2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第13章 13. 3 . 2 空間圖形的體積

13.3.2空間圖形的體積

課程i.了解柱、錐、臺的體積公式的推導(dǎo)過程.

標準2.理解柱、錐、臺體之間及它們的體積公式之間的關(guān)系.以及球的表面積的推導(dǎo).

--3基礎(chǔ)認知?自主學(xué)習(xí)《

概念認知

1,柱體、錐體、臺體的體積

幾何體悌只

V柱體=81（S為底面面積,h為局））

柱體

V圓柱=巫組代為底面半徑）

V錐體字獨（S為底面面積,h為局））

錐體

V圓推上h（r為底面半徑）

V臺懸h（S+A廨+SRS1S分別為上、

下底面面積，h為高）,V圓臺=；_

臺體

7rh（r,2+rr'+r2）（r,,r分別為上、下底面半

徑）

2.球的體積和表面積

若球的半徑為R，則

4

=R3

3兀

(1)球的體積V_

(2)球的表面積S=4兀R2.

自我小測

1.兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑為()

A.2B.小

C.柒D.；赤

選C.設(shè)熔化后的球的半徑為R,

則其體積是原來小球的體積的2倍，

即V=g7rR3=2xg兀XF，得R=^2.

2.(教材練習(xí)改編)已知圓錐SO的高為4,體積為4兀,則底面半徑r

由已知得4K=17rr2x4,

解得r=*.

答案：小

3.如圖在所有棱長均為2的正三棱柱ABC-AiBCi中，三棱錐

B-A.C,C的體積是________.

G

At.Bi

\1C\

———

因為三棱錐B-AiGC與三棱錐B-AiAC等底同高，故VB-AiCC=

VB-AiAC,

又VB-A]AC=VA「ABC,

所以VB-A1JC=VAi-ABC,

而三棱錐A「ABC的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱

的高，SAABC=^*22=小,h=AA]=2.

所以VA「ABC=gx5x2=^^,

即VB-AiCiC="^.

竺口案?3

4.已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，若這

個球的體積是32兀竽，求此三棱柱的體積.

,4a327r

由g7TR3=—,

得R=2,

所以正三棱柱的高h=4.

設(shè)其底面邊長為a,

則；.坐a=2,

所以a=4小,

所以V=^x（4?。?X4=48^/3.

》學(xué)情診斷?課時測評④

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1已知高為3的三棱柱ABC-AiBCi的底面是邊長為1的正三角形（如

圖），則三棱錐B.-ABC的體積為（）

11出

-=-X=V43

選D.V3sh34X3

2.正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為

（）

43

A.3兀B.oC./兀D.1

選B.如圖所示，由圖可知，該幾何體由兩個四棱錐構(gòu)成，并且這兩

個四棱錐體積相等.四棱推的底面為正方形，且邊長為近，故底面

1o

積為（血）2=2；四棱錐的高為1,故四棱錐的體積為點X2xl=f則

幾何體的體積為2x25二4鼻.

3.若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是

（）

AVIcg-2「4兀

A.3兀B.71C.71D.

選B.設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,高為h,如圖所示：

由題意知：2?rr=1X2TTX2,解得r=1.

所以h=122-12=事.

故圓錐的體積V=gX7cxl2x^3=坐兀

4.（2021.綿陽高一檢測）已知四面體ABCD,AD=2,△BCD為邊長

為小的等邊三角形，若頂點A在平面BCD的投影是^BCD垂心，

則四面體ABCD的體積為（）

4「3c2

A.B.C,D.2

選B.由題意知，△BCD為邊長為小的等邊三角形,

因為頂點A在平面BCD的投影H是^BCD垂心所以H也為△BCD

中心，

所以DE=坐x4=|,所以DH=|x|=1,

在直角△ADH中，可得AH=訃口2-DH2=^22-I2=小，

所以三棱錐的體積為V=；SxAH=|x曰x（?。緓小=|.

