銷毀．（1）請依據(jù)所供應的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并推斷是否有的把握認為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)？（2）每件玩具的生產(chǎn)成本為20元，等級產(chǎn)品的出廠單價分別為m元、40元．若甲生產(chǎn)線抽檢的玩具中有35件為A等級，用樣本的頻率估計概率，若進行技術(shù)升級后，平均生產(chǎn)一件玩具比技術(shù)升級前多盈利12元，則A等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價為多少元？附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)；（2）60元.【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，依據(jù)卡方檢驗公式計算卡方值，結(jié)合比照表即可推斷產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級的相關(guān)程度；（2）法一：由甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)確定它們?nèi)〉貌煌麧櫟姆植剂?，依?jù)分布列求各自利潤的期望值，由求參數(shù)m即可；法二：依據(jù)甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)，結(jié)合均值的求法求它們的平均值，結(jié)合求參數(shù)m即可；【詳解】解：（1）依據(jù)所供應的數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：合格品次品合計甲8020100乙955100合計17525200設產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級無關(guān)．由，可得．，故有的把握認為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)．（2）法一：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級，45件等級，20件等級，對于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級，30件等級，5件等級；對于乙生產(chǎn)線，單位產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，依題意．，，所以，等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價為60元．法二：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級，45件等級，20件等級，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級，30件等級，5件等級；因為用樣本的頻率估計概率所以對于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤對于乙生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤依題意．，，所以，等級產(chǎn)品的出產(chǎn)單價為60元．61．（2024·廣東廣州市·高三一模）某中學實行籃球趣味投籃競賽，競賽規(guī)則如下：每位選手各投5個球，每一個球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進一球得2分，投不進球得0分；在區(qū)每投進一球得3分，投不進球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在區(qū)和區(qū)每次投籃進球的概率分別為和，且各次投籃的結(jié)果互不影響.（1）若甲投籃得分的期望值不低于7分，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是多少個？（2）若甲在區(qū)投3個球且在區(qū)投2個球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率.【答案】（1）3；（2）【解析】（1）先求出甲在區(qū)和在B區(qū)投一次得分的期望，設在區(qū)投次，計算出總的期望，列出不等式可求；（2）可得甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的狀況有5種狀況，分別求出概率，相加即可得出.【詳解】（1）甲在區(qū)進球的概率為，投進一球得2分，則在區(qū)投一次得分的期望為，同理在B區(qū)投一次得分的期望為，設在區(qū)投次，在B區(qū)投次，則總的期望值，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是3個；（2）由題可得甲在區(qū)投3個球，得分可能是0，2，4，6，在區(qū)投2個球，得分可能是0，3，6，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的狀況有：A區(qū)2分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)3分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)3分，概率為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率為.62．（2024·全國高三專題練習）垃圾分類收集處理是一項利國利民的社會工程和環(huán)保工程．搞好垃圾分類收集處理，可為政府節(jié)約開支，為國家節(jié)約能源，削減環(huán)境污染，是建設資源節(jié)約型社會的一個重要內(nèi)容．