安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第23屆聯(lián)考試題文含解析

PAGE19-安徽省示范中學(xué)皖北協(xié)作區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第23屆聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）2．已知i為虛數(shù)單位，（1+i）z＝|1+i|2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．0 B．1 C．﹣i D．﹣13．已知a＝0.30.2，b＝，c＝log5，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a4．設(shè)雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a6＝a2+5，則S17＝（）A．5 B．17 C．85 D．1706．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果，其中《算經(jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十部聞名的數(shù)學(xué)著作，這些數(shù)學(xué)著作曾經(jīng)是隋唐時代國子監(jiān)算學(xué)科的教科書．十部書的名稱是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《算經(jīng)十書》標記著中國古代數(shù)學(xué)的高峰．《算經(jīng)十書》這10部專著，有著非常豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻．這10部專著中據(jù)說有6部成書于魏晉南北朝時期．其中《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》就成書于魏晉南北朝時期．某中學(xué)擬從《算經(jīng)十書》專著中的魏晉南北朝時期的6部算經(jīng)中任選2部作為“數(shù)學(xué)文化”進行推廣學(xué)習，則所選2部專著中至少有一部是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的概率為（）A． B． C． D．7．已知向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），則|+2|＝（）A．2 B． C． D．58．函數(shù)f（x）＝的大致圖象是（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖，俯視圖中圓的半徑為1．且其內(nèi)接四邊形為正方形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）﹣（ω＞0）在區(qū)間（0，π）上恰有1個最大值點和1個最小值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．8π B．π C．6π D．2π12．已知數(shù)列{an}滿意an＞0，其前n項和，數(shù)列{bn}滿意，其前n項和為Tn.若對隨意n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值池圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x﹣2y的最大值為．14．已知函數(shù)f（x）＝x2lnx+x，則f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A在拋物線C上，且滿意|AF|＝3，則以點A為圓心，AF為半徑的圓截y軸所得弦長為．16．已知函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分17．如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝．（Ⅰ）求邊AB的長；（Ⅱ）若∠CBD＝，BC＝BD，求△ABC的面積．18．有一種速度叫中國速度，有一種傲慢叫中國高鐵．中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變．中國的高鐵技術(shù)不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵．高鐵可以說是中國一張行走的名片．截至到2024年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬公里．如表是2013年至2024年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017202420242024年份代碼x12345678運營里程y（萬公里）1.31.61.92.22.52.93.53.9依據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題．（Ⅰ）甲同學(xué)用曲線y＝bx+a來擬合，并算得相關(guān)系數(shù)r1＝0.97，乙同學(xué)用曲線y＝cedx來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回來方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r2＝0.99，試問哪一個更適合作為y關(guān)于x的回來方程類型，并說明理由；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回來方程（系數(shù)精確到0.01）．參考公式：用最小二乘法求線性回來方程的系數(shù)公式：，．參考數(shù)據(jù)：＝42.00，令w＝lny，＝1.15．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，AC與BD交于點O，點M在線段PA上，且PM＝3MA．（Ⅰ）證明：OM∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱錐P﹣MCD的體積．20．在平面直角坐標系xOy中，A，B分別為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，△OAB的面積為，且橢圓C的離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率不為0的直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于不同的兩點M，N，過M作直線x＝4的垂線，垂足為Q．試問：直線QN是否過定點？若過定點，懇求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．21．已知函數(shù)（x）＝ax+sinx，x∈（0，+∞）．（Ⅰ）當a＝﹣時，函數(shù)f（x）的極大值點從小到大次記為x1，x2，x3，…，xn，…，求數(shù)列{xn}的通項公式；（Ⅱ）若f（x）≤xex恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C1與曲線C2交于兩點A，B，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x+|．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且正實數(shù)a，b，c滿意a+b+c＝m，證明：．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝（0，1）．故選：C．2．已知i為虛數(shù)單位，（1+i）z＝|1+i|2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．