二、多選題

5.已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某學(xué)生畫出四個過球

心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如圖所示，則正確的是（）

選ABC.正三棱錐內(nèi)接于球，故其各個頂點均在球面上，若過球心的

截面恰好截得三棱錐的面為三角形，則根據(jù)其頂點是否在截面上，有

如下討論：

①當(dāng)用過球心目平行于三棱錐某底面的平面去截球時,三個點都不在

截面上，則截面近似A；

②當(dāng)截面是過球心和三棱錐兩個頂點的平面時，它交對棱于中點，中

點不在球上，也就不在截面上，則截面近似B；

③當(dāng)截面是過三棱錐一頂點和球心的平面時，截得的面除了B的情

況外，大都是C的情況，即另兩點不在球（截面）上；

④當(dāng)三棱錐的三個頂點都在截面上時，截面不過球心，與題意矛盾.綜

上可知，只有D是錯誤的.

6.正三棱錐S-ABC的外接球半徑為2,底面邊長AB=3,則此棱錐

的體積可能是（）

A普B.乎C評D.3V3

選AB.設(shè)正三棱錐的高為h,球心在正三棱錐的高所在的直線上，設(shè)

H為正三棱錐底面的中心.

因為底面邊長AB=3,

所以AH=|AD=|{32-（I/=y[3,

當(dāng)頂點S與球心在底面ABC的同側(cè)時，如圖，

有AH2+OH2=OA2,即（小產(chǎn)+（h-2>=22,

解得h=3或h=l（舍去），

所以三棱錐的體積為:x；x3x亭X3邛.

當(dāng)頂點s與球心在底面ABC的異側(cè)時，如圖，

<AH2+OH2=OA2,)2+(2-h)2=22,

解得h=1或h=3(舍去)，所以三棱錐的體積為:xgx3x^^xl=

乎，綜上三棱錐的體積為竽或苧.

三、填空題

7.一個長方體的三個面的面積分別是啦，S,加，則這個長

方體的體積為.

設(shè)長方體的棱長分別為a,b,c,

ab=啦，

則<ac=小，三式相乘可知(abc>=6,

bc=y[6,

所以長方體的體積V=abc=冊.

答案：加

8.半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為.

由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，

如圖所示，設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,

27ir=2兀,

則

h2+r2=4.

r=1,

所以

h=y/3?

所以它的體積為!x兀xVx小邛兀

答案:當(dāng)兀

四、解答題

9如圖，三棱臺ABC-ABG中AB:A|B,=1：2求三棱錐A「ABC,

三棱錐B-AiBC,三棱錐C-AIBCI的體積之比.

設(shè)棱臺的高為h,SAABC=S,則54AiBCi=4S.所以VAi-ABC=；

SAABc-h=2Sh,

14

VC-AjBiCi=3SAAiBiC!-h=3Sh.

17

又V臺=qh(S+4s+2S)=wSh,

所以VB-AlB|C=V臺-VA廠ABC-VC-AlBlC]=Wsh-孚-苧=

2

5Sh,所以體積比為1：2：4.

10.在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為3也的正方形，且

各側(cè)棱長均為2小.求該四棱錐外接球的表面積.

取正方形ABCD的中心Oi,連接SO,并延長交球面于點E.連接CO1，

CE,如圖.

則球心O在SE上，即SE為球的直徑，且SC±EC.

因為AB=3也，所以O(shè)C=3.

在RtASOiC中，SC=2小,

所以SO產(chǎn)小.

在RtASCE中,RtASCESRSSO)C,

mNSC2(2小)2

所以SE=§3；=小?

所以球半徑R=2小.

所以球的表面積為S=4KR2=471-(2^3)2=48兀

綜合突破練

一、選擇題

1.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為小，那么它的體積為（）

A.6^3B.^3C.2仍D.2

選B.由正六棱錐底面邊長為1和側(cè)棱長為小，可知高h=2,又因為

底面積,所以體積V=gSh=|x2=-\/3.

2.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問

題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”

其意思為V在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一）,

米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米

各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估

算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

選B.設(shè)底面圓半徑為R尺.

因為米堆底部弧長為8尺，所以（O/rR=8,

所以R=『.

所以體積v=；x1-7rR2x5=-j^'"陰％5.

因為m3,所以（立方尺）.

所以堆放的米約為3潦202=22（斛）.