為推動垃圾分類收集處理工作，A市通過多種渠道對市民進行垃圾分類收集處理方法的宣揚教化，為了解市民能否正確進行垃圾分類處理，調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）：能正確進行垃圾分類不能正確進行垃圾分類總計55歲及以下903012055歲以上503080總計14060200（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，推斷是否有90%的把握認為A市能否正確進行垃圾分類處理與年齡有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從A市55歲及以下的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“不能正確進行垃圾分類”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求隨機變量的分布列和均值．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）有90%的把握認為A市能否正確進行垃圾分類處理與年齡有關(guān)；（2）答案見解析.【解析】（1）依據(jù)列聯(lián)表計算，再依據(jù)臨界值參考數(shù)據(jù)比較大小，即得結(jié)論；（2）由條件可知，依據(jù)二項分布計算分布列和數(shù)學期望.【詳解】解：（1）由列聯(lián)表可知，因為，所以有90%的把握認為A市能否正確進行垃圾分類處理與年齡有關(guān)．（2）由題意可知，從該市55歲及以下的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，不能正確進行垃圾分類的頻率為，所以，的全部可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以．63．（2024·湖北荊門市·高三月考）為落實中心“堅持五育并舉，全面發(fā)展素養(yǎng)教化，強化體育熬煉”的指示精神，小明和小亮兩名同學每天利用課余時間進行羽毛球競賽.規(guī)定每一局競賽中獲勝方記2分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，競賽結(jié)束.假設每局競賽小明獲勝的概率都是.（1）求競賽結(jié)束時恰好打了7局的概率；（2）若現(xiàn)在是小明6：2的比分領(lǐng)先，記表示結(jié)束競賽還需打的局數(shù)，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用事務的獨立性，分兩種狀況，恰好打了7局小明獲勝和恰好打了7局小亮獲勝，再概率相加即可.（2）的可能取值為2，3，4，5，利用二項分布，分別求出其相應的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）恰好打了7局小明獲勝的概率是，恰好打了7局小亮獲勝的概率為，∴競賽結(jié)束時恰好打了7局的概率為.（2）的可能取值為2，3，4，5，，，，或.∴的分布列如下：2345.64．（2024·全國高三專題練習）某校將進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人至多投次，先在處投一次三分球，投進得分，未投進不得分，以后均在處投兩分球，每投進一次得分，未投進不得分.測試者累計得分高于分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每人每輪在處和處各投次，依據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)狀況分別得到如圖表：

若以每人五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率.（1）求甲同學通過測試的概率；（2）在甲、乙兩位同學均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）記甲同學累計得分為，計算出甲同學兩分球和三分球投籃命中的概率，進而可計算得出，即為所求；（2）設“甲得分比乙得分高”為事務，“甲、乙兩位同學均通過了測試”為事務，計算出、，利用條件概率公式可求得，即為所求.【詳解】（1）甲同學兩分球投籃命中的概率為，甲同學三分球投籃命中的概率為，設甲同學累計得分為，則，所以，甲同學通過測試的概率為；（2）乙同學兩分球投籃命中率為，乙同學三分球投籃命中率為.設乙同學累計得分為，則，，設“甲得分比乙得分高”為事務，“甲、乙兩位同學均通過了測試”為事務，則，，由條件概率公式可得.65．（2024·山東菏澤市·高三一模）隨著生活質(zhì)量的提升，家庭轎車保有量逐年遞增.便利之余卻加劇了交通擁堵和環(huán)保問題.綠色出行引領(lǐng)時尚，共享單車進駐城市黃澤市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示.2024年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)市民運用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示.若將共享單車用戶依據(jù)年齡分為“年輕人”(歲歲)和“非年輕人”(歲及以下或者歲及以上)兩類，將一周內(nèi)運用的次數(shù)為次或次以上的常常運用共享單車的稱為“單車族”.運用次數(shù)為次或不足次的稱為“非單車族”.已知在“單車族”中有是“年輕人”.（1）現(xiàn)對該市市民進行“常常運用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采納隨機抽樣的方法，抽取一個容量為的樣本，請你依據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補全下列列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認為常常運用共享單車與年齡有關(guān)?