0 B．1 C．﹣i D．﹣1解：因為，（1+i）z＝|1+i|2＝2，所以，所以復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故選：D．3．已知a＝0.30.2，b＝，c＝log5，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：∵a＝0.30.2∈（0，1），b＝＝log57＞1，c＝log5＜0，∴b＞a＞c，故選：C．4．設(shè)雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．解：由已知條件知：；∴；∴；∴．故選：C．5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a6＝a2+5，則S17＝（）A．5 B．17 C．85 D．170解：因為等差數(shù)列{an}中，a5+a6＝a2+5，所以a2+a9＝a2+5，即a9＝5，則S17＝＝17a9＝85．故選：C．6．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果，其中《算經(jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十部聞名的數(shù)學(xué)著作，這些數(shù)學(xué)著作曾經(jīng)是隋唐時代國子監(jiān)算學(xué)科的教科書．十部書的名稱是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《算經(jīng)十書》標記著中國古代數(shù)學(xué)的高峰．《算經(jīng)十書》這10部專著，有著非常豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻．這10部專著中據(jù)說有6部成書于魏晉南北朝時期．其中《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》就成書于魏晉南北朝時期．某中學(xué)擬從《算經(jīng)十書》專著中的魏晉南北朝時期的6部算經(jīng)中任選2部作為“數(shù)學(xué)文化”進行推廣學(xué)習，則所選2部專著中至少有一部是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的概率為（）A． B． C． D．解：從6部算經(jīng)中任選2部的選法有＝15種，其中所選2部專著中沒有《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的選法＝6種，所選2部專著中至少有一部是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的選法9種，故其概率P＝＝．故選：B．7．已知向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），則|+2|＝（）A．2 B． C． D．5解：向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），∴?（﹣）＝﹣＝1﹣?＝0，即＝1．則|+2|＝＝＝＝5，故選：D．8．函數(shù)f（x）＝的大致圖象是（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝＝，∴函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，解除選項A和B，又f（）＝＜0，∴解除選項C，故選：D．9．某幾何體的三視圖如圖，俯視圖中圓的半徑為1．且其內(nèi)接四邊形為正方形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為半徑為1的半球挖去一個四棱錐，半球的體積為，四棱錐的體積為，則幾何體的體積為．故選：B．10．已知函數(shù)f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）﹣（ω＞0）在區(qū)間（0，π）上恰有1個最大值點和1個最小值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解：f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣＝+﹣＝＝（ω＞0）∵x∈（0．π），∴0＜2ωx＜2ωπ，﹣＜2ωx﹣＜2ωπ﹣，在（0，π）上恰有1個最大值點和一個最小值點，，，故選：B．11．在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．8π B．π C．6π D．2π解：在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，AB＝AD＝，平面ABD⊥平面ABC，如圖，可知AD⊥平面ABC，可得AD⊥AC，所以△BAC是等腰直角三角形，所以三棱錐A﹣BCD是正方體的一個角，如圖：外接球的直徑就是長方體的體對角線的長度，所以2r＝，r＝，四面體ABCD的外接球的表面積為：4πr2＝6π．故選：C．12．已知數(shù)列{an}滿意an＞0，其前n項和，數(shù)列{bn}滿意，其前n項和為Tn.若對隨意n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值池圍是（）A． B． C． D．解：前n項和，可得n＝1時，a1＝S1＝，解得a1＝3；當n≥2時，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1﹣3，又4Sn＝an2+2an﹣3，兩式相減可得4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝an2+2an﹣3﹣an﹣12﹣2an﹣1+3，化為2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），由于an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝（﹣1）n+1?＝（﹣1）n+1?（+），所以T2n＝（[+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）﹣（+）]＝（﹣）＝，對隨意n∈N*恒成立，即為λ＜nT2n＝，即有3λ＜＝，由+在n∈N*時遞減，可得+的最大值為7，所以3λ＜，則λ＜．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x﹣2y的最大值為2．解：由約束條件作出可行域如圖，A（2，0），化目標函數(shù)z＝x﹣2y為y＝，由圖可知，當直線y＝過A時，z有最大值為2．故答案為：2．14．已知函數(shù)f（x）＝x2lnx+x，則f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x﹣y﹣1＝0．解：函數(shù)f（x）＝x2lnx+x，可得f′（x）＝2xlnx+x+1，所以f′（1）＝2，f（1）＝1，所以f（x）在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．故答案為：2x﹣y﹣1＝0．15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A在拋物線C上，且滿意|AF|＝3，則以點A為圓心，AF為半徑的圓截y軸所得弦長為4．解：拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A在拋物線C上，且滿意|AF|＝3，則以點A（2，±2），∴圓A的標準方程為（x﹣2）2+（y±2）2＝9．AF為半徑的圓截y軸交點為：，所得弦長：4．故答案為：4．16．已知函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（，0）．