"入1.OZ

3.分別以一個銳角為30。的直角三角形的最短直角邊、較長直角邊、

斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積之比是（）

A.1：啦：3B.6：2小:小

C.6：2?。?D.3：2^3：6

選C.設(shè)RtAABC中，ZBAC=30°,BC=1,

則AB=2,AC=小，求得斜邊上的高CD=坐，旋轉(zhuǎn)所得幾何體

2

的體積分別為V（=|兀x（小>X1=7T,V2=17lXlX^/3=￥兀，V3

=|兀x]嗡2X2=1兀.V]：V2：V3=1：：I=6：2^3：3.

4.（多選）（2021.壽光高一檢測）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩

個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部

在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱

為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底

面直徑和高均為8cm名田沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的：(細

管長度忽略不計).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下002cm3的沙，且細沙全部

漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正

確的是()

A.沙漏中的細沙體積為一由一cm3

B.沙漏的體積是128?rcm3

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒(g3.14)

選ACD.A.根據(jù)圓錐的截面圖可知：細沙在上部時，細沙的底面半徑

與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，

所以細沙的底面半徑r=|x4=|(cm),所以體積V=；-7rr2-y=

164K161024K.2、

—.--------------------------?

B.沙漏的體積V=2x|x兀xgj21cc256/3

xh=2x-XTI；X4-X8=jr(cm)；

10247r

.設(shè)細沙流入下部后的高度為,根據(jù)細沙體積不變可知：

Ch,81

xhi,

=3碉

所以8]=-yhl,所以h產(chǎn)2.4（cm）；

D.因為細沙的體積為10埒24產(chǎn)TTcm3,沙漏每秒鐘漏下0.02cn?的沙，

O1

1024兀

所以一個沙時為：端相=1024x3.14乂500985（秒）.

二、填空題

5.若正方體的體對角線長為a,則它的體積為.

設(shè)正方體的邊長為x,則小x=a,

故x4,V=*a3.

答案:當(dāng)a?

6.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的

半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示）,

則球的半徑^_______cm.

4

設(shè)球的半徑為xcm,由題意得KX2X8=KX2X6X-gTTX3X3,解得x=4.

答案：4

7.如圖①，一個正三棱柱容器，底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若

干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖②，這時水面恰好為中

截面，則圖①中容器內(nèi)水面的高度是

設(shè)題圖①中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為V,則V=SAABch.

3

又題圖②中水組成了一個直四棱柱，其底面積為ISAABC,高度為2a,

3

則V=wSAABC-2a,

3

TSAABC,2aq

所以h=—=9a.

ABC/

3

答案：1a

8.湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個

直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球半徑是________cm,表面積

是_______cm2.

設(shè)球心為O,OC是與冰面垂直的一條半徑,冰面截球得到的小圓圓

心為D,AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為Rcm,則OD=R

一1,

則(R-1)2+32=R2,解得R=5,

所以該球表面積為S=4TTR2=471x52=100兀(cm2).

答案：51007T

三、解答題

9.如圖，已知在直三棱柱人8。人田《1中人人|二人?=4,BC=3,

ACLBC,點D是AB的中點，求三棱錐A.-B.CD的體積.

【思路導(dǎo)弓I】方法一：VA「BiCD=V柱-VAi-ADC-VBrBDC-VC

-A1B1C].

方法二：利用等體積法求解，VAi-BiCD=VC-A]BQ.

因為AA)=AC=4,BC=3,AC±BC,

所以AB=A1B1=5.

方法一：由題意可知

VAiBiC]-ABC=SAABCXAA]=1x4x3x4=24.

XX

XVA]-ADC=|x|SAABCAAI=7SAABCAAI=4.

111

~X--

326△

VC-A|B|C）=|SAA]B[C]XCCi=8,

所以VA]-BiCD=VABC「ABC-VArADC-VBrBDC-VCABQ

=24-4-4-8=8.

方法二：在^ABC中過C作CF±AB,垂足為F,

由平面ABBiA」平面ABC知，CF_L平面ABBA.

又SAAIBID=；AIBI-AAIx5x4=10.