運用共享單車狀況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計單車族非單車族合計（2）若將（1）中的頻率視為概率，從該市市民中隨機任取人，設其中既是“單車族”又是“非年輕人”的人數(shù)為隨機變量求的分布列與期望.參考數(shù)據(jù):獨立性檢驗界值表其中，(注:保留三位小數(shù)).【答案】（1）表格見解析，有；（2）分布列見解析，0.3.【解析】（1）補全的列聯(lián)表，利用公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）的列聯(lián)表可知，常常運用單車的“非年輕人”的概率，即可利用獨立重復試驗求解隨機變量取每個數(shù)值的概率，列出分布列，求解數(shù)學期望.【詳解】（1）補全的列聯(lián)表如下:年輕人非年輕人合計單車族非單車族合計（要求保留三位小數(shù)，否則扣一分）即有的把握可以認為常常運用共享單車與年齡有關(guān).（2）由（1）的列聯(lián)表可知，既是“單車族”又是“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為即在抽取的用戶中既是“單車族”又是“非年輕人”的概率為隨機變量可取則的分布列為的數(shù)學期望.66．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）習近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”.為響應總書記的號召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動.運動分為徒手運動和器械運動兩大類.該社區(qū)對參與活動的人進行了調(diào)查，其中男性人，女性人，所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:(單位:人)性別器械類徒手類合計男性女性合計（1）請將題中表格補充完整，并推斷能否有99%把握認為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”?（2）為了檢驗活動效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動.競賽包括三個項目，一個是器械類，兩個是徒手類，規(guī)定參與者必需三個項日都參與.據(jù)以往閱歷，參賽者通過器械類競賽的概率是，通過徒手類競賽的概率都是，且各項目是否通過相互獨立.用表示某居民在這次競賽中通過的項目個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.(參考數(shù)據(jù):)附:【答案】（1）表格見解析，有；（2）答案見解析，.【解析】（1）依據(jù)男性人，女性人和表中已有的數(shù)據(jù)完成表格即可；利用求得的值，再與臨界值標比照下結(jié)論.（2）易知隨機變量的全部可能取值有，再分別求得相應的概率，列出分布列，依據(jù)分布列再去期望.【詳解】（1）依據(jù)器械類總?cè)藬?shù)人，其中男性人，可得女性為人，依據(jù)總?cè)藬?shù)人，得到徒手類總?cè)藬?shù)人，其中女性人，可得男性人.完成表格如下:性別器械類徒手類合計男性女性合計所以，所以，有把握認為“是否選擇物理類與性別有關(guān)”.（2）隨機變量的全部可能取值有.因為所以的分布列為所以數(shù)學期望.67．（2024·全國高三專題練習）某市會展公司支配在將來一周組織5天廣場會展.若會展期間有風雨天氣，則暫停該天會展.依據(jù)該市氣象臺預報得知，將來一周從周一到周五的5天時間內(nèi)出現(xiàn)風雨天氣狀況的概率是：前3天均為，后2天均為(假設每一天出現(xiàn)風雨天氣與否是相互獨立的).（1）求將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會展的概率；（2）求這次會展活動展出的平均天數(shù).(結(jié)果精確到0.1)【答案】（1）；（2）平均天數(shù)是1.9天.【解析】(1)先求出將來一周5天都實行會展的概率，由此利用對立事務概率計算公式能求出至少有一天暫停會展的概率；(2)由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出會展的天數(shù)X的分布列，再求期望即可.【詳解】（1）記“將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會展”為事務，則事務表示將來一周5天展出會展，于是，，所以，將來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會展的概率是.（2）設隨機變量表示會展展出的天數(shù)，則，1，2，3，4，5于是，，，，，，由（1）知，，所以，即這次會展活動展出的平均天數(shù)是1.9天.68．（2024·全國高三專題練習）黨中心，國務院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中心應對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導小組會議作出部署，要求盡力擴大核酸檢測范圍，著力提升檢測實力.依據(jù)統(tǒng)計發(fā)覺，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現(xiàn)有以下三種方案：方案一：個樣本逐個化驗；方案二：個樣本混合在一起化驗；方案三：個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測實力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求例疑似病例中恰有例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進行化驗，試比較以上三個方案中哪個最“優(yōu)”，并說明理由.