解：當x＞1時，由f（x）＝，得f′（x）＝，當x∈（1，e）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，又當x→+∞時，f（x）＞0且f（x）→0，作出f（x）的圖象如圖：設(shè)f（x）＝t，則由g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0，得f（t）﹣at+a+1＝0，可得f（t）＝a（t﹣1）﹣1，若函數(shù)g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5個不同的零點，則關(guān)于x的方程g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0有5個不同的實根，結(jié)合函數(shù)y＝f（x）的圖象及直線y＝a（x﹣1）﹣1得f（t）＝a（t﹣1）﹣1恰有2個不等的實根，得t＝t1＝f（x）∈（﹣1，0），t＝t2＝f（x）∈（0，1），t＝t1＝f（x）∈（﹣1，0）有2個不等實根，t＝t2＝f（x）∈（0，1）有3個不等實根，∴＜a＜0．故答案為：（，0）．三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分17．如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝．（Ⅰ）求邊AB的長；（Ⅱ）若∠CBD＝，BC＝BD，求△ABC的面積．解：（Ⅰ）在△ABD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝，由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD?AB?cos∠BAD，可得7＝1+AB2﹣2×1×AB×（﹣），整理可得AB2+AB﹣6＝0，解得AB＝2，（負值舍去）．（Ⅱ）因為∠CBD＝，BC＝BD，所以在△ABD中，由正弦定理，所以sin∠ABD＝?sin∠BAD＝×＝，因為∠ABD∈（0，），所以cos∠ABD＝＝＝，所以sin∠ABC＝sin（∠ABD+∠DBC）＝sin∠ABDcos+cos∠ABDsin＝＝，所以S△ABC＝AB?BC?sin∠ABC＝＝．18．有一種速度叫中國速度，有一種傲慢叫中國高鐵．中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變．中國的高鐵技術(shù)不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵．高鐵可以說是中國一張行走的名片．截至到2024年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬公里．如表是2013年至2024年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017202420242024年份代碼x12345678運營里程y（萬公里）1.31.61.92.22.52.93.53.9依據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題．（Ⅰ）甲同學(xué)用曲線y＝bx+a來擬合，并算得相關(guān)系數(shù)r1＝0.97，乙同學(xué)用曲線y＝cedx來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回來方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r2＝0.99，試問哪一個更適合作為y關(guān)于x的回來方程類型，并說明理由；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回來方程（系數(shù)精確到0.01）．參考公式：用最小二乘法求線性回來方程的系數(shù)公式：，．參考數(shù)據(jù)：＝42.00，令w＝lny，＝1.15．解：（Ⅰ）∵0＜r1＜r2＜1，∴y＝cedx更適合作為y關(guān)于x的回來方程類型；（Ⅱ），由y＝cedx，得lny＝lnc＝dx，即w＝lnc+dx，d＝≈0.15．lnc＝y(tǒng)＝cedx＝e0.14+0.15x＝e0.14?e0.15x＝1.15e0.15x．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，AC與BD交于點O，點M在線段PA上，且PM＝3MA．（Ⅰ）證明：OM∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱錐P﹣MCD的體積．【解答】（Ⅰ）證明：由已知可知，△ABC≌△ADC，所以AC⊥BD且O為BD的中點，由BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，可得，所以，所以O(shè)M∥PC，又OM?平面PBC，PC?平面PBC，所以O(shè)M∥平面PBC；（Ⅱ）解：因為PM＝3MA，所以，在△ADC中，∠ADB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CDA＝90°，所以，故＝，所以三棱錐P﹣MCD的體積為．20．在平面直角坐標系xOy中，A，B分別為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，△OAB的面積為，且橢圓C的離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率不為0的直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于不同的兩點M，N，過M作直線x＝4的垂線，垂足為Q．試問：直線QN是否過定點？若過定點，懇求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c（c＞0），由題意可得，解得a＝2，b＝，c＝1，所以橢圓C的方程為+＝1．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（4，y1），設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，所以my1y2＝（y1+y2）①，直線QN的方程為：y＝（x﹣4）+y1，假設(shè)直線QN過定點，則由對稱性知定點在x軸上，設(shè)直線QN與x軸的交點為（x0，0），則（x0﹣4）+y1＝0，所以x0＝+4＝+4＝+4，將①式代入上式，可得x0＝+4＝+4＝+4＝﹣+4＝，所以直線QN過定點（，0）．21．已知函數(shù)（x）＝ax+sinx，x∈（0，+∞）．（Ⅰ）當a＝﹣時，函數(shù)f（x）的極大值點從小到大次記為x1，x2，x3，…，xn，…，求數(shù)列{xn}的通項公式；（Ⅱ）若f（x）≤xex恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（Ⅰ）當a＝﹣時，f（x）＝﹣x+sinx，所以f′（x）＝﹣+cosx，由f′（x）＝﹣+cosx＞0，得cosx＞，所以2kπ﹣＜x＜2kπ+，（k∈Z），由f′（x）＝﹣+cosx＜0，得cosx＜，所以2kπ+＜x＜2kπ+，（k∈Z），所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ﹣，2kπ+），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2kπ+，2kπ+），（k∈Z），因為f（x）的定義域為（0，+∞），所以xn＝+2（n﹣1）π．（Ⅱ）f（x）≤xex?ax+sinx≤xex?xex﹣sinx﹣ax≥0，設(shè)g（x）＝xex﹣sinx﹣ax，則g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，設(shè)h（x）＝g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，則h′（x）＝（x+2）ex+sinx，因為f（x）的定義