【答案】（1）；（2）方案二最優(yōu)，理由見解析.【解析】（1）由題意可知，，再依據(jù)二項分布的概率公式即可求出；（2）分別計算方案二，方案三須要化驗的期望數(shù)，比較即可得出.【詳解】用表示例疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)，則隨機變量由題意可知：.方案一：若逐個檢驗，則檢驗次數(shù)為.方案二：混合一起檢驗，記檢驗次數(shù)為則.方案三：每組的兩個樣本混合在一起化驗，若結(jié)果呈陰性，則檢測次數(shù)為，其概率為,若結(jié)果呈陽性，則檢測次數(shù)為其概率為設方案三檢測次數(shù)為隨機變量則則由，知方案二最優(yōu).69．（2024·全國高三專題練習）某電器企業(yè)統(tǒng)計了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

（1）從①；②；③三個函數(shù)中選擇一個作為年廣告費用和年利潤額的回來類型，推斷哪個類型符合，不必說明理由；（2）依據(jù)（1）中選擇的回來類型，求出與的回來方程；（3）預料要使年利潤額突破億，下一年應至少投入多少廣告費用？（結(jié)果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】（1）選擇回來類型更好；（2）；（3）下一年應至少投入萬元廣告費用．【解析】（1）依據(jù)散點圖的形態(tài)可選擇合適的函數(shù)模型；（2）作變換，，將表格中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，進而可得出關(guān)于的回來方程；（3）令，結(jié)合參考數(shù)據(jù)解出的范圍，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由散點圖知，年廣告費用和年利潤額的回來類型并不是直線型的，而是曲線型的，且與呈正相關(guān).所以選擇回來類型更好；（2）對兩邊取自然對數(shù)，得，，，則，由表中數(shù)據(jù)得，，所以，所以，所以年廣告費用和年利潤額的回來方程為；（3）由（2），知，令，得，得，所以，所以（十萬元）．故下一年應至少投入萬元廣告費用．70．（2024·全國高三專題練習）在一次大范圍的隨機學問問卷調(diào)查中，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參與問卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額(單位：元)2050概率現(xiàn)有市民甲參與此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參與問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望為41.25元.【解析】（1）依據(jù)題意干脆計算平均值即可，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性得到，即得a值；（2）先依據(jù)正態(tài)分布知獲贈1次和2次隨機話費的概率均為,再結(jié)合獲得隨機話費的金額和概率狀況寫分布列，并計算期望即可.【詳解】解：（1）①由題意得：，，②，由正態(tài)分布曲線的對稱性得，，解得；（2）由題意得，，即獲贈1次和2次隨機話費的概率均為,故獲贈話費的的全部可能取值為20，40，50，70，100，，，，.的分布列為：20405070100元.所以的數(shù)學期望為41.25元.71．（2024·全國高三專題練習）某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明學問網(wǎng)絡競賽，全市市民均有且只有一次參賽機會，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀.競賽結(jié)束后，隨機抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計得到樣本平均數(shù)為71，方差為81.假設該市有10萬人參與了該競賽活動，得分Z聽從正態(tài)分布.（1）估計該市這次競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人?（2）該市文明辦為調(diào)動市民參與競賽的主動性，制定了如下嘉獎方案：全部參與競賽活動者，均可參與“抽獎贏電話費”活動，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎兩次，其余參與者抽獎一次.抽獎者點擊抽獎按鈕，即隨機產(chǎn)生一個兩位數(shù)（10，11，，99），若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可嘉獎40元電話費，否則嘉獎10元電話費.假設參與競賽活動的全部人均參與了抽獎活動，估計這次活動嘉獎的電話費總額為多少萬元?參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】（1）1.6（萬人）；（2）150.8萬元.【解析】（1）由得標準差，所以優(yōu)秀者得分，由及正態(tài)分布的對稱性可得答案；（2）設抽獎一次獲得的話費為X元可得X的取值及概率，計算出抽獎一次獲得電話費的期望值，再算出抽獎總次數(shù)可得答案.【詳解】（1）因得分，所以標準差，所以優(yōu)秀者得分，由得，，因此，估計這次參與競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)為（萬人）.（2）設抽獎一次獲得的話費為X元，則，所以抽獎一次獲得電話費的期望值為，又由于10萬人均參與抽獎，且優(yōu)秀